2022天津西青道中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022天津西青道中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，a=15，b=10,∠A=，则

（

）

A．

B．

C．

D．[参考答案：A略2.

如果方程的两个实根一个小于，另一个大于，那么实数的取值范围是(

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知点是双曲线的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P，且点P在抛物线上，则e2=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为 (A)

(B)(C)

(D)参考答案：C函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数为，再将所得图象向右平移个单位得到函数5.已知向量=（1，2），=（x+1，﹣x），且⊥，则x=（）A．1 B．2 C． D．0参考答案：A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】本题考查知识点是两个平面向量的垂直关系，由⊥，且=（1，2），=（x+1，﹣x），我们结合“两个向量若垂直，对应相乘和为0”的原则，易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵⊥，∴?=0，即x+1﹣2x=0，x=1．故答案选A．【点评】判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．6.已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A略7.已知实数满足约束条件，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.已知集合，，则为（

）（A）

(B)

(C)

(D)

参考答案：9.已知函数,,若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则实数k的取值范围是(

)A B.C. D.参考答案：D【分析】由题意与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称，即，等价于，数形结合求解.【详解】由于与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则，即所以指数函数与在恒有交点当直线与相切时，由于，设切点此时切线方程：过（0，0）因此：数形结合可知：或时，与有交点又要求在恒有交点，由图像，当时，，当时，综上：解得故选：D【点睛】本题考查了函数的对称性问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.10.设x，y满足约束条件，若z=ax+y仅在点（，）处取得最大值，则a的值可以为（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣1参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出其平面区域，由图确定若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值时斜率﹣a的要求，从而求出a的取值范围．【解答】解：由题意，作出x，y满足约束条件平面区域如下图：目标函数z=ax+y（其中a＞0）可化为y=﹣ax+z，则由目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（，）处取得最大值，得：﹣a＜﹣2，即a＞2．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过曲线上点p处的切线平行于直线y=3x+2，那么点P的坐标为______．参考答案：(1,0)略12.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的劣弧上运动，若=，其中，则的取值范围是___________.

参考答案：13.已知底面边长为,各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC的四个点都在同一球面上,则此球的表面积为

。参考答案：3π【知识点】单元综合G12由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1．正方体的体对角线是．故外接球的直径是，半径是．

故其表面积是4×π×()2=3π．【思路点拨】底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接求即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，表面积易求14.在的展开式中常数项是

。（用数字作答）参考答案：4515.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。参考答案：

本题有两种方法，一、几何法：连接，则,又，易知，所以与所成角的大小是；二、坐标法：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算得异面直线与所成角的大小是.16.已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是．参考答案：考点：平均值不等式在函数极值中的应用．专题：综合题．分析：由条件可得xy+yz+xz=﹣1，利用x+y+z=1，可得xyz=z3﹣z2﹣z，利用导数的方法，可求xyz的最大值．解答：解：∵x+y+z=1①，x2+y2+z2=3②∴①2﹣②可得：xy+yz+xz=﹣1∴xy+z（x+y）=﹣1∵x+y+z=1，∴x+y=1﹣z∴xy=﹣1﹣z（x+y）=﹣1﹣z（1﹣z）=z2﹣z﹣1∵x2+y2=3﹣z2≥2xy=2（z2﹣z﹣1）?3z2﹣2z﹣5≤0?﹣1≤z≤令f（z）=xyz=z3﹣z2﹣z，则f′（z）=3z2﹣2z﹣1=（z﹣1）（3z+1）令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜，∴f（z）在区间[﹣1，﹣]单调递增，在[﹣，1]单调递减，在[1，]单调递增，当z=﹣时，xyz的值为，当z=时，xyz的值为，∴xyz的最大值为．故答案为：．点评：本题考查最值问题，考查导数知识的运用，解题的关键是正确转化，从而利用导数进行求解．17.根据如图所示的伪代码，输出S的值为

