专题06直角坐标系中三角形面积的相关问题(原卷版+解析)

七年级数学下册解法技巧思维培优专题06直角坐标系中三角形面积的相关问题典例题型一利用点的坐标求面积1．如图，三角形ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣3，0），C（2，0），求△ABC的面积．2．（2020•信丰期末）在平面直角坐标系中，已知点A（1，﹣1），B（1，4），C（﹣3，1）、（1）在图中画出△ABC；（2）求△ABC的面积．3．（2020•河北期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．典例题型二利用面积求点的坐标4．已知A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣2，1），点D是y轴上的一点．（1）若A、B、C、D所组成的四边形的面积为15，求D点坐标；（2）若A、B、C、D所组成的四边形面积小于15，求D点纵坐标的取值范围．5．已知平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），线段AB交y轴于C点（1）求点C的坐标；（2）在y轴上的点P，若△ABP≤6，求出P点纵坐标的取值范围．6．（2020•金乡县校级期末）如图，在△AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4）和（6，2），求△AOB的面积．7．如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC的边在AB在x轴，A（﹣2，0），C（2，4），S△ABC＝6，画出符合条件的三角形ABC，并直接写出点B的坐标．巩固练习1．在平面直角坐标系中有两个动点A（a，0）、B（0，a）和一个固定的点C（6，1）（a＞0），若△ABC的面积是5，求a的值．2．（2020•南通月考）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣3，0）、（4，0）．（1）画出△ABC；（2）△ABC的面积为__________．3．（2029•成武期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．（1）在坐标系中，画出此四边形；（2）求此四边形的面积．4．（2020•九龙坡区期末）在平面直角坐标系中，有A（0，a），B（b，0）两点，且a，b满足b=（1）求A，B两点的坐标；（2）若点P在x轴上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．5．（2020•濉溪期末）在如图所示的平面直角坐标系中，作出下列坐标的A（﹣3，2），B（0，﹣4），C（5，﹣3），D（0，1）．并求出四边形ABCD的面积．6．（2020•越秀区校级月考）如图，已知△ABC（网格中每个小正方形的边长均为1）．（1）三个顶点坐标分别为：A__________，B__________，C__________；（2）求三角形ABC的面积．七年级数学下册解法技巧思维培优专题06直角坐标系中三角形面积的相关问题典例题型一利用点的坐标求面积1．如图，三角形ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣3，0），C（2，0），求△ABC的面积．【点睛】根据点的坐标得到BC＝5，BC上的高为2，然后根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：△ABC的面积=12．（2020•信丰期末）在平面直角坐标系中，已知点A（1，﹣1），B（1，4），C（﹣3，1）、（1）在图中画出△ABC；（2）求△ABC的面积．【点睛】（1）描点、连线即可得；（2）根据三角形的面积公式计算可得．【详解】解：（1）如图所示，△ABC即为所求：（2）△ABC的面积为123．（2020•河北期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．【点睛】（1）由点的坐标得出BC＝6，即可求出△ABC的面积；（2）求出OA＝4，OB＝8，由S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP和已知条件得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵B（8，0），C（8，6），∴BC＝6，∴S△ABC=1（2）∵A（0，4）（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP=12×4×8+12又∵S四边形ABOP＝2S△ABC＝48，∴16﹣2m＝48，解得：m＝﹣16，∴P（﹣16，1）．典例题型二利用面积求点的坐标4．已知A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣2，1），点D是y轴上的一点．（1）若A、B、C、D所组成的四边形的面积为15，求D点坐标；（2）若A、B、C、D所组成的四边形面积小于15，求D点纵坐标的取值范围．【点睛】（1）可分别点D在y轴的正半轴上和点D在y轴的负半轴上两种情况计算；（2）由（1）中点D的坐标可确定出D的取值范围．【详解】解：（1）如图1所示：设点D的坐标为（0，m）．∵SABCD＝S△ABC+SBCEF﹣S△CED﹣S△BDF，∴12解得：m＝6.75．如图2所示：∵SACBD＝S△ABC+SABD，∴12解得：m＝﹣5．综上所述点M的坐标为（0，﹣5）或（0，6.75）．（2）由（1）可知点D纵坐标的取值范围是﹣5＜Dy＜6.75．5．