2021-2022学年江西省九江市修水英才中学高三数学文期末试卷含解析

2021-2022学年江西省九江市修水英才中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是定义在R上的函数，且对任意，都有，又，则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略2.设等差数列{an}{bn}前项和为Sn、Tn，若对任意的n∈N*，都有，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=====．故选C．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．3.已知向量在向量方向上的投影为2，且，则（

）A．-2

B．-1

C.1

D．2参考答案：D4.如图，平面四边形ABCD中，E、F是AD、BD中点，AB＝AD＝CD＝2，BD＝2，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△，使平面⊥平面BCD，则四面体中，下列结论不正确是(

)A.EF∥平面B.异面直线CD与所成的角为90°C.异面直线EF与所成的角为60°D.直线与平面BCD所成的角为30°参考答案：C【分析】根据线线平行判定定理、异面直线所成角、直线与平面所成角等知识对选项A、B、C、D进行逐一判断其正确与否.【详解】解：选项A：因为E、F是AD、BD中点，所以，因为平面，平面，所以EF∥平面，所以选项A正确；选项B：因为平面⊥平面BCD，平面平面BCD，且∠BDC＝90°，即，又因为平面BCD，故平面，故，所以异面直线CD与所成的角为90°，选项B正确；选项C：由选项B可知平面，所以，因为AD＝CD＝2，即＝CD＝2，所以由勾股定理得，，在中，BC＝，在中，，故，即，因为，所以，故选项C错误；选项D：连接因为所以因为是中点，所以，因为平面⊥平面BCD，平面平面BCD，又因为平面，故平面，所以即为直线与平面BCD所成的角，在中，，，所以，所以，故直线与平面BCD所成的角为30°，故选项D正确，本题不正确的选项为C，故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，解题的关键是要能准确运用线面平行的判定定理给与证明，能准确分析出线线、线面所成角等.5.如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是A．

B．

C．

D．

参考答案：C6.（5分）（2013?肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为（）A．4B．3C．2D．1

参考答案：B【考点】：进行简单的合情推理；函数的值域．【专题】：计算题；新定义．【分析】：根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．【解答】：解：根据题意，得f（x）=x⊕=（x⊕）⊕0=0⊕（x?）+（x⊕0）+（⊕0）﹣2×0=1+x+即f（x）=1+x+∵x＞0，可得x+≥2，当且仅当x==1，即x=1时等号成立∴1+x+≥2+1=3，可得函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为f（1）=3故选：B【点评】：本题给出新定义，求函数f（x）的最小值．着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识，属于中档题．7.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值等于(

) A．1 B． C． D．参考答案：C考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，满足条件k＞2015，退出循环，输出S的值为．解答： 解：执行程序框图，有S=1，k=1不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S=，k=2不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=，k=3不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=，k=4不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=1，k=5不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S=，k=6…观察规律可知，S的取值以4为周期，由于2014=503*4+2，故有：k=2014，不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=，k=2015不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S=，k=2016满足条件k＞2015，退出循环，输出S的值为，故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，其中判断S的取值规律是解题的关键，属于基本知识的考查．8.过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（

）（A）

（B）

（C）或

（D）或参考答案：D若直线过原点，设直线方程为，把点代入得，此时直线为，即。若直线不经过原点，在设直线方程为，即。把点代入得，所以直线方程为，即，所以选D.9.函数的最小正周期是 A．

B． C． D．参考答案：B10.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（

）A．2

B．3

C．4

D．6参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在某大型企业的招聘会上，前来应聘的本科生、硕士研究生和博士研究生共2000人，各类毕业生人数统计如图所示，则博士研究生的人数为_____.参考答案：略12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是

▲

．参考答案：2

13.

