2021-2022学年湖北省宜昌市县三斗坪高级中学高二数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年湖北省宜昌市县三斗坪高级中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某人从2008年起，每年1月1日到银行新存入元(一年定期)，若年利率为保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2012年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为（

）(单位为元)A.

B.

C.

D.参考答案：B2.下列说法错误的是

（

）A、“”是“”的必要不充分条件B、命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”；C、若命题p：x∈R，x2-x+1<0，则p：x∈R，x2-x+1≥0；D、函数的单调增区间是

参考答案：D3.给出下述命题：①若则②若则③若则④若则其中不正确的是（

）A．①②

B。①③

C。③

D。③④参考答案：C解析：由可得若

则若则得4.抛物线的焦点坐标是

（

）A．（,0）

B.(－,0)

C．（0,）

D．（0,－）参考答案：A5.已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知命题p：?x∈N*，2x＞x2，则￢p是（）A．?x∈N*，2x＞x2 B．?x∈N*，2x≤x2 C．?x∈N*，2x≤x2 D．?x∈N*，2x＜x2参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“?”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题p：?x∈N*，2x＞x2，则￢p是?x∈N*，2x≤x2，故选：C．7.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，O为坐标原点，则的面积与的面积之比为A. B. C. D.2参考答案：D【分析】设点位于第一象限，点，并设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，由抛物线的定义得出点的坐标，可得出点的纵坐标的值，最后得出的面积与的面积之比为的值.【详解】设点位于第一象限，点，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，得，，由抛物线的定义得，得，，，，可得出，，故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。8.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（

）A.2

B.

3

C.

4

D.6参考答案：C9.已知椭圆的两个焦点为，，是此椭圆上的一点，且，，则该椭圆的方程是A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某中学积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年份（届）2014201520162017学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数x51495557被清华、北大等世界名校录取的学生人数y10396108107根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（

）A.111

B.115

C.117

D.123参考答案：C，故，即，将代入上式，求得.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是定义在

R上的奇函数，且当时，，则的值为______．参考答案：－1由题意可得：12.从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取2个,一共可以组成

(用数字作答)多少个没有重复的五位数字。参考答案：720013.已知，，，则与夹角的度数为

.参考答案：14.若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是

▲

．参考答案：8当y=2x取得等号，所以的最小值是8

15.设函数f（x）的导数为f'（x），且f（x）=ex+2x?f'（1），则f'（0）=．参考答案：1﹣2e【考点】导数的运算．【分析】首先求出函数的导数f'（x），然后将x=1代入f'（1），再代入x=0，即可求出结果．【解答】解：f'（x）=ex+2f'（1），则f′（1）=e+2f'（1），则f'（1）=﹣e，则f′（0）=1﹣2e，故答案为：1﹣2e．16.表示为，则=

▲

．参考答案：略17.边长为4的正四面体中，为的中点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．（1）求f（x）的表达式；（2）讨论函数g（x）=在（﹣，+∞）上的单调性，并证之．参考答案：【考点】3E：函数单调性的判断与证明；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】（1）由f（x）为幂函数，且在第一象限单调递增，列出方程组，能求出f（x）的表达式．（2）推导出g（x）=x++3，利用定义法和分类讨论思想能求出结果．【解答】解：（1）∵f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．∴由题意得：，解得a=2，∴f（x）=x2．（2）g（x）===x++3，任取x1，x2∈（﹣），且x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）=（）﹣（+3）=（x1﹣x2）+（）=，①当﹣＜0时，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（﹣，0）上单调递减．②当0＜时，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（0，）上单调递减．③当时，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），∴g（x）在[，+∞）上单调递增．19.已知函数f（x）=x（x2﹣ax+3）．（Ⅰ）若x=是f（x）的极值点，求f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值与最小值；（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，令f′（x）=0，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值；（Ⅱ）问题转化为a≤[（x+）]最小值即可，设g（x）=x+（x≥1），求出函数g（x）的最小值，从而求出a的范围．解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=x3﹣ax2+3x，得：f′（x）=3x2﹣2ax+3，由已知得：f′（）=0，解得：a=5，∴f（x）=x3﹣5x2+3x，f′（x）=3x2﹣10x+3，由f′（x）=0，解得：x=或3，f（x）与f′（x）在[﹣1，4]上的变化情况如下：x﹣1（﹣1，）（，3）3（3，4）4f′（x）

+

﹣

+

f（x）﹣9递增递减﹣9递增﹣4∴函数f（x）在[﹣1，4]上的最小值为﹣9，最大值是；（Ⅱ）f′（x）=3x2﹣2ax+3，由f（x）在[1，+∞）递增，得：3x2﹣2ax+3≥0，即；a≤（x+），要使上式成立，只要a≤[（x+）]最小值即可，设g（x）=x+（x≥1），由于g（x）在[1，+∞）是递增，∴g（x）最小值=2，∴a≤3，即a的取值范围是（﹣∞，3]．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．20.（本小题14分）已知虚数满足.（1）求；（2）是否存在实数，是为实数，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（3）若在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数.参考答案：（1）设，由得：化简得:,所以.…………4分（2），，又且，解得.……8分(3)由及已知得：，即，代入解得：或，故或.………14分21.（本小题满分12分）如图,已知点是椭圆的右顶点,若点在椭圆上,且满足.(其中为坐标原点)（1）求椭圆的方程;（2）若直线与椭圆交于两点,当时,求面积的最大值.参考答案：因为点在椭圆上，所以

（2）设，

设直线，由，得：则点到直线的距离

当且仅当所以当时