2021-2022学年山西省忻州市兰台学校高二数学文期末试题含解析

2021-2022学年山西省忻州市兰台学校高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“命题为假命题”是“”的（

）A.充要条件

B.必要不充分条件C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B2.△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cosB=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦定理的应用．【分析】通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．【解答】解：∵△ABC中，，∴根据正弦定理得∴故选B．3.设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】容易求出f′（0）=6，结合条件便可得出函数f（x）的解析式，进而求出导函数，代入4f（x）＞f′（x），根据对数函数的单调性及对数的运算便可解出原方程．【解答】解：根据条件，3f（0）=3=f′（0）﹣3；∴f′（0）=6；∴f（x）=2e3x﹣1，f′（x）=6e3x；∴由4f（x）＞f′（x）得：4（2e3x﹣1）＞6e3x；整理得，e3x＞2；∴3x＞ln2；∴x＞；∴原不等式的解集为（，+∞）故选：B．4.在中，则（

）A、

B.

C.

D.参考答案：A试题分析：,选A.考点：余弦定理【名师点睛】1．选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．5.复数（是虚数单位）的虚部为（

）．A． B． C． D．参考答案：D，∴虚部为，选．6.设A为圆上的动点，PA是圆的切线，且则P点的轨迹方程为（

）A.

B.C.

D.参考答案：B7.如图，在平行四边形中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是(

)A．

B．C．

D．

参考答案：D8.直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：D【考点】直线的倾斜角．【分析】设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=150°故选D．9.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图1所示,则导函数y=f￠(x)可能为（）参考答案：D10.曲线y=x3﹣2在点（1，﹣）处切线的斜率是（）A． B．1 C．﹣1 D．﹣参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得函数的导数，将x换为1，计算即可得到切线的斜率．【解答】解：y=x3﹣2的导数为y′=x2，即有在点（1，﹣）处切线的斜率为k=1．故选B9．定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x?f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（）A．3f（2）＜2f（3） B．3f（2）＞2f（3） C．2f（2）＜3f（3） D．2f（2）＞3f（3）【答案】D【解析】【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=xf（x）求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0，即函数g（x）=xf（x）单调递减，显然g（2）＞g（3），则2f（2）＞3f（3），故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11..如果关于x的方程有两个实数解，那么实数a的值是__________．参考答案：0或±2【分析】将通过参数分离转换为对应函数，画出图形得到答案.【详解】方程设根据图像知：a等于0或±2故答案为：0或±2【点睛】本题考查了方程的解，通过参数分离转化为函数交点是解题的关键.12.一船以每小时12海里的速度向东航行，在处看到一个灯塔在北偏东60°，行驶4小时后到达处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔相距__________海里.参考答案：本题主要考查正弦定理.根据题意，可得出

，在

中，根据正弦定理得：海里，则这时船与灯塔的距离为海里，故本题正确答案是.13.（文科做）已知曲线y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，则f（2）+f′（2）的值为

．参考答案：9【考点】导数的运算．【分析】根据导数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，∴f（2）=2×2+3=4+3=7，切线的斜率k=2，即f′（2）=2，则f（2）+f′（2）=7+2=9，故答案为：914.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________．①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．参考答案：

①③

15.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）参考答案：【考点】在实际问题中建立三角函数模型；解三角形．【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设BP′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=?，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=．若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=?，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.若抛物线的焦点坐标为（1,0）则准线方程为_____；参考答案：略17.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则得最小值为

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于．（1）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；（2）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)，试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.

参考答案：（1）由题知：

化简得：

…………2分当时轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；当时轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；当时

轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；当时

轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；……6分（2）设依题直线的斜率存在且不为零，则可设:，代入整理得，，

…………9分又因为不重合，则的方程为令，得故直线过定点.

…………14分解二：设依题直线的斜率存在且不为零，可设:代入整理得：,，

…………9分的方程为

令，得直线过定点

…………14分略19.已知锐角三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角B的大小；（2）若，，求b的值．参考答案：（1）；（2）．（1）因为，所以由正弦定理可得，------2分因为，，所以，因为是锐角三角形，所以．---5分（2）由（1）知，所以由余弦定理可得．---10分20.（本小题满分16分）已知，且正整数n满足，．(1)求n；(2)若，是否存在，当时，恒成立？若存在，求出最小的，若不存在，试说明理由；(3)若的展开式有且只有6个无理项，求．参考答案：解：(1)由可知n=8.

…………..……3分(2)存在.展开式中最大二项式系数满足条件，又展开式中最大二项式系数为，∴j=4．

…………..……9分(3)展开式通项为=，分别令k=1，2，3，…，8，检验得k=3或4时是k的整数倍的r有且只有三个．故k=3或4……16分21.已知函数及正整数数列.若,且当时,有;又,,且对任意恒成立.数列满足:.(1)求数列及的通项公式;(2)求数列的前项和；(3)证明存在，使得对任意均成立参考答案：解析：(1)由得：

.因为是正整数列,所以.于是是等比数列.

又,,所以

.

因为

,所以,于是:,说明是以2为公比的等比数列.所以因为,由题设知：，解得：。又因为且，所以。于是。(2)由得：.由及得：设

①②当时，①式减去②式,得于是,这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．(3)证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

③由知，要使③式成立，只要，因为．所以③式成立．因此，存在，使得对任意均成立．22.某市A，B两校组织了一次英语笔试（总分120分）联赛，两校各自挑选了英语笔试成绩最好的100名学生参赛，成绩不低于115分定义为优秀.赛后统计了所有参赛学生的成绩（都在区间[100,120]内），将这些数据分成4组：[100,105),[105,110),[110,115),[115,120]得到如下两个频率分布直方图：（1）分别计算A，B两校联赛中的优秀率；（2）联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金，已知奖学金y（单位：百元）与其成绩t的关系式为①当时，试问A，B两校哪所学校的获奖人数更多？②当时，若以奖学金的总额为判断依据，试问本次联赛A，B两校哪所学校实力更强？参考答案：（1）A校的优秀率为0.3，B校的优秀率为0.2（2）①B校的获奖人数更多②A校实力更强，详见解析【分析】（1）根据频率分布直方图找出、两校频率分布直方图中成绩不小于分的矩形面积，即可得出这两个学校的优秀率；（2）①根据题意计算出、两校成绩不低于的人数，即为获奖人数，再与这两个学校的获奖人数的多少进行比较；②根据（奖学金）与成绩之间的关系式计算出、两校所获得的奖金数，再对两校所得奖金数进行比较，得出获得奖金数较多的学校实力较强。【详解】（1）由频率分布直方图知，