2022年山东省青岛市崂山区第五中学高二数学理测试题含解析

2022年山东省青岛市崂山区第五中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则

（

）A、

B、 C、

D、参考答案：D2.在复平面上，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：A【分析】化简复数，判断对应点的象限.【详解】，对应点为在第一象限.故答案选A【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.3.曲线x2+y2－ay=0与ax2+bxy+x=0有且只有3个不同的公共点,那么必有（

）A．(a4+4ab+4)(ab+1)=0

B．(a4－4ab－4)(ab+1)=0

C．(a4+4ab+4)(ab－1)=0

D．(a4－4ab－4)(ab－1)=0参考答案：B4.设为等比数列{}的前n项和，8

,则=(

)A.11

B.5

C.-8

D.-11参考答案：D5.函数（）的图象向右平移个单位以后，到的图像，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B6.定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间（n∈N*）内的所有零点的和为(

)A．n B．2n C．（2n﹣1） D．（2n﹣1）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．【解答】解：当时，f（x）=8x﹣8，所以，此时当时，g（x）max=0；当时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3?2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，此时当x=3?2n﹣2时，g（x）max=0；当3?2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间上有1个零点，从而g（x）在区间上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选：D【点评】本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．7.已知f（x）=ax3+bx2+cx+d与x轴有3个交点（0，0），（x1，0），（x2，0），且f（x）在x=，x=时取极值，则x1?x2的值为（）A．4 B．2 C．6 D．不确定参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由f（0）=0，可得d=0．f′（x）=3ax2+2bx+c．根据f（x）在x=，x=时取极值，可得f′（）=0，f′（）=0，又f（x）=x（ax2+bx+c），可得f（x1）=f（x2）=0，x1，x2≠0．可得x1x2=．【解答】解：∵f（0）=0，∴d=0．f′（x）=3ax2+2bx+c，∵f（x）在x=，x=时取极值，∴f′（）=0，f′（）=0，a≠0，可得2×++3=0，4×++12=0，解得：=6，又f（x）=x（ax2+bx+c），f（x1）=f（x2）=0，x1，x2≠0．∴x1x2==6．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.数列{an}的前n项和Sn=n2﹣5n（n∈N*），若p﹣q=4，则ap﹣aq=（）A．20 B．16 C．12 D．8参考答案：D【考点】等差数列的性质．【分析】根据an=Sn﹣Sn﹣1可得an是等差数列，可得答案．【解答】解：Sn=n2﹣5n（n∈N*），可得a1=Sn=﹣4当n≥2时，则Sn﹣1=（n﹣1）2﹣5（n﹣1）=n2+7n+6．∵an=Sn﹣Sn﹣1∴an=2n﹣6，当n=1，可得a1=﹣4∵an﹣an﹣1=2常数，∴an是等差数列，首项为﹣4，公差d=2．∵p﹣q=4，令q=1，则p=5，那么a5﹣a1=8．故选D9.在△ABC中，，，，则a的值为A.3 B.23 C. D.2参考答案：C【分析】先由题意得到，求出，再由正弦定理，即可得出结果.【详解】因为在中，，，，所以，因此，由正弦定理可得，所以.故选C【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型.10.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两），问玉、石重各几何?”其意思：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为（

）A.96,80 B.100,76 C.98,78 D.94,82参考答案：C【分析】流程图的作用是求出的一个解，其中且为偶数，逐个计算可得输出值.【详解】执行程序：，，，故输出的分别为98,78.故选C.【点睛】本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=．参考答案：2πr4【考点】F3：类比推理．【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr412.函数的单调减区间是

．参考答案：（－∞，2）13.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是

。参考答案：略14.一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为________参考答案：【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，利用勾股定理求出球的半径，由此能求出球的表面积．【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，设球的半径为，则∴球的表面积.故答案为：．【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．15.直线l垂直于，且平分圆C：，则直线l的方程为

.参考答案：设直线：，因为过圆心（-1，2），所以，即

16.已知函数，(a是常数且a＞0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．参考答案：(1)(3)(4)17.曲线在点P（0，1）处的切线方程是__________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（Ⅰ）若a＝1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．参考答案：19.(6分)当实数为何值时，直线(1)倾斜角为；

(2)在轴上的截距为.参考答案：解：（1）因为直线的倾斜角为，所以直线斜率为1即：

化简得：故：（2）因为直线在轴上的截距为1，所以直线过点故有:，解得：略20.已知椭圆的两焦点为,,离心率.(1).求此椭圆的标准方程。(2).设直线:,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且等于椭圆的短轴长,求m的值。参考答案：（1）.由题意,,又,∴,∴,∴椭圆方程为.

（2）.由消去,得,设,,则,,∴,∴,.21.设等差数列{an}的前项和为Sn，且a2=2，S5=15，数列{bn}的前项和为Tn，且b1=，2nbn+1=（n+1）bn（n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}通项公式an及前项和Sn；（Ⅱ）求数列{bn}通项公式bn及前项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由等差数列的性质可知：S5=5a3=15，则a3=3，d=a3﹣a2=1，a1=1，根据等差数列通项公式及前n项和公式即可求得an及Sn；（Ⅱ）由题意可知：=?，采用累乘法即可求得数列{bn}通项公式bn=，利用错位相减法求得数列{bn}前项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由等差数列{an}的公差为d，由等差数列的性质可知：S5=5a3=15，则a3=3，d=a3﹣a2=1，首项a1=1，∴数列{an}通项公式an=1+（n﹣1）=n，前n项和Sn==；（Ⅱ）2nbn+1=（n+1）bn（n∈N*），则=?，∴=?，=?，=×，…=?，∴当n≥2时，=（）n﹣1，即bn=，当n=1时，b1=，符合上式，∴数列{bn}通项公式bn=，∴Tn=+++…+，Tn=+++…++，两式相减得：Tn=+++…+﹣，=﹣，=1﹣﹣，=1﹣，Tn=2﹣，数列{bn}前项和Tn=2﹣．22.（本题满分12分）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