2022年北京平谷区第四中学高三数学文期末试题含解析

2022年北京平谷区第四中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件

，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则的最小值为(

).A.

B.

C.

D.4参考答案：B2.已知O为坐标原点，F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左右焦点，A为C的左顶点，P为C上一点，且PF1⊥x轴，过点A的直线l与线段PF1交于点M，与y轴交于点E，若直线F2M与y轴交点为N，OE=2ON，则C的离心率为（）A． B．2 C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出直线AE的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF1⊥x轴，∴设M（﹣c，t），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），∵N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即c=2a，则离心率e==2，故选：B3.在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好落在圆内的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.设函数，若，且，则mn的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A5.在平面直角坐标系xoy中，设椭圆（a>b>0）的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M，若过点P（，0）作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.复数(i是虚数单位）在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】B

∵i（1+i）=i+i2=-1+i，∴i（1+i）即复数为-1+i，

∴-1+i在复平面内对应的点（-1，1）位于第二象限．故答案为：B．【思路点拨】由i（1+i）=-1+i，由此能求出复数i（1+i）的复数在复平面内对应的点所在的象限．7.若圆与圆，则（

）

参考答案：C8.已知函数存在极值，若这些极值的和大于，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知正项的等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（

）A

B

C

D

2参考答案：C10.已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】依题意可知f（x）=sin（ωx+）的周期为π，从而可求得ω，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，∴f（x）=sin（ωx+）的周期T=π，又ω＞0，T==π，∴ω=2；∴f（x）=sin（2x+）．令g（x）=cos2x=sin（2x+），则g（x）=sin（2x+）g（x﹣）=sin[2（x﹣）+）]=sin（2x+）=f（x），∴要想得到f（x）=sin（2x+）的图象，只需将y=g（x）=cos2x=sin（2x+）的图象右平移个单位即可．故选B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω的值是关键，考查平移知识与运算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a>0，且a≠1，,则实数a的取值范围是

.参考答案：12.已知直线与曲线相切于点，则b的值为

．参考答案：将点坐标代入曲线方程得，，曲线方程为，对应函数的导数为，依题意得，解得，．13.在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中

点，则__________.参考答案：略14.不等式的解集是

．参考答案：(-1,1)15.观察等式

……由以上等式推测到一个一般的结论：对于_____________.参考答案：16.已知a=4，则二项式（x2+）5的

展开式中x的系数为

．参考答案：略17.已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望。参考答案：解（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则………4分（II）的可能值得为0，1，2，3，4，5……………9分所以随机变量的分布列如下：012345故………12分19.设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在(0,+∞)上有零点，证明：.参考答案：（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）.【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调区间；（2）采用分离参数法，得，根据在上存在零点，可知有解，构造，求导，知在上存在唯一零点，即零点k满足，进而求得，再根据有解，得证【详解】（1）解：函数的定义域为，因为，所以．所以当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数．所以在上增函数，在上是减函数．（2）证明：由题意可得，当时，有解，即有解．令，则．设函数，所以在上单调递增．又，所以在上存在唯一的零点．故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．当时，；当时，．所以在上的最小值为．又由，可得，所以，因为在上有解，所以，即．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式成立，考查了利用导数研究函数的零点问题，涉及了求函数导数，函数零点存在性定理的应用等知识；从哪里入手，怎样构造，如何构造适当的函数，是解决此类问题的关键一步.20.选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，直线l过点P（1，1），且倾斜角α=以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A、B两点，求|PA|?|PB|的值．参考答案：【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（Ⅰ）由圆C的极坐标ρ=4sinθ根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得直线的方程为，代入曲线方程化简求得t1和t2的值，可得|PA|?|PB|=|t1|?|t2|的值．解：（Ⅰ）由圆C的极坐标ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）为圆心、半径等于2的圆．（Ⅱ）由直线l过点P（1，1），且倾斜角α=，可得直线的方程为．把直线方程代入曲线方程化简可得+﹣4（1+t），解得t1=，t2=﹣，∴|PA|?|PB|=|t1|?|t2|=2．【点评】：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程，参数的几何意义，属于基础题．21.学校要建一个面积为的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为和的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。参考答案：设游泳池的长为，则游泳池的宽为,

又设占地面积为，依题意，得当且仅当,即时,取“=”.答：游泳池的长为,宽为时，占地面积最小为64822.（13分）已知函数，曲线在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为，若时，有极值．(I)求a、b、c的值；(II)求在[-3,1]上的最大值和最小值．参考答案：解析：(I)由，得．……2分当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．

①当时，有极值，则，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得

a=2,b=-4．……5分设切线l的方程为

．由原点到切线l的距离为，则．解得m=±1．∵切线l不过第四象限，∴m=1．……6分由于l切点的横坐标为x=1，∴．∴1+a+b+c=4．∴c=5