2021-2022学年辽宁省沈阳市第一百七十中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年辽宁省沈阳市第一百七十中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列选项中，可以作为的必要不充分条件的是A.

B.C.

D.参考答案：D，，选项均等价于（其中选项，假设，则不会存在，使得成立，即，），等价于，而是的必要不充分条件.故选D

2.已知直线，平面，且，给出四个命题：

①若∥，则；②若，则∥；③若，则l∥m；④若l∥m，则．其中真命题的个数是(

)A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C略3.定义在上的函数不是常数函数，且满足对任意的有，

，现得出下列5个结论：①是偶函数，②的图像关于对称，③是周期函数，④是单调函数，⑤有最大值和最小值.其中正确的是

A. ①②⑤

B. ②③⑤

C. ②③④

D.

①②③参考答案：D略4.已知命题p：,x2－x+1≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b.下列命题为真命题的是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B由时成立知p是真命题，由可知q是假命题，故选B.5.已知向量，若，则实数的值是（

）A.-2 B.0 C.1 D.2参考答案：A略6.若，则直线被圆所截得的弦长为(

)A．

B．1

C．

D．参考答案：D略7.设a、b、c均为正实数，则三个数

(

)A．都大于2B．都不大于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2参考答案：D8.若曲线与曲线在交点处有公切线，则（A）（B）（C）（D）参考答案：B略9.已知全集为,则 A. B. C. D.

参考答案：A10.已知则与的夹角为

（

）

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，函数的最小值为2，则的最小值为

参考答案：212.函数，单调增区间是

▲

．参考答案：略13.若变量x,y满足约束条件则Z=2x-y的最大值为（

）A.2

B.5

C.1

D.4参考答案：B略14.直线的倾斜角是__________．参考答案：直线为，倾斜角，．15.若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.参考答案：16.斜率为的直线l过抛物线的焦点且与该抛物线交于A，B两点，则|AB|=

；参考答案：略17.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则

.

参考答案：1005略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．参考答案：考点：函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为2x+﹣2≥k?2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最大值，从而求得k的取值范围．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0?|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．解答： 解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k?2x≥0可化为2x+﹣2≥k?2x，可化为1+（）2﹣2?≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max=h（2）=1，所以k的取值范围是（﹣∞，1]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或∴k＞0．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．19.（本小题满分12分）计算：（1）计算；（2）已知，求．参考答案：（1）20；（2）-1.（1）原式＝；（2）因为，所以，又因为，所以，所以.考点：指数，对数的运算性质20.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：分组频数频率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）mp[25，30）20.05合计M1（1）求出表中M、p、m、n的值；（2）补全频率分布直方图；若该校高一学生有360人，估计他们参加社区服务的次数在区间参考答案：【分析】（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：．列出表格即可得出函数的单调性极值；（II）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x1（1，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增因此，当时，f（x）有极大值，且；当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2．（Ⅱ）由g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1，令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．（1）当a=0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．（3）当a＞0时，，f'（x）=0得，时，0＜x1＜1，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理时也不成立．综上所述：a的取值范围为．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．21.（本题满分7分）如图，平面，矩形的边长，，为的中点．若，求异面直线与所成的角的大小．

参考答案：（1）连，由，得，同理，，由勾股定理逆定理得，．由平面，得.由，，得平面．．取的中点，的中点，连、、、．，，的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小．由，，，得，，，．异面直线与所成的角的大小为．22.过椭圆C：+=1（a＞b＞0）右焦点F（1，0）的直线与椭圆C交于两点A、B，自A、B向直线x=5作垂线，垂足分别为A1、B1，且=．（1）求椭圆C的方程；（2）记△AFA1、△FA1B1、△BFB1的面积分别为S1、S2、S3，证明：是定值，并求出该定值．参考答案：【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设点A（x，y），写出|AA1|、|AF|的表达式，由=求出椭圆C的方程；（2）根据题意可设直线方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）；由得（4m2+5）y2+8my﹣16=0，由根与系数的关系，结合题意求出△AFA1的面积S1，△FA1B1的面积S2，△BFB1的面积S3，计算的值即可．【解答】解：（1）设点A（x，y），则|AA1|=5﹣x，|AF|=，由=，得=，化简得+=1，由A是椭圆C上任一点，∴椭圆C的方程为+=1；（2）证明：∵直线AB的斜率不可以为0，而可以不存在，∴可设直线方程为：x=my+1；设A（x1，y1），B（x2，y2）；由，消去x得（4m2+5）y2+8my﹣16=0；∴（*）；由题意：△AFA1