2022年广东省广州市白云区第二中学高三数学理月考试卷含解析

2022年广东省广州市白云区第二中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn有最大值，且＜﹣1，则使得Sn＞0的n的最大值为（）A．2016 B．2017 C．4031 D．4033参考答案：C【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．【解答】解：由题意知d＜0，a2016＞0，a2016+a2017＜0，因此S4031＞0，S4032＜0．故选：C．2.定义：在区域内任取一点，则点满足的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A3.为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10，50]，期中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n=A.180 B.160C.150 D.200参考答案：A4.执行如图的程序框图，若输出的，则图中①处可填的条件是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C5.已知定义域为的函数为奇函数，且当时，，则（

）．．

．0

．1

．2参考答案：A略6.若，则的定义域为

A.

B.

C.

D.参考答案：A7.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是（

）A．函数g(x)图象的对称轴方程为B．函数g(x)的最大值为C．函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：平行D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为参考答案：C8.双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（

）A.

2

B.+1

C.

D.

1参考答案：B略9.中，（分别为角A、B、C的对应边），则的形状为（

）A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形参考答案：B10.设数列是等差数列，。若数列的前n项和取得最小值，则n的值为

（

）

A．4

B．7

C．8

D．15参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则的定义域为

参考答案：12.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则f（4）=

．参考答案：【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象，可得==3﹣1，∴ω=，再根据五点法作图可得ω?1+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣），∴f（4）=sin（3π﹣）=sin（π﹣）=，故答案为：．13.已知是虚数单位，则复数的共轭复数是_________.参考答案：【知识点】复数的运算L41－2i因为.所以其共轭复数是1-i.【思路点拨】先对复数进行计算，再求共轭复数即可.14.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为

．参考答案：略15.已知数列中，，前n项和为，且，则=_______参考答案：.略16.已知函数f（x）=则f（f（﹣2））的值

．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【分析】利用分段函数在不同区间的解析式不同，分别代入即可得出．【解答】解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）==9；∵9＞0，∴f（9）=log39=2．∴f（f（﹣2））=2．故答案为2．17.已知是定义在上的奇函数，且以3为周期，若，，则实数a的取值范围是_______________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分） 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台。如图，在四棱台中，下底是边长为的正方形，上底是边长为1的正方形，侧棱⊥平面，.（Ⅰ）求证：平面；（II）求平面与平面夹角的余弦值.参考答案：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）.…

3分（Ⅰ）证明：设则有所以，，∴平面；………6分（II）解：设为平面的法向量，于是………8分同理可以求得平面的一个法向量，………10分∴二面角的余弦值为.………12分19.已知函数f(x)=+lnx．（a∈R）（Ⅰ）若函数在区间[，e]上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间（0，+∞）内极值点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由题意可知f′（x）=﹣+≤0，a≥，则构造辅助函数，求导，根据函数函数的单调性即可求得最大值，即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）方法1：构造辅助函数，g（x）=，求导g′（x）=，根据函数的单调性即可求得g（x）最小值，根据函数的单调性及极值的判断求得函数的f（x）的极值点的个数；方法2：分类讨论，根据当a≤1时，根据函数的单调性f（x）在区间（0，+∞）递增，f（x）无极值，当a＞1时，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性与极值的关系，即可求得f（x）的极值个数．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：对?x∈，f′（x）=﹣+≤0，即a≥，对?x∈恒成立，令g（x）=，求导g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1，g′（x）＞0，∴函数g（x）在[，1]上单调递减，在（1，e]上单调递增，∴g（）=，g（e）=ee﹣1，由ee﹣1＞，∴在区间上g（x）max=ee﹣1，∴a≥ee﹣1，（Ⅱ）解法1：由f′（x）=﹣+==，g（x）=，g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，g（x）min=g（1）=e，当a≤e时，g（x）≥a恒成立，f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增，f（x）无极值点，当a＞e时，g（x）min≥g（1）=e＜a，故存在x1∈（0，1）和x2∈（1，+∞），使得g（x1）=g（x2）=a，当0＜x＜x1，f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，当x＞x2，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（x1，x2）单调递减，在（0，x1）和（x2，+∞），∴x1为函数f（x）的极大值点，x2为函数f（x）的极小值点，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．方法2：f′（x）=，设h（x）=ex﹣ax（x＞0），则h（x）=ex﹣a，由x＞0，ex＞1，（1）当a≤1时，h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）＞h（0）=1，则f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；（2）当a＞1时，由h′（x）=ex﹣a＞0，则x＞lna，可知h（x）在（0，lna）内递减，在（lna，+∞）单调递增，∴h（x）max=h（lna）=a（1﹣lna），①当1＜a≤e时，h（x）＞h（x）min≥0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；②当a＞e时，h（x）min＜0，又h（0）＞0，x很大时，h（x）＞0，∴存在x1∈（0，lna），x2∈（lna，+∞），使得h（x1）=0，h（x2）=0，即f′（x1）=0，f′（x2）=0，可知在x1，x1两边f′（x）符号相反，∴函数f（x）有两个极值点x1，x2，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．20.数列满足，且，其中（1）求证：≤1；（2）求证：．参考答案：（1）猜想：≤1，1≤k<N－1，k∈N*，接下来用数学归纳法对k进行证明：当k=1时，由，

得==1

但

∴=－1，∴成立

--------------------------------------------2分假设k=m

(1≤m<N－1，m∈)时，

则=∈[0，1]所以

所以k=m+1时结论也成立.综上，有，1≤k<N－1，k∈

故有

----------------5分（2）当N=2时，由且

得成立假设N=m(m≥2)时，存在，使得

------------------7分则当N=m＋1时，由归纳假设，存在k，使得，则===

所以=或=所以无论N取任何大于1的正整数，都存在k使得--1021.在如图所示的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，AA1=4．（1）求直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线AD1与BA1所成角的大小．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】空间角；立体几何．【分析】（1）根据体积公式得出：菱形ABCD的面积×h即可，关键求面积，高．（2）根据性质得出：∠A1BC1等于异面直线AD1与BA1所成角．在△A1BC1中，由余弦定理可求解．【解答】解：（1）因菱形ABCD的面积为AB2?sin60°=故直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：S底面ABCD?