2021-2022学年湖南省常德市青峰煤矿职工子弟学校高三数学文联考试卷含解析

2021-2022学年湖南省常德市青峰煤矿职工子弟学校高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列的前n项和为，且，则=（

）A．-16

B．-32 C．32 D．-64参考答案：B略2.设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数在上递减，那么甲是乙的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B3.在△中,,,则△的面积为（）.A．3 B．

C．6 D．4参考答案：D【知识点】向量的数量积公式；三角形面积公式F3解析：因为，所以，即，则，故选D.【思路点拨】先利用已知条件结合向量的数量积公式得到，再利用三角形面积计算即可。4.命题p：?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga（x﹣1）的图象过点（2，0），命题q：?x∈N，x3＜x2．则（）A．p假q假 B．p真q假 C．p假q真 D．p真q真参考答案：B【考点】2K：命题的真假判断与应用；4N：对数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质，分析命题p，q的真假，可得答案．【解答】解：当x=2时，loga（x﹣1）=loga1=0恒成立，故命题p：?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga（x﹣1）的图象过点（2，0），为真命题；?x∈N，x3≥x2恒成立，故命题q：?x∈N，x3＜x2为假命题，故选：B5.在正四面体ABCD的面上，到棱AB以及C、D两点的距离都相等的点共有（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

参考答案：B略6.（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N（﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的第二定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的第二定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．7.已知函数的最大值是，最小值是，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（

）A.

B.C.

D.参考答案：D略8.抛物线的准线交轴于点，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率为（

）A．2

B．

C.

D．参考答案：D9.已知，满足不等式组则目标函数的最大值为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B做出可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点D时，直线的的截距最大，此时最大，由题意知，代入直线得，所以最大值为12，选B.

【解析】略10.设是虚数单位，复数，则等于（

）A.

B.

C.-1

D.1

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数（，e为自然对数的底数）与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是______．参考答案：因为函数为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，等价于，在上有解，设，求导得，在有唯一的极值点，在上单调递增，在上单调递减，，，的值域为，故方程在上有解等价于，从而的取值范围是，故答案为.12.16．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。参考答案：13.设直线：的方向向量是，直线2：的法向量是，若与平行，则_________．参考答案：因为与平行，所以直线垂直。的斜率为，直线的斜率为，由，解得。14.已知函数f（x）=（x＞1），当且仅当x=

时，f（x）取到最小值为

．参考答案：2;2.【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义．【专题】不等式的解法及应用．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴函数f（x）==x﹣1+=2，当且仅当x=2时取等号．故答案分别为：2；2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．15.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则△ABC最大的余弦值为

．参考答案：由题设三边长分别为:a,,2a,且2a为最大边,所对的角为,

由余弦定理得:

16.(理科)已知集合,,若,则实数的取值范围是____________________参考答案：(0,4)17.在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为_______参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，离心率为，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．参考答案：（Ⅰ）∵焦距为4，∴c=2

………………1分

又，∴a=，b=2

…………3分

∴标准方程为

………4分

（Ⅱ）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得

……5分

∴x1+x2=，x1x2=

由（Ⅰ）知右焦点F坐标为（2，0），

∵右焦点F在圆内部，∴＜0

………………7分

∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0

即x1x2-2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0

……8分

∴＜0

……………10分

∴k＜经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，

∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）

……………12分19.某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：环数78910命中次数2783（1）求此运动员射击的环数的平均值；（2）若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果（2次、7次、8次、3次）中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m次、n次，每个基本事件为（m，n），求事件“m+n≥10”的概率．参考答案：解：（1）运动员射击的总次数为2+7+8+3=20次，射击的总环数为2×7+7×8+8×9+3×10=172（环）．故平均环数为=8.6（环）．（2）依题意，用（m，n）的形式列出所有基本事件为（2，7），（2，8），（2，3），（7，8），（3，8），（3，7），（7，2），（8，2），（3，2），（8，7），（8，3），（7，3）共12个；设满足条件“m+n≥10”的事件为A，则事件A包含的为（2，8），（7，8），（3，8），（3，7），（8，2），（8，7），（8，3），（7，3），总数为8，所以P（A）==，故满足条件“m+n≥10”的概率为．略20.（本小题满分12分）如图4，是平行四边形，已知，,平面平面.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）∵是平行四边形，且∴，故，即

（1分）取BC的中点F，连结EF，∵，∴

（2分）又∵平面平面，∴平面

（3分）∵平面，∴

（4分）∵平面，∴平面，

（5分）∵平面，∴

（6分）（Ⅱ）∵,由（Ⅰ）得

（7分）以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则

∴

（8分）设平面的法向量为，则，即

得平面的一个法向量为

（10分）由（Ⅰ）知平面，所以可设平面的法向量为

（11分）设平面与平面所成二面角的平面角为，则

即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.（12分）

21.（13分）已知在中，分别为角的对边，,，.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.参考答