2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县白山乡中学高三数学理期末试题

2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县白山乡中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中,,，为的中点,则=（

）A．3

B．

C．-3

D．参考答案：D2.下列4个命题：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”；②若“?p或q”是假命题，则“p且?q”是真命题；③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则?p：任意x∈R，均有2x≥x2；其中正确命题的个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】直接写出命题的逆否命题判断①；由复合命题的真假判断判定②；求解不等式，然后结合充要条件的判断方法判断③；直接写出特称命题的否定判断④．【解答】解：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”，①正确；②若“?p或q”是假命题，则?p、q均为假命题，∴p、?q均为真命题，“p且?q”是真命题，②正确；③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则?p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确．∴正确的命题有3个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定、逆否命题，训练了充分必要条件的判断方法，是基础题．3.sin120?的值为A. B.－1 C. D.－参考答案：C4.若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为.已知数列满足，则下列结论中错误的是A.若m=，则a5＝3

B若a3=2，则m可以取3个不同的值C.若，则数列是周期为的数列D.且，数列是周期数列参考答案：D5.△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（） A． B． C． D． 参考答案：D略6.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）A． B．2 C．2 D．1参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线标准方程可得其焦点坐标，进而由点到直线距离公式计算可得答案．【解答】解：抛物线的方程为y2=8x，焦点为（2，0），焦点到直线x﹣y=0的距离d==；故选：A．【点评】本题考查抛物线的几何性质，关键是求出抛物线的焦点坐标．8.设集合，，则A∩B=（

）A．{0,1}

B．{0,1,2}

C．{0,1,2,3}

D．{－1,0,1,2}参考答案：B9.已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为A．＋2

B．＋1

C．＋1

D．＋1参考答案：D略10.函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（）A.(2,4) B.(－∞,2] C.(－∞,4] D.[4,+∞)参考答案：B试题分析：∵，令，由得，依题意有在是减函数，∴，即，故选B．考点：同角三角函数的基本关系式及二次函数的单调性.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合，则_______.参考答案：12.若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是

。参考答案：13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是

cm。参考答案：4试题分析：设球半径为r，则由可得，解得．考点：1．组合几何体的面积、体积．【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利用三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．14.有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为

．(用数字作答）参考答案：48

15.如果实数满足条件，则的最大值为_________．参考答案：考点：简单线性规划．16.已知在中，角，，所对的边分别为，，，，点在线段上，且.若，则

．参考答案：，有正弦定理得，则，所有。由题意，是角平分线，，设，则，由，所有，，由得，，解得，所以。

17.对于区间，我们定义其长度为，若已知函数的定义域为,值域为,则区间长度的最大值为

▲

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)已知分别是椭圆：的左右顶点，是椭圆的左焦点，,离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上异于的任意一点，且，为垂足，延长到点使得,连接,并延长交直线于点，为中点，求的值，并判断以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系.参考答案：

……4分（2）设点，

……5分

……6分

……7分……8分

……9分

…11分.

…………12分19.抛物线在点，处的切线垂直相交于点，直线与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离；（Ⅱ）设点到直线的距离为，试问：

是否存在直线，使得，，成等比数列？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

参考答案：解：（I）抛物线的焦点，

………1分椭圆的左焦点，

………2分

则．

………3分（II）设直线，，，，，由，得，

………4分故，．

由，得，故切线，的斜率分别为，，

再由，得，

即，

故，这说明直线过抛物线的焦点．

………7分由，得，,即．

………8分于是点到直线的距离.

………9分由，得，

………10分从而，

………11分同理，．

………12分若，，成等比数列，则，

………13分即，化简整理，得，此方程无实根，所以不存在直线，使得，，成等比数列．

………15分

略20.（本题满分12分）已知数列满足，且（Ⅰ）用数学归纳法证明：（Ⅱ）设，求数列的通项公式.参考答案：（Ⅰ）证明：①当时，，②假设当时，结论成立，即，则当时，

又综上①②可知………………6分（Ⅱ）由可得：

即……8分

令，则

又

∴是以1为首项，以2为公比的等比数列，，即………12分21.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后交DC于点P，设△ADP的面积为，折叠后重合部分△ACP的面积为．（Ⅰ）设m，用表示图中的长度，并写出的取值范围；（Ⅱ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？（Ⅲ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？参考答案：（Ⅰ）由题意，,，.…………1分设，则，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，由PA2=AD2+DP2，得即：..…………3分（Ⅱ）记△ADP的面积为，则.…………5分当且仅当时，取得最大值．故当材料长为，宽为时，最大．….…………7分（Ⅲ）于是令.…………9分关于的函数在上递增，在上递减，当时，取得最大值．故当材料长为，宽为时，最大．.…………12分22.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为棱的中点．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．因为四边形为正方形，所以为中点．因为为棱中点．

所以．

………………3分因为平面，平面，所以直线//平面．

………………4分

（Ⅱ）证明：因为平面，所以．

………………5分因为四边形为正方形，所以，所以平面．

………………7分

所以平面平面．

………………8分

（Ⅲ）解法一：在平面内过作直线．因为平面平面，所以平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．…………9分设，则．

所以，．

设平面的法向量为，则有所以

取，得．

………………11分

易知平面的法向量为．

………………12分

所以．

………………13分由图可知二面角的平面角是钝角，

所以二面角的余弦值为．

………………14分解法二：取中点，中点，连结，．因为为正方形，所以．由（Ⅱ）可得平面．因为，所以．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．

………………9