2022年四川省绵阳市毛公乡中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年四川省绵阳市毛公乡中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对任意实数，直线与圆的位置关系一定是A．相离

B.相切

C.相交且不过圆心

D.相交且过圆心参考答案：C2.已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．e B．e6 C．e6 D．e参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】设公共点为P（x0，y0），分别求出f′（x）和g′（x），由题意可得f′（x0）=g′（x0），列出方程求出解出x0，再由f（x0）=g（x0）得到b关于a的函数，求出函数的导数，由a的范围和导数的符号求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：设曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同，因为f′（x）=x+2a，g′（x）=，且f′（x0）=g′（x0），所以x0+2a=，化简得，解得x0=a或﹣3a，又x0＞0，且a＞0，则x0=a，因为f（x0）=g（x0），所以，则b（a）=（a＞0），所以b′（a）=5a﹣3（2alna+a）=2a﹣6alna=2a（1﹣3lna），由b′（a）=0得，a=，所以当0＜a＜时，b′（a）＞0；当a＞时，b′（a）＜0，即b（a）在（0，）上单调递增，b（a）在（，+∞）上单调递减，所以当a=时，实数b的取到极大值也是最大值b（）=．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的单调区间、极值和最值，以及对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（

）A．8π

B．16π

C.32π

D．64π参考答案：C4.下列命题中，真命题为（）A．?x0∈R，e≤0B．?x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件．参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A，B，C举例即可说明，对于D根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：对于A：因为ex＞0恒成立，故A不正确，对于B：当x=2时，不成立，故B不正确，对于C：a=b=0时，则a+b=0，故C不正确，对于D：由a＞1，b＞1?ab＞1，当a=﹣2，b=﹣2时，满足ab＞1，但不满足a＞1，b＞1，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，故D正确，故选：D5.已知直线过双曲线右焦点，交双曲线于，两点，若的最小值为2，则其离心率为（）

A．

B．

C．2

D．3参考答案：B6.“”是“与直线平行”的（

）A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A由与直线平行，得,检验时，两直线重合（舍去），所以时与直线平行的充要条件.7.已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(

) （）A．(1,2] B．(1,2) C．[2,+) D．(2,+)参考答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）参考答案：D9.设命题，，则为（

）．A.， B.，C.， D.，参考答案：A【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.【详解】解：表示对命题的否定，“，”的否定是“，”．故选．【点睛】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.10.已知“命题p：∈R，使得成立”为真命题，则实数a满足（

）

A．[0，1）

B．

C．[1，＋∞）

D．参考答案：B若时，不等式等价为，解得，结论成立.当时，令，因为，要使成立，则满足或，解得或，综上，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则二项式展开式中的常数项是．参考答案：240【考点】二项式定理的应用；定积分．【分析】利用定积分求出a，写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得出结论．【解答】解：=sinx=2，则二项式=展开式的通项公式为，令，求得r=4，所以二项式展开式中的常数项是×24=240．故答案为：240．【点评】本题考查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题．12.设向量=（1，x），=（﹣3，4），若∥，则实数x的值为．参考答案：﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量共线的性质求得x的值．【解答】解：由于向量=（1，x），=（﹣3，4），若∥，则由两个向量共线的性质可得1×4﹣x（﹣3）=0，解得x=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．13.设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则

参考答案：14.函数在区间上的最大值是

.参考答案：215.已知整数满足，则使函数的周期不小于的概率是

．参考答案：16.（坐标系与参数方程选做题）若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是

．参考答案：坐标系与参数方程选做题）

略17.在的展开式中，项的系数为__________.参考答案：-6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及前n项和为Sn；（Ⅱ）设Tn为数列的前n项的和，求证：.参考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.（Ⅱ），根据裂项求和法计算得到得到证明.【详解】（Ⅰ）等差数列的公差为，由，得，，即，，解得，.∴，.（Ⅱ），∴，∴，即.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.19.已知命题p：方程x2﹣（2+a）x+2a=0在上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命题“￢p且q”是真命题，求a的取值范围．参考答案：解：①若命题p为真，由x2﹣（2+a）x+2a=0得（x﹣2）（x﹣a）=0，解得x=2或x=a，又∵方程x2﹣（2+a）x+2a=0，在上有且仅有一解，∴﹣≤a≤1．②若命题q为真，即存在实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0∴△=4a2﹣8a≥0解得a≤0或a≥2，因为命题“￢p且q”是真命题，所以，命题p是假命题、命题q是真命题，当命题p为假时，a＜﹣1或a＞1，当命题q为真时，a≤0或a≥2，因此，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪A包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件，则丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率P（A）=0.6（0.3+0.2）+0.4×0.2=0.38．（2）记在一轮比赛中，“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件B，“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件C，则B与C相互独立，且P（B）=0.2×0.6=0.12，P（C）=0.3×0.6=0.18．所以在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率为：P（）P（）==0.88×0.82=0.7216．考点：复合命题的真假；一元二次不等式．专题：计算题；判别式法；简易逻辑．分析：先通过因式分解求出方程x2﹣（2+a）x+2a=0的根，再根据判别式确定不等式x2+2ax+2a≤0有解，最后根据复合命题真假求出a的取值范围．解答：解：①若命题p为真，由x2﹣（2+a）x+2a=0得（x﹣2）（x﹣a）=0，解得x=2或x=a，又∵方程x2﹣（2+a）x+2a=0，在上有且仅有一解，∴﹣≤a≤1．②若命题q为真，即存在实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0∴△=4a2﹣8a≥0解得a≤0或a≥2，因为命题“￢p且q”是真命题，所以，命题p是假命题、命题q是真命题，当命题p为假时，a＜﹣1或a＞1，当命题q为真时，a≤0或a≥2，因此，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪A包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件，则丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率P（A）=0.6（0.3+0.2）+0.4×0.2=0.38．（2）记在一轮比赛中，“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件B，“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件C，则B与C相互独立，且P（B）=0.2×0.6=0.12，P（C）=0.3×0.6=0.18．所以在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率为：P（）P（）==0.88×0.82=0.7216．点评：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率和对立事件的概率的计算公式的合理运用．20.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，曲线.直线l经过点，且倾斜角为.以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（I）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（II）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求实数m的值.

参考答案：解：(I)曲线C的方程为即,所以曲线C的极坐标方程为：即…………2分直线l的参数方程为：（t为参数）…………5分(II)设A，B两点对应的参数分别为，，将直线l的参数方程代入中得…7分所以…………8分由题意得，解得或或…………10分

21.（本小题满分13分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．（Ⅰ）当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．参考答案：（17）（本小题满分13分）方法一：（Ⅰ）证明：如图①，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.………5分图①图②（Ⅱ）如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ也是等腰梯形．同理可证四边形PQMN也是等腰梯形．分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF＝MN知四边形EFNM是平行四边形．连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝，故存在λ＝，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．……13分方法二：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．

图③(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．…………2分（Ⅰ）证明：当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.………6分（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝.故存在λ＝，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．………13分22.（本小题满分13分）在数列中，已知.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：数列是等差数列；（Ⅲ)设数列满足，求的前n项和.参考答案：解：（Ⅰ）∵∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，∴.……………