2021-2022学年安徽省合肥市工业大学附属中学高二数学文模拟试卷含解析

2021-2022学年安徽省合肥市工业大学附属中学高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列是递减数列，且，，则数列的通项公式是A．

B．

C．D．参考答案：A2.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则?=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由抛物线y2=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，则?=x1?x2+y1?y2，由韦达定理可以求得答案．【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x﹣1），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1+x2=1，y1?y2=k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=k2[x1?x2﹣（x1+x2）+1]'则?=x1?x2+y1?y2=x1?x2+k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=﹣3．故选：C．【点评】题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于基础题．3.直线的倾斜角是

(

)

A．150o

B．135o

C．120o

D．30o参考答案：C直线斜率，则倾斜角为120o．4.连掷两次骰子得到点数分别为和，记向量的夹角为的概率是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略5.函数f(x)=2sinxcosx是

（

）

(A)最小正周期为2π的奇函数

（B）最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数

（D）最小正周期为π的偶函数参考答案：C本题考查三角函数的性质f(x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数

6.若（3x2﹣）n的展开式中含有常数项，则正整数n取得最小值时常数项为（）A． B．﹣135 C． D．135参考答案：C【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】通过二项展开式的通项公式，令x的次数为0即可求得正整数n取得最小值时常数项．【解答】解：∵=，∴2n﹣5r=0，又n∈N*，r≥0，∴n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：；故选C．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键在于应用二项展开式的通项公式，注重分析与计算能力的考查，属于中档题．7.下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（

）参考答案：D略8.已知且恒成立，则k的最大值是（

）A、4

B、8

C、9

D、25参考答案：C略9.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（

）A. B.3 C.6 D.参考答案：A由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，令，则两边平方得，得，即，解得舍去，故选A.10.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()．A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根，则a4a7=

．参考答案：﹣2【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据韦达定理可求得a1a10的值，进而根据等比中项的性质可知a4a7=a1a10求得答案．【解答】解：∵a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根，∴a1a10=﹣2∵数列{an}为等比数列∴a4a7=a1a10=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生对等比中项性质的灵活运用．12.设（x，y）在映射f下的象是（,则(-4,2)在映射f下的原象是

参考答案：(-1,-3)13.圆心在轴上，且与直线相切于点（1，1）的圆的方程为____________________参考答案：14.△ABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则△ABC的最大内角为().

A.60° B.90° C.120° D.150°参考答案：A略15.若球O1、球O2的表面积之比，则它们的半径之比=_____.参考答案：略16.已知一个球的表面积为4cm3，则它的半径等于

cm．参考答案：117.已知x、y、x+y成等差数列，x、y、xy成等比数列，且0＜logmxy＜1，则实数m的取值范围是

．参考答案：m＞8【考点】等差数列的通项公式．【分析】由条件可得y=2x，y=x2，由此求得x=2，y=4，xy=8，从而得到0＜logm8＜1，则答案可求．【解答】解：∵x、y、x+y成等差数列，∴2y=2x+y，即y=2x．∵x、y、xy成等比数列，∴y2=x2y，即y=x2．综上可得，x=2，y=4，xy=8．再由0＜logmxy＜1，可得0＜logm8＜1，∴m＞8．故答案为：m＞8．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，R.（1）证明：当时，函数是减函数；（2）根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由;参考答案：（1）见解析；（2）为既奇又偶函数，为奇函数，为非奇非偶函数。【分析】（1）由定义法证明函数是减函数；（2）对，，三种情况进行讨论，从而得到奇偶性。【详解】（1）证明：任取，假设则因为，所以，又，所以所以，即所以当时，函数是减函数（2）当时，，，所以函数是偶函数当时，，所以函数奇函数当时，且所以函数为非奇非偶函数。【点睛】本题考查函数的单调性证明以及奇偶性，是函数的两个重要性质，属于一般题。19.如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为的正三角形，侧面底面．（）设的中点为，求证：平面．（）求斜线与平面所成角的正弦值．（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值．参考答案：（）见解析．（）．（）．（）证明：∵侧面是正三角形，中点为，∴，∵侧面底面，侧面底面，侧面，∴平面．（）连接，设点，以为原点，，过点且垂直于平面的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，平面的法向量，设斜线与平面所成角为，则．（）设，，，，设平面的法向量为，∴，，，取，，又∵平面的法向量，∴，∴，解出（舍去）或，此时．20.已知命题：函数是增函数，命题：。（1）写出命题的否命题；并求出实数的取值范围，使得命题为真命题；（2）如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围。

参考答案：

略21.在中，角的对边分别是，.（1）求角；（2）若，的面积，求的值.参考答案：（1)由已知得，∴由正弦定理得，∴，故.由，得.(2)在中，，∴，故.①又，∴.②联立①②式解得.22.已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对?x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e﹣1时，证明不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由f（x）=ax﹣1﹣lnx，求得f′（x）=．然后分a≤0与a＞0两种情况讨论，从而得到f′（x）的符号，可得f（x）在其定义域（0，+∞）内的单调性，最后综合可得答案；（2）函数f（x）在x=1处取得极值，由（1）的讨论可得a=1．将不等式f（x）≥bx﹣2化简整理得到1+﹣≥b，再构造函数g（x）=1+﹣，利用导数研究g（x）的单调性，得到[g（x）]min=1﹣]．由此即可得到实数b的取值范围；（3）设函数F（t）=，其中t＞e﹣1．利用导数研究F（x）的单调性，得到得F（t）是（e﹣1，+∞）上的增函数．从而得到当x＞y＞e﹣1时，F（x）＞F（y）即＞，变形整理即可得到不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）成立．【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣1﹣lnx，∴f′（x）=a﹣=，当a≤0时，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减；当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x≤，f'（x）＞0得x＞，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤0时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．（2）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴根据（1）的结论，可得a=1，∴f（x）≥bx﹣2，即x+1﹣lnx≥bx，两边都除以正数x，得1+﹣≥b，令g（x）=1+﹣，则g′（x）=﹣﹣=﹣（2﹣lnx），由g′（x）＞0得，x＞e2，∴g（x）在（0，e2）上递减，由g′（x）＜0得，0＜x＜e2，∴g（x）在（e2，+∞）上递增，∴g（x）min=g（e2）=1﹣，可得b≤1﹣，实数b的取值范围为（﹣∞，1﹣]．（3）令F（t）=，其中t＞e﹣1可得F'（t）==再设G（t）=ln（1+t）﹣，可得G'（t）=+＞0在（e﹣1，+∞）上恒成立∴G（t）是（e﹣1，+∞）上的增函数，可得G（t）＞G（e﹣1）=lne﹣=1﹣＞0因此，F'（t）=＞0在（e﹣1，+∞）上恒