2021-2022学年江苏省南京市中山中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年江苏省南京市中山中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．18

B．24

C．32

D．36参考答案：B分析：先利用模型法找到几何体原图，再求几何体的体积.详解:由三视图可知，几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为故答案为：B

2.设函数，将函数f(x)的图像向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，若g(x)为偶函数，则的最小值是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简f(x)，求得f(x)向左平移个单位后的g(x)的解析式，根据g(x)为偶函数，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】，向左平移，得，又为偶函数，令，得，由于，，∴最小值为，故选：A.【点睛】本小题主要考查诱导公式、辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.3.已知数列的前项和为，，若时，是与的等差中项，则等于(

).

A.18

B.54

C.162

D.81参考答案：B略4.若，则等于(

)A. B. C. D.－3参考答案：A已知，解得将正切值代入得到.故答案为A.5.若集合，则集合A.

B.

C.

D.参考答案：A6.．若，则的展开式中常数项为（）A．8 B．16 C．24 D．60参考答案：C【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】求定积分可得n的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于零求得r的值，可得展开式中常数项．【解答】解：=2（sinx+cosx）dx=2（﹣cosx+sinx）=2（﹣cos+cos0+sin﹣sin0）=4，∴的通项公式为Tr+1=?2r?y4﹣2r，令4﹣2r=0，可得r=2，∴二项式展开式中常数项是?22=24．故选：C．7.已知集合，，则

A.

B．

C．

D．参考答案：C8.已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）参考答案：A考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：顺序求出有向线段，然后由=求之．解答：解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．点评：本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒9.函数f（x）=sin（ωx+φ），（|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1+4kπ，1+4kπ），k∈Z B．（﹣3+8kπ，1+8kπ），k∈ZC．（﹣1+4k，1+4k），k∈Z D．（﹣3+8k，1+8k），k∈Z参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ），（|φ|＜）的部分图象，可得=3﹣1=2，求得ω=，再根据五点法作图可得?1+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得8k﹣3≤x≤8k+1，故函数的增区间为[﹣3+8k，1+8k]，k∈Z，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性，属于基础题．10.若，则

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读如下图所示的流程图,运行相应的程序,输出的值等于______

参考答案：412.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：C略13.设和均为定义在R上的偶函数，当时，，若在区间内，关于的方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是

参考答案：略14.已知n次多项式.如果在一种计算中,计算(k=2,3,4,……,n)的值需要次乘法,计算的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法).那么计算的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:,,利用该算法,计算的值共需要6次运算,计算的值共需要__________次运算.参考答案：；2n.15.已知x+y=2（x＞0，y＞0），则x2+y2+4的最大值为．参考答案：6【考点】基本不等式．【分析】利用配方法，结合二次函数的图象与性质，即可求出的最大值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=2，∴2≥2，∴0＜xy≤1，当且仅当x=y=1时取“=”；∴=（x+y）2﹣2xy+4=22﹣2+2=6﹣2≤6，即的最大值是6．故答案为：6．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．16.已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为

．参考答案：17.已知，则向量与向量的夹角是

．参考答案：考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；压轴题．分析：据题意可得，∴=进一步利用向量夹角的范围求出夹角．解答： 解：设的夹角为θ则∵即∵，∴∴=∵θ∈∴故答案为：点评：解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决．但要注意向量夹角的范围．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知平面直角坐标系,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,,曲线的参数方程为.点是曲线上两点，点的极坐标分别为.（Ⅰ）写出曲线的普通方程和极坐标方程;

（Ⅱ）求的值.参考答案：19.（本题满分13分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.(Ⅰ)求z的值；

(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,

8.6,9.2,

9.6,

8.7,

9.3,

9.0,

8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.参考答案：(Ⅰ).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000.

z=2000-100-300-150-450-600=400

．．．．．．3分(Ⅱ)设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样,所以,解得m=2,即抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),((S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件:,(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),((S1,S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为.

．．．．．．9分(Ⅲ)样本的平均数为,那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,

8.6,

9.2,

8.7,

9.3,

9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为..

．．．．．．13分20.已知函数（Ⅰ）若的最小值为，试求的值；

（Ⅱ）解不等式．参考答案：（Ⅰ）根据图像解得的最小值4。（Ⅱ）作出函数和的图象可知，不等式的解为略21.（本小题共14分）已知椭圆C：，左焦点，且离心率(Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.

求证：直线过定点,并求出定点的坐标.参考答案：解：（Ⅰ）由题意可知：

……1分

解得

………2分所以椭圆的方程为：

……3分（II）证明：由方程组

…4分整理得

………..5分设则

…….6分由已知，且椭圆的右顶点为

………7分

………

8分

即也即

……10分整理得：

……11分解得均满足

……12分当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分当时，直线的方程为,过定点

故直线过定点，且定点的坐标为

…….14分22.已知函数在同一半周期内的图象过点，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的