高中物理人教版第五章曲线运动单元测试 第五章习题课曲线运动

[目标定位]1.进一步理解运动的合成与分解，合运动与分运动之间的关系.2.会判定互成角度的两分运动的合运动的运动性质，进一步理解物体做曲线运动的条件.3.会分析运动的合成与分解的两个实例：小船渡河问题和“绳联物体”的速度分解问题．一、合运动与分运动的关系合运动的性质1．合运动与分运动的关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(等效性,等时性,独立性))在解决此类问题时，要深刻理解“等效性”；利用“等时性”把两个分运动与合运动联系起来；坚信两个分运动的“独立性”，放心大胆地在两个方向上分别研究．2．合运动性质的判断分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断：(1)判断是否做匀变速运动：若a恒定，物体做匀变速运动；若a变化，物体做变加速运动．(2)判断轨迹曲直：若a与v0共线，则做直线运动；若a与v0不共线，则做曲线运动．例1质量m＝2kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图线如图1(a)、(b)所示，求：(1)物体所受的合力；(2)物体的初速度；(3)t＝8s时物体的速度；(4)t＝4s内物体的位移．图1答案(1)1N，沿y轴正方向(2)3m/s，沿x轴正方向(3)5m/s，方向与x轴正方向的夹角为53°(4)m，方向与x轴正方向的夹角的正切值为eq\f(1,3)解析(1)物体在x方向：ax＝0；y方向：ay＝eq\f(Δvy,Δt)＝m/s2根据牛顿第二定律：F合＝may＝1N，方向沿y轴正方向．(2)由题图可知vx0＝3m/s，vy0＝0，则物体的初速度v0＝3m/s，方向沿x轴正方向．(3)由题图知，t＝8s时，vx＝3m/s，vy＝4m/s，物体的合速度为v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝5m/s，tanθ＝eq\f(4,3)，θ＝53°，即速度方向与x轴正方向的夹角为53°.(4)t＝4s内，x＝vxt＝12m，y＝eq\f(1,2)ayt2＝4m.物体的位移l＝eq\r(x2＋y2)≈mtanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(1,3).例2如图2所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮．红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管由静止水平匀加速向右运动，则蜡块的轨迹可能是()图2A．直线P B．曲线QC．曲线R D．无法确定答案B解析红蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，所受合力水平向右，合力与合速度不共线，红蜡块的轨迹应为曲线，A错误；由于做曲线运动的物体所受合力应指向弯曲的一侧，故B正确，C、D错误．互成角度的两个直线运动的合运动的性质：(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动．(2)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动合成时，由于其加速度与合速度不在同一条直线上，故合运动是匀变速曲线运动．(3)两个都是从静止开始的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动．(4)两个匀加速直线运动的合运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动，但一定是匀变速运动．二、小船渡河问题1．小船参与的两个分运动(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同．(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．2．两类最值问题(1)渡河时间最短问题：由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图3可知，t短＝eq\f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向满足tanθ＝eq\f(v船,v水).图3(2)渡河位移最短问题：情况一：v水＜v船最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq\f(d,v船sinθ)，船头与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水，如图4所示．图4情况二：v水＞v船如图5所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sinα＝eq\f(v船,v水)，最短航程为x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cosθ′＝eq\f(v船,v水).图5例3小船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，小船在静水中的航速是4m/s.求：(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？(2)要使小船航程最短，应如何航行？答案(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200m.解析(1)如图甲所示，船头始终正对河对岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,4)s＝50s.(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即应使v合的方向垂直于河对岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有cosα＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(1,2)，解得α＝60°.对小船渡河问题，要注意以下三点：(1)eq\x(研究小船渡河时间时)→常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解．(2)eq\x(分析小船速度时)→可画出小船的速度分解图进行分析．(3)eq\x(研究小船渡河位移时)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图．例4如图6所示，一艘小船要从O点渡过一条两岸平行、宽度为d＝100m的河流，已知河水流速为v1＝4m/s，小船在静水中的速度为v2＝2m/s，B点距正对岸的A点x0＝173m．下面关于该船渡河的判断，其中正确的是()图6A．小船过河的最短航程为100mB．小船过河的最短时间为25sC．小船可以在对岸A、B两点间任意一点靠岸D．小船过河的最短航程为200m答案D解析因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸．如图所示，当合速度的方向与相对水的速度的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最大，渡河航程最小；根据几何关系，则有：eq\f(d,s)＝eq\f(v2,v1)，因此最短的航程是：s＝eq\f(v1,v2)d＝eq\f(4,2)×100m＝200m，故A、C错误，D正确；当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间：t＝eq\f(d,v2)＝eq\f(100,2)s＝50s，故B错误．三、“绳联物体”的速度分解问题“绳联物体”指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向．(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等．例5如图7所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，拉汽车乙的绳子与水平方向夹角为α，求v1∶v2.图7答案cosα∶1解析将绳子拉乙车的端点的速度分解为沿绳方向和垂直于绳子方向，如图．在沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度．所以v2cosα＝v1.则v1∶v2＝cosα∶1.1．(合运动与分运动的关系)(多选)一质量为2kg的质点在如图8甲所示的xOy平面内运动，在x方向的速度时间图象和y方向的位移时间(y－t)图象分别如图乙、丙所示，由此可知()图8A．t＝0时，质点的速度大小为12m/sB．质点做加速度恒定的曲线运动C．前2s，质点所受的合力大小为10ND．t＝1s时，质点的速度大小为7m/s答案BC解析由v－t图象可知，物体在x方向上的初速度为12m/s，而在y方向上，物体做速度为－5m/s的匀速运动，故在前2s内物体做匀变速曲线运动，物体的初速度为水平速度和竖直速度的合速度，则初速度大小：v0＝eq\r(122＋52)m/s＝13m/s；故A错误，B正确；由v－t图象可知，前2s，物体的加速度为：a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(2－12,2－0)m/s2＝－5m/s2，根据牛顿第二定律，前2s物体所受合外力大小为F＝ma＝2×5N＝10N，故C正确；t＝1s时，x方向的速度为7m/s，而y方向速度为5m/s，因此质点的速度大小为eq\r(72＋52)＝eq\r(74)m/s，故D项错误．2．(合运动性质的判断)(多选)一物体在xOy平面内从坐标原点开始运动，沿x轴和y轴方向运动的速度随时间t变化的图象分别如图9(甲)、(乙)所示，则物体0～t0时间内()图9A．做匀变速运动B．做非匀变速运动C．运动的轨迹可能如图(丙)所示D．运动的轨迹可能如图(丁)所示答案AC解析0～t0时间内物体在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向上做匀减速直线运动，所受合力沿y轴负方向且大小保持不变，物体做向y轴负方向弯曲的匀变速曲线运动，故选项A、C正确．3．(绳联物体的速度分解问题)如图10所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为()图10A．船做变加速运动，vx＝eq\f(v0,cosα)B．船做变加速运动，vx＝v0cosαC．船做匀速直线运动，vx＝eq\f(v0,cosα)D．船做匀速直线运动，vx＝v0cosα答案A解析如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小．所以船的速度vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝eq\f(v0,cosα)，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变加速运动．4．(小船渡河问题)小船在200m宽的河中横渡，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是5m/s，求：(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin37°＝答案(1)40s下游120m处(2)船头与岸的上游成53°角50s解析(1)因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40m＝120m，即小船经过40s，在正对岸下游120m处靠岸．(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则v合＝eq\r(v\o\al(2,船)－v\o\al(2,水))＝4m/s.经历时间t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,4)s＝50s．又cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)＝，即船头与岸的上游所成角度为53°.题组一合运动与分运动的关系合运动的性质判定1．关于合运动、分运动的说法，正确的是()A．合运动的位移为分运动位移的矢量和B．合运动的位移一定比其中的一个分位移大C．合运动的速度一定比其中的一个分速度大D．合运动的时间一定比分运动的时间长答案A解析位移是矢量，其运算满足平行四边形定则，A正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B错误；同理可知C错误；合运动和分运动具有等时性，D错误．2．(多选)关于运动的合成，下列说法中正确的是()A．两个直线运动的合运动，一定是直线运动B．两个直线运动的合运动，可能是曲线运动C．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动D．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动答案BC解析两个匀速直线运动的合成，就是其速度的合成，其合速度是确定的，等于两个分速度的矢量和，加速度为零，即合力为零，故合运动一定是匀速直线运动，C对；两个分运动的合加速度方向与合速度的方向不一定在同一直线上，既有可能做曲线运动，也有可能做直线运动，不是“一定”，而是“可能”，故A、D错，B对．3．有一个质量为2kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图1甲、乙所示，下列说法正确的是()甲乙图1A．质点所受的合外力大小为3NB．质点的初速度大小为3m/sC．质点做匀变速直线运动D．质点初速度的方向与合外力方向垂直答案A解析由题图可知，ax＝m/s2，ay＝0，vy＝－4m/s，故质点的合外力F＝max＝3N，方向沿＋x方向，质点的初速度大小为v0＝eq\r(32＋(－4)2)m/s＝5m/s，方向不与合外力方向垂直，质点做曲线运动，故只有A正确.4．(多选)两个互相垂直的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，则它们的合运动轨迹()A．如果v1＝v2＝0，那么轨迹一定是直线B．如果v1≠0，v2≠0，那么轨迹一定是曲线C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线D．如果eq\f(a1,a2)＝eq\f(v1,v2)，那么轨迹一定是直线答案AD解析判断合运动是直线还是曲线，看合初速度与合加速度是否共线．