．

S←1I←1While

I≤8S←S+II←I+2EndWhilePrintS

参考答案：17【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=9时不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I≤8，S=2，I=3满足条件I≤8，S=5，I=5满足条件I≤8，S=10，I=7满足条件I≤8，S=17，I=9不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知椭圆：

（）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；ks5u（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；（3）设O为坐标原点，取上不同于O的点S，以OS为直径作圆与相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标．参考答案：解：（1）解：由，得，再由，解得

…………1分由题意可知，即

…………………2分解方程组得

………3分所以椭圆C1的方程是

………………3分（2）因为，所以动点到定直线的距离等于它到定点（1，0）的距离，所以动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，…6分所以点的轨迹的方程为

…………7分（3）因为以为直径的圆与相交于点，所以∠ORS=90°，即

……………………8分设S（，），R（，），＝（-，-），=（，）所以因为，，化简得

…………10分所以，当且仅当即＝16，y2＝±4时等号成立.………12分圆的直径|OS|=因为≥64，所以当＝64即=±8时，，……………13分所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）……14分19.（本小题满分13分）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．设为线段的中点．（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若圆在点处的切线与轴交于点，试判断直线与轨迹的位置关系．参考答案：（Ⅰ）设，则．点在圆上，，即点的轨迹的方程为．…………4分（Ⅱ）解法一：（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或．显然与轨迹相切；（ii）当直线的斜率存在时，设的方程为，因为直线与圆相切，所以，即．………………7分又直线的斜率等于，点的坐标为．所以直线的方程为，即．…………9分由得．．故直线与轨迹相切．综上（i）（ii）知，直线与轨迹相切．……………13分解法二：设（），则．……5分（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；（ii）当时，直线的方程为，即．令，则．，又点，所以直线的方程为，即．………………9分由得即．．所以，直线与轨迹相切．综上（i）（ii）知，直线与轨迹相切．……………13分20.已知向量，（x∈R），设函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若，，求f（C）的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）根据所给的两个向量的坐标，写出函数f（x）的解析式，逆用正弦的二倍角公式，把函数变形为y=sinx的形式，根据所给的变量的取值范围，写出函数的值域．（2）根据，，写出三角形的两个内角的三角函数值，根据三角形是锐角三角形和同角的三角函数关系，根据两角和的正弦公式，得到结果．【解答】解：（1）∵向量，（x∈R），∴=．∵x∈R，∴函数f（x）的值域为[﹣1，1]．（2）∵，，∴，．∵A，B都是锐角，∴，．∴f（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴f（A+B）的值为．21.某兴趣小组由4男2女共6名同学.（1）从6人中任意选取3人参加比赛，求所选3人中至少有1名女同学的概率；（2）将6人平均分成两组进行比赛，列出所有的分组方法.参考答案：【知识点】随事件的概率K1【答案解析】（1）（2）10种记4名男同学为：A，B，C，D，2名女同学为1,2（1）从6人中任意选取3人，共有ABC，ABD，AB1，AB2，ACD，AC1，AC2，AD1，AD2，A12，BCD，BC1，BC2，BD1，BD2，B12，CD1，CD2，C12，D12共20种…4分至少有1名女同学的是AB1，AB2，AC1，AC2，AD1，AD2，A12，BC1，BC2，BD1，BD2，B12，CD1，CD2，C12，D12共16种，所求概率为（2）共有ABC，D12；ABD，C12；AB1，CD2；AB2，CD1；ACD，B12；AC1，BD2；AC2，BD1；AD1，BC2；AD2，BC1；A12，BCD共10种.【思路点拨】先找出所选3人中至少有1名女同学的情况种数，在求出概率。22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．（1）解不等式：；（2）若对一切实数均成立，求的取值范围．参考答案：（1）；（2）.试题分析：第一问根据变量的取值范围，去掉绝对值符号，求得结果，即利用零点分段法求得不等式的解集，第二问转化为最值来处理，利用三角不等式求得结果.试题解析：（1）当时,,得,所以成立.