高中数学 平面及其基本性质 新人教A必修2

日常生活和学习中，总离不开几何图形，这些几何图形大致可分为两种：一种是我们在初步已研究的平面图形，这种图形上的点都在同一平面上，如三角形、圆……另一种图形上的点不全在一个平面上，如厂房、书桌等。同学们以后走上工作岗位后，只知道平面几何知识显然不够，这就要进一步研究学习空间图形。平面几何研究的对象是平面图形（点、线以及组合）的形状、大小、位置关系，而立体几何研究的对象是空间图形的形状、大小、位置关系。两者的区别：平面图形——所研究的对象都在同一平面内；空间图形——所研究的对象不一定在同一平面内。两者的关系：前者为后者的特殊情形。由上可知，在解决立体几何问题的时候，要利用立体几何的有关概念和性质，而不能随便把平面几何的性质用于立体几何问题；只有所研究的对象在同一平面上的时候，才能利用平面几何的有关性质。但是，许多空间问题可以转化为平面问题来解决，这里就涉及到数学中的重要思想——转化思想。.平面及其基本性质PlanesandTheirBasicPropertiesone海南省洋浦中学：赵生碧.实例引入观察.实例引入观察.

实例引入观察.生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出类似平面形的物体吗？引入新课

几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．.DCAB平面ABCD平面AC或平面BDADCBEF平面记作：平面的表示平面记作：平面

常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．.平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面．

DCAB.平面的画法【思考1】下列平行四边形表示的平面的大致位置如何？.【思考2】当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.平面的画法.ADCBEF被遮挡部分用虚线表示为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来．平面的画法.AlABlAl点A在直线l上．点A不在直线l上．Al直线l在平面上．直线l在平面上．平面经过直线l．【讨论】点线平面的位置关系有哪些？.AB点A在平面内，记作．记作．点B在平面外，读作读作点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示．.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．alABalPb（1）（2）解：在（1）中，在（2）中，【巩固深化，发展思维】.【探究】：平面的基本性质11:如果直线l与平面α有一个公共点P，那么直线l是否在平面α内?2:如图，设直线l与平面α有一个公共点A，点B为直线l上另一个点，当点B逐渐与平面α靠近时，直线l上其余各点与平面α的位置关系如何变化？．AABα.3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线l上其余各点与平面α的位置关系如何？由此可得什么结论？公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.【思考】公理1如何用符号语言表述？它有什么理论作用？．．ABα.2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）直线AC1在平面CC1B1B内；（2）设正方体上、下底面中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1。BB1D1A1DACC1OO1.探究新知

（一）：平面的基本性质2

思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？经过三点、四点可以作多少个平面？思考2:照相机，测量仪等器材的支架为何要做成三脚架？.思考3:经过任意三点都能确定一个平面吗？由此可得什么结论？公理2

过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

．．．ABC进一步思考

:公理2可简述为“不共线的三点确定一个平面”，它有什么理论作用？.探究新知

（二）:平面的基本性质2

思考4:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？BB思考5:如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个.如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？.观察长方体，你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗？观察

这条公共直线B’C’叫做这两个平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交线．

另一方面，相邻两个平面有一个公共点，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一个公共点B’，经过点B有且只有一条过该点的公共直线B’C’..思考6:根据上述分析可得什么结论？P公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线..公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用：①判断两个平面相交的依据．②判断多点共线的依据．lP平面公理.理论迁移例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）直线AC1在平面A1B1C1D1内；（2）设正方体上、下底面中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；（3）由点A，O，C可以确定一个平面；（4）平面AB1C1与平面AC1D重合..BB1D1A1DACC1OO1（1）直线AC1在平面A1B1C1D1内；（2）设正方体上、下底面中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；（3）由点A，O，C可以确定一个平面；（4）平面AB1C1与平面AC1D重合..1、求证：经过一条直线和直线外一点,有且只有一条平面.

2、求证：经过两条相交直线有且只有一个平面.

3、求证：经过两条平行直线有且只有一个平面.

【探究】.例2：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.理论迁移证明1：∵AB、AC相交，∴AB、AC确定一个平面，设为α∵B∈AB,C∈AC∴B∈α，C∈α∴BCα因此AB、AC、BC都在平面α内.即AB、AC、BC共面.证明2：∵AB、AC相交；∴AB、AC确定一个平面α∴点A、B、C∈α，且不共线；∵AB、BC相交∴AB、BC确定一个平面β∴点