5.(多选)如图2所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向做匀速直线运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d＝H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做()图2A．速度大小不变的曲线运动B．速度大小增加的曲线运动C．加速度大小、方向均不变的曲线运动D．加速度大小、方向均变化的曲线运动答案BC解析B物体在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上由d＝H－2t2得出做匀加速直线运动．B物体的实际运动是这两个分运动的合运动．对速度和加速度进行合成可知，加速度恒定且与合速度不共线．所以应选B、C两项．6．如图3甲所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的有()图3A．笔尖留下的痕迹可以是一条如图乙所示的抛物线B．笔尖留下的痕迹可以是一条倾斜的直线C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变答案D解析由题可知，铅笔尖既随三角板向右做匀速运动，又沿三角板直角边向上做匀加速运动，其运动轨迹是向上弯曲的抛物线，故A、B错误；在运动过程中，笔尖运动的速度方向是轨迹的切线方向，时刻在变化，故C错误；笔尖水平方向的加速度为零，竖直方向加速度的方向竖直向上，则根据运动的合成规律可知，笔尖运动的加速度方向始终竖直向上，保持不变，故D正确．题组二绳联物体的速度分解问题7.如图4所示，物体A和B的质量均为m，且分别与跨过定滑轮的轻绳连接(不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)在用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中，则()图4A．物体A也做匀速直线运动B．绳子拉力始终等于物体A所受重力C．绳子对A物体的拉力逐渐增大D．绳子对A物体的拉力逐渐减小答案D解析将B物体的速度vB进行分解如图所示，则vA＝vBcosα，α减小，vB不变，则vA逐渐增大，说明A物体竖直向上做加速运动，选项A错误；对A由牛顿第二定律FT－mg＝ma，可知绳子对A的拉力FT>mg，选项B错误；运用极限法：若绳子无限长，B物体距滑轮足够远，即当α→0时，有vA→vB，这表明，物体A在上升的过程中，加速度必定逐渐减小，绳子对A物体的拉力逐渐减小，故C错误，D正确．故选D.8．如图5所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高．当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为()图5A．vsinθ \f(v,cosθ)C．vcosθ \f(v,sinθ)答案C解析重物以速度v沿竖直杆下滑，绳子的速率等于小车的速率，将重物的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的分速度等于绳速，如图所示．绳子速率v绳＝vcosθ，而绳子速率等于小车的速率，则有小车的速率v车＝v绳＝vcosθ.故选C.题组三小船渡河问题9．(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是()答案AB解析船头垂直于河岸，根据平行四边形定则知，合速度的方向偏向下游，故A正确；当船头偏上游时，若船静水中速度与水流速度的合速度垂直河岸，会出现这种轨迹，故B正确；因船头垂直河岸，又存在水流，合速度不可能垂直河岸，因此不可能出现这种运动轨迹，故C错误；船头的指向为船静水速度的方向，船静水中速度水流速度的合速度的方向应偏向下游，故D错误．10．(多选)河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图6甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要以最短时间渡河，则()图6A．船渡河的最短时间是60sB．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C．船在河水中航行的轨迹是一条直线D．船在河水中的最大速度是5m/s答案BD解析由题中甲图可知河宽300m，船头始终与河岸垂直时，船渡河的时间最短，则t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(300,3)s＝100s，A错，B对．由于船沿河向下漂流的速度大小始终在变，故船的实际速度的大小、方向也在时刻发生变化，船在河水中航行的轨迹是曲线，C错．船沿河向下漂流的最大速度为4m/s，所以船在河水中的最大速度v＝eq\r(32＋42)m/s＝5m/s，D对．11．已知某船在静水中的速率为v1＝4m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100m，河水的流动速度为v2＝3m/s，方向与河岸平行．试分析：(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？答案见解析解析(1)根据合运动与分运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短．设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v与分速度v1、v2的矢量关系如图甲所示．甲河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sinα，则船渡河所用时间为t＝eq\f(d,v1sinα).显然，当sinα＝1即α＝90°时，v⊥最大，t最小，此时船身垂直于河岸，船头始终指向正对岸，但船实际的航向斜向下游，如图乙所示．乙渡河的最短时间tmin＝eq\f(d,v1)＝eq\f(100,4)s＝25s船的位移为l＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))tmin＝eq\r(42＋32)×25m＝125m船渡过河时已在正对岸的下游A处，其顺水漂流的位移为x＝v2tmin＝3×25m＝75m(2)由于v1>v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短．设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游，且与河岸成θ角，如图丙所示，丙则cosθ＝eq\f(v2,v1)＝eq\f(3,4)，船的实际速度为：v合＝eq\r(v\o\al(2,1)－v\o\al(2,2))＝eq\r(42－32)m/s＝eq\r(7)m/s故渡河时间：t′＝eq\f(d,v合)＝eq\f(100,\r(7))s＝eq\f(100\r(7),7)s.题组四综合应用12．在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x－t图象和vy－t图象如图7甲、乙所示，求：甲乙图7(1)运动后4s内质点的最大速度的值；(2)4s末质点离坐标原点的距离．答案(1)2eq\r(5)m/s(2)8m解析(1)由题图可知，