2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市清华园高级中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市清华园高级中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线满足彖件：（1）焦点为；（2）离心率为，求得双曲线的方程为。若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件共有①双曲线上的任意点都满足；②双曲线的—条准线为③双曲线上的点到左焦点的距离与到右准线的距离比为④双曲线的渐近线方程为A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：答案：B2.函数的图象关于

A．直线对称

B.直线对称

C.点对称

D.点对称参考答案：B略3.已知函数f（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则实数a的取值范围（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）参考答案：D【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，分析可得g（x）的奇偶性与单调性，则f（a2）+f（a﹣2）＞4，可以转化为g（a2）＞﹣g（a﹣2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得a2＜2﹣a，解可得a的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，g（﹣x）=﹣2（﹣x）5﹣（﹣x）3﹣7（﹣x）=﹣（﹣2x5﹣x3﹣7x），则g（x）为奇函数，而g（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x，则g′（x）=﹣10x4﹣2x2﹣7＜0，则g（x）为减函数，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则有f（a2）﹣2＞﹣，即g（a2）＞﹣g（a﹣2），即g（a2）＞g（2﹣a），则有a2＜2﹣a，解可得﹣2＜a＜1，即a的取值范围是（﹣2，1）；故选：D．4.已知向量⊥，|﹣|=2，定义：=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若?=，则||的最大值为(

) A． B． C．1 D．参考答案：C考点：平面向量数量积的运算；函数的最值及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：画出草图，通过⊥、|﹣|=2可得||=1，利用=λ+（1﹣λ）可得B、P、D、C四点共线，结合=||cosα，可得当B、P两点重合时||最大，计算即可．解答： 解：如图，记=，=，=，=，＜，＞=α．∵⊥，|﹣|=2，∴||=1，∵=λ+（1﹣λ），∴B、P、D、C四点共线，∵=?=||?||cosα=1?||cosα，∴在上的投影为，∴当B、P两点重合时，||最大，此时α=，||=||=1，故选：C．点评：本题考查平面向量的几何意义，涉及到向量的加、减法运算法则，三点共线的向量表示，向量的投影等知识，注意解题方法的积累，属于难题．5.设，且=sinx+cosx，则（）A．0≤x≤π

B．―≤x≤

C．≤x≤

D．―≤x≤―或≤x＜参考答案：B6.执行右面的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：C由题意知。当时，由，得，解得。当时，由，得，所以输入的实数值的个数为3个，选C.7.已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】分段函数的应用．【分析】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=logax，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜loga5，即loga5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A8.与命题“若，则”等价的命题是

（

）A.若，则

B.若，则

C.若，

则 D若，则参考答案：D9.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是

（

）A．若，则

B．若，则C．若，则

C．若，则参考答案：C略10.已知命题p：?x∈R，使；命题q：?x∈R，都有．下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧”是真命题C．命题“∧q”是真命题D.命题“”是假命题参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC的重心为G(,－2),边AB的中点为D(,－1),边BC的中点为E(,－4),那么三个顶点的坐标是__________.参考答案：(1,2),(－,－4),(9,－4)12.函数，则的值为____________.参考答案：13.设若，则=

参考答案：1本题考查了分段函数的求值以及定积分的有关计算问题，难度一般。

，而，所以14.已知满足,则的最大值为

参考答案：答案:315.为估计一个圆柱形烧杯A底面积的大小，做以下实验，在一个底面边长为a的正四棱柱容器B中装有一定量的白色小珠子，现用烧杯A盛满黑色小珠子（珠子与杯口平齐），将其倒入容器B中，并充分混合，此时容器B中小珠子的深度刚好为a（两种颜色的小珠子大小形状完全相同，且白色的多于黑色的）现从容器B中随机取出100个小珠子，清点得黑色小珠子有25个。若烧杯A中的高为h，于是可估计此烧杯的底面积S均等于

.参考答案：16.已知等差数列中,,,则

.参考答案：17.．直线与圆相交于，两点，若，则实数的取值范围是____________．参考答案：由圆可得：圆心，半径，∴圆心到直线的距离．∵弦长，∴，即，解得．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.三棱锥,底面为边长为的正三角形，平面平面，,为上一点，，为底面三角形中心.（Ⅰ）求证∥面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设为中点，求二面角的余弦值.参考答案：证明：（Ⅰ）连结交于点，连结.为正三角形的中心，∴,且为中点.又，∴∥,

--------------2分平面，平面∴∥面．

--------------4分（Ⅱ）,且为中点,∴,又平面平面，∴平面,

------------5分由（Ⅰ）知，∥，∴平面,∴

----------6分连结,则,又,∴平面,∴．-----------8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，两两互相垂直，且为中点，所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则------9分∴设平面的法向量为，则，令，则．--------------10分由（Ⅱ）知平面,∴为平面的法向量，∴，由图可知，二面角的余弦值为．--------------12分19.(本题满分16分）已知函数（1）求f(x)的单调区间；（2）对任意的，恒有，求正实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）=（）

令，

…1分①时，，所以增区间是；②时，，所以增区间是与，减区间是③时，，所以增区间是与，减区间是④时，，所以增区间是，减区间是

…5分（Ⅰ）因为，所以，由（1）知在上为减函数. …6分若，则原不等式恒成立，∴

…7分若，不妨设，则，，所以原不等式即为：，即对任意的，恒成立令，所以对任意的，有恒成立，所以在闭区间上为增函数

…9分所以对任意的，恒成立20.已知函数．（1）用单调性定义证明：在上是减函数；（2）求的值域．参考答案：（1）证明：任取，则，因为，所以，，，所以，所以，故在上是减函数．（2）解：注意到，所以是上的偶函数．由（1）知在上是增函数，所以，又易知趋于无穷大，趋于无穷大，所以函数的值域为．21.已知存在单调递减区间．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）判断曲线y=f（x）在x=0的切线能否与曲线相切？若存在，求出a，若不存在，说明理由；（Ⅲ）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求证：．参考答案：

略22.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2VA﹣BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF?平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结A