．参考答案：

14.已知某个几何体的三视图如图所示（正视图弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm3．参考答案：8+π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，下部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的体积．解答：解：三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，底面是一个半圆，半径为1，高为2的半圆柱；下部是正方体，棱长为2，；正方体体积是：8；半圆柱的体积为：π；所以组合体的体积：8+π；故答案为8+π．点评：本题考查由三视图求组合体的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．15.若(其中),则的展开式中的系数为

．参考答案：6016.如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a=；f（﹣t）=．参考答案：1，0【考点】函数的值．【分析】由函数性质列出方程组，求出a=1，t2sint=1，由此能求出f（﹣t）．【解答】解：∵函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2，∴，解得a=1，t2sint=1，∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．故答案为：1，0．17.已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四边形BB1C1C是菱形，∠BCC1=60°．（1）求证：AC1⊥B1C；（2）若AC⊥AB1，三棱锥A﹣BB1C的体积为，求△ABC的面积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结BC1，推导出AB⊥B1C，B1C⊥BC1，从而B1C⊥平面ABC1，由此能求出AC1⊥B1C．（2）由AB⊥平面BB1C1C，BC=BB1，知AC=AB1，由三棱锥A﹣BB1C的体积为，求出菱形BB1C1C的边长，由此能求出△ABC的面积．【解答】证明：（1）连结BC1，∵AB⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，∴AB⊥B1C，∵四边形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，∵AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1，∵AC1?平面ABC1，∴AC1⊥B1C．解：（2）由AB⊥平面BB1C1C，BC=BB1，知AC=AB1，设菱形BB1C1C的边长为a，∵∠BCC1=60°，∴==3a2，∵AC⊥AB1，∴，∴AC=AB1=a，∵AB⊥侧面BB1C1C，BC?侧面BB1C1C，∴AB⊥BC，∴在Rt△ABC中，AB==，∵三棱锥A﹣BB1C的体积为，∴×，解得a=2，∴AB=，BC=a=2，∴△ABC的面积S△ABC=×BC×AB==．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件：①；②；③，若，则.则称集合A为“减i集”（1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.参考答案：（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；，，，3，，，3，5，，，3，5，，，，【分析】（1），，，，即可得出“减0集”，同理可得不是“减1集”．（2）假设存在是“减2集”，则若，那么，当时，有，对，分类讨论即可得出．（3）存在“减1集”．．假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设，，而，因此．假设，，而，因此．因此可以有，．假设，，而，因此．假设，，，，，因此．因此可以有，3，．以此类推可得所有的．【详解】（1），，，，是“减0集”同理，，，，，不是“减1集”．（2）假设存在是“减2集”，则若，那么，当时，有，则，一个为2，一个为4，所以集合中有元素6，但是，，与是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集”（3）存在“减1集”．．①假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设，，而，因此．假设，，而，因此．因此可以有，．假设，，而，因此．假设，，，，，因此．因此可以有，3，．以此类推可得：，3，5，，，，，以及的满足以下条件的非空子集：，，，3，，，3，5，，【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题20.在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离.参考答案：(1)略(2)(3)解析：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD。（2）由（1）知，，又，则是的中点可得，则设D到平面ACM的距离为，由即，可求得，设所求角为，则。可求得PC=6。因为AN⊥NC，由，得PN。所以。故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为.

略21.定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．（1）设f（x）=，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）=1+2x+a?4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）化简f（x）==1﹣，从而可得﹣1≤f（x）≤；从而确定|f（x）|≤1；从而解得；（2）由题意知|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；从而可得﹣﹣≤a≤﹣；从而换元令t=，则t∈[，1]；从而可得﹣4t2﹣t≤a≤2t2﹣t在[，1]上恒成立；从而化为最值问题．【解答】解：（1）f（x）==1﹣，则f（x）在[﹣，]上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；故﹣1≤f（x）≤；故|f（x）|≤1；故f（x）是有界函数；故f（x）上所有上界的值的集合为[1，+∞）；（2）∵函数g（x）=1+2x+a?4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，∴|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；即﹣3≤g（x）≤3