已知平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），线段AB交y轴于C点（1）求点C的坐标；（2）在y轴上的点P，若△ABP≤6，求出P点纵坐标的取值范围．【点睛】（1）运用待定系数法可求出直线AB的解析式，只需令x＝0，就可得到直线AB与y轴交点C的坐标；（2）运用割补法可得到CP的范围，然后根据CP＝|yP﹣yC|，就可求出P点纵坐标的取值范围．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有−k+b=22k+b=1解得k=−1故直线AB的解析式为y=−13x当x＝0时，y=5则点C的坐标为（0，53（2）∵A（﹣1，2），B（2，1），∴|xA|＝1，|xB|＝2，∴S△ABP＝S△ACP+S△BCP=12CP•|xA|+12CP=12CP•1+=32∵S△ABP≤6，∴32CP∴CP≤4，∴|yP−5∴﹣4≤yP−5∴−73≤y∴P点纵坐标的取值范围为−73≤y6．（2020•金乡县校级期末）如图，在△AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4）和（6，2），求△AOB的面积．【点睛】过A作水平线l交y轴于点E，过B作垂线，交直线l与点C，交x轴于点D，四边形面积ECDO为24．△OAB的面积为24减去三个直角三角形的面积，△ABO面积为24﹣4﹣6﹣4＝10．【详解】解：如图，过A作水平线l交y轴于点E，过B作垂线，交直线l与点C，交x轴于点D，则S矩形ECDO＝6×4＝24，SRt△AEO=1SRt△ABC=1SRt△OBD=1则S△OAB＝S矩形ECDO﹣SRt△ABC﹣SRt△AEO﹣SRt△OBD＝10．故三角形AOB的面积是10．7．如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC的边在AB在x轴，A（﹣2，0），C（2，4），S△ABC＝6，画出符合条件的三角形ABC，并直接写出点B的坐标．【点睛】建立平面直角坐标系并分点B在点A的左边和右边两种情况写出点B的坐标即可．【详解】解：∵AB在x轴，A（﹣2，0），C（2，4），S△ABC＝6，∴AB＝3，△ABC如图所示，点B在点A的左边时，﹣2﹣3＝﹣5，所以，点B的坐标为（﹣5，0），点B'在点A的右边时，﹣2+3＝1，所以，点B'的坐标为（1，0）；巩固练习1．在平面直角坐标系中有两个动点A（a，0）、B（0，a）和一个固定的点C（6，1）（a＞0），若△ABC的面积是5，求a的值．【点睛】过点C作CD⊥x轴于D，然后分a＞6和a＜6两种情况表示出△ABC的面积，再解关于a的方程即可得解．【详解】解：过点C作CD⊥x轴于D，①a＞6时，如图1，S△ABC=12a2−12（1+a）×6整理得，a2﹣7a﹣10＝0，解得a1=7+892，a②a＜6时，如图2，S△ABC=12（1+a）×6−12（6﹣a）×1整理得，a2﹣7a+10＝0，解得a1＝2，a2＝5，综上所述，a的值为7+892．（2020•南通月考）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣3，0）、（4，0）．（1）画出△ABC；（2）△ABC的面积为14．【点睛】（1）根据A、B、C三点的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣3，0）、（4，0）．画出△ABC即可；（2）根据网格即可求出△ABC的面积．【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求；（2）△ABC的面积为：12故答案为14．3．（2020•成武期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．（1）在坐标系中，画出此四边形；（2）求此四边形的面积．【点睛】（1）补充成网格平面直角坐标系，然后确定出点B、C、D的位置，再与点A顺次连接即可；（2）利用四边形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．【详解】解：（1）四边形ABCD如图所示；（2）四边形的面积＝9×7−12×2×7−＝63﹣7﹣5﹣7，＝63﹣19，＝44．4．（2020•九龙坡区期末）在平面直角坐标系中，有A（0，a），B（b，0）两点，且a，b满足b=（1）求A，B两点的坐标；（2）若点P在x轴上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．【点睛】（1）由二次根式的被开方数是非负数可以求得a、b的值．则易求点A、B的坐标．（2）设P（x，0），由三角形的面积公式解答．【详解】解：（1）依题意，得：a2解得a＝﹣2；则b＝﹣3．所以A（0，﹣2），B（﹣3，0）；（2）设P（x，0），由题意知，12|x解得x＝3或x＝﹣9．所以点P的坐标（3，0）或（﹣9，0）．5．（2020•濉溪期末）在如图所示的平面直角坐标系中，作出下列坐标的A（﹣3，2），B（0，﹣4），C（5，﹣3），D（0，1）．并求出四边形ABCD的面积．【点睛】根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图所示，S四边形ABCD=16．（2020•越秀区校级月考）如图，已知△ABC（网格中每个小正方形的边长均为1）．（1）三个顶点坐标分别为：A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）；（2）求三角形ABC的面积．【点睛】（1）根据图象得出点的坐标即可；（2）根据A、B、C的坐标求出正方形EFGB的边长，求出△AEB、△AFC、△BGC的边长，再根据面积公式求出即可．【详解】解：（1）A点的坐标是（﹣1，4），B点的坐标是（﹣4，﹣1），C点的坐标是（1，1），故答案为：