2021-2022学年浙江省温州市永嘉县第十二中学高一数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年浙江省温州市永嘉县第十二中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b为实数，则“a＞b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据a，b的范围结合对数函数的性质确定充分条件，还是必要条件即可．【解答】解：当a＜0或b＜0时，不能得到Ina＞Inb，反之由Ina＞Inb即：a＞b＞0可得a＞b成立，所以“a＞b”是“Ina＞Inb”的必要不充分条件，故选：B．2.设集合A={（x，y）|x2+y2≤|x|+|y|，x，y∈R}，则集合A所表示图形的面积为（）A．1+π B．2 C．2+π D．π参考答案：C【考点】圆方程的综合应用；Venn图表达集合的关系及运算．【专题】综合题；数形结合；分类讨论；直线与圆．【分析】根据不等式，分别讨论x，y的取值，转化为二元二次不等式组，结合圆的性质进行求解即可．【解答】解：若x≥0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤x+y，即（x﹣）x2+（y﹣）2≤，若x≥0，y＜0，则不等式等价为x2+y2≤x﹣y，即（x﹣）x2+（y+）2≤，若x≤0，y≤0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x﹣y，即（x+）x2+（y+）2≤，若x＜0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x+y，即（x+）x2+（y﹣）2≤，则对应的区域如图：在第一象限内圆心坐标为C（，），半径=，则三角形OAC的面积S==，圆的面积为×=π，则一个弓弧的面积S=π﹣，则在第一象限的面积S=π×（）2﹣2×（π﹣）=﹣+=+，则整个区域的面积S=4×（+）=2+π，故选：C【点评】本题主要考查区域面积的计算，根据条件利用分类讨论的数学数学化简条件，利用圆的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，比较复杂．3.与表示同一函数的是（

）A.，

B.，C.，

D.，参考答案：D4.使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是(

)A.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}C.{x|2kπ－≤x≤2kπ+,k∈Z}D.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}参考答案：C【分析】首先对三角不等式进行恒等变换，变换成sinx，进一步利用单位圆求解．【详解】2sinx≥0解得：sinx进一步利用单位圆解得：（k∈Z）故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：利用单位元解三角不等式，特殊角的三角函数值．5.下列函数中，在区间上不是增函数的是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则其中间项为（

）.

A.

28

B.29

C.30

D.31参考答案：B7.（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈时，﹣1，则函数y=f（x）﹣log2（x+2）的零点个数为（） A． 7 B． 6 C． 5 D． 4参考答案：D考点： 函数零点的判定定理．专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．分析： 函数y=f（x）﹣log2（x+2）的零点个数转化为函数f（x）与函数y=log2（x+2）的图象的交点的个数，作图求解．解答： 由题意作函数f（x）与函数y=log2（x+2）的图象如下，两个函数有4个交点，故函数y=f（x）﹣log2（x+2）的零点个数为4；故选D．点评： 本题考查了函数的零点与函数的图象的应用，属于基础题．8.要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需将曲线y=sin2x上所有的点（）A．向左平移单位长度 B．向右平移单位长度C．向左平移单位长度 D．向右平移单位长度参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求得答案．【解答】解：∵y=sin2xy=sin（2（x﹣））=sin（2x﹣）．故选B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握图象变换规律是关键，属于中档题．9.如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（

）A．0

B．0或1

C．1

D．不能确定参考答案：B10.已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1)，若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图像是（

）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的前项和,且的最大值为8,则___.参考答案：略12.以下程序是，任意输入3个数，输出其中最大的数。请你完整该程序。参考答案：13.写出函数的，单调增区间______________。参考答案：14.已知f（x）=，则f[f（－2）]＝________________.参考答案：略15.函数y＝的定义域是____不填____．参考答案：16.已知f(x)＝x2－1(x＜0)，则f－1(3)＝_______.参考答案：-217.已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝____________.参考答案：{x|1<x<2}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知连续不断函数f（x）=cosx﹣x，x∈（0，），g（x）=sinx+x﹣，x∈（0，），h（x）=xsinx+x﹣，x∈（0，）（1）证明：函数f（x）在区间（0，）上有且只有一个零点；（2）现已知函数g（x），h（x）在（0，）上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数f（x），g（x），h（x）的零点分别为x1，x2，x3．求证：①x1+x2=；②判断x2与x3的大小，并证明你的结论．参考答案：考点： 函数零点的判定定理；函数单调性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）由零点存在性定理知f（x）在区间（0，）上有零点，运用单调性定义证明；f（x）在（0，）上是单调递减函数．（2）将其变形为：cos（﹣x2）﹣（﹣x2）=0，即f（﹣x2）=0，在（0，）上有唯一零点，从而有﹣x2=x1，x1+x2=，Ⅰ）因为x2是g（x）的零点，所以有sinx2+x2=0，Ⅱ）判断x2＜x3，运用零点存在性定理和定义判断证明即可．解答： （1）先证明f（x）在区间（0，）上有零点：由于f（0）=1＞0，f（）=﹣，由零点存在性定理知f（x）在区间（0，）上有零点，再证明f（x）在（0，）上是单调递减函数：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（cosxx﹣x1）﹣（cosx2﹣x2）=（cosx1﹣cosx2）﹣（x1﹣x2）由于y=cosx在（0，）上递减，所以cosx1﹣cosx2＞0又﹣（x1﹣x2）＞0从而f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，）上是单调递减函数．故函数f（x）在（0，）有且只有一个零点，（2）Ⅰ）因为x2是g（x）的零点，所以有sinx2+x2=0，将其变形为：cos（﹣x2）﹣（﹣x2）=0，即f（﹣x2）=0，从而有f（﹣x2）=f（x1）=0，又因为﹣x2，x1∈（0，），且由（1）的结论f（x）在（0，）上有唯一零点，从而有﹣x2=x1，x1+x2=，Ⅱ）判断x2＜x3，证明如下：由于h（0）=＜0，h（1）=sin1=1﹣＞sin=+1，由零点存在性定理和已知得0＜x3＜1，从而有

0=x3sinx3+x3＜sinx3+x3=g（x3），g（x2）=0所以有g（x2）＜g（x3），又由已知g（x）在（0，）上单调递增，所以x2＜x3．点评： 本题综合考查了函数的性质，零点问题，分类转化，不等式问题，综合性较强，难度较大，属于难题．19.设数列的前项和为，对于任意的正整数都有.

（1）设，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3)若对一切正整数n都成立，求实数的取值范围.参考答案：略20.已知中．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）已知时，恒有，求实数a的取值集合．参考答案：解：（1）当时，不等式即为，等价于，由数轴标根法知不等式的解集为．（2）法一：由题，，于是只能，而时，，当时，，，恒有，故实数． 法二：当时，恒成立，即恒成立，不妨设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，不难知，在上单调递减，在上单调递增，且函数与的图象相交于点，结合图象可知，当且仅当时，或恒成立，故实数． 21.（12分）已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥面SBC．参考答案：考点： 直线与平面垂直的判定．专题： 证明题．分析： 要证线面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，先由线面垂直得线线垂直，然后利用线面垂直的判定得线面垂直继而得到线线垂直AD⊥BC，问题从而得证．解答： 证明：∵∠ACB=90°∴BC⊥AC（1分）又SA⊥面ABC∴SA⊥BC（4分）∴BC⊥面SAC（7分）∴BC⊥AD（10分）又SC⊥AD，SC∩BC=C∴AD⊥面SBC（12分）点评： 本题考查了线面垂直的判定和线面垂直的定义的应用，考查了学生灵活进行垂直关系的转化，是个基础题．22.已