福建省福州市宏路中学2022高三数学理期末试题含解析

福建省福州市宏路中学2022高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列的前n项和为，若，则=A.3

B.4

C.5

D.6

参考答案：B略2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(

)A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a22）（a2a4﹣a32）（a3a5﹣a42）…（a2015a2017﹣a20162）=（）A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣2017参考答案：B【考点】数列的应用．【分析】利用a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．即可得出．【解答】解：∵a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．∴（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=11008×（﹣1）1007=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了斐波那契数列的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知集合=A.

B.

C.

D.参考答案：D5.（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.函数的零点所在的一个区间是

（

）

A. B.

C.

D.

参考答案：C略7.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（

）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天参考答案：C8.若圆：（）始终平分圆：的周长，则的最小值为（

）A．3

B．

C.6

D．9参考答案：A把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为，由题意知直线经过圆的圆心(?1,?1)，因而.时取等号.的最小值为3.本题选择A选项.

9.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣3x+a=0，a∈A}，若A∩B≠?，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或2参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】分别令a=1、2、3，求出B中方程对应的解，即可得出A∩B≠?时a的取值．【解答】解：a=1时，B中方程为x2﹣3x+1=0，其解为无理数，A∩B=?；a=2时，B中方程为x2﹣3x+2=0，其解为1和2，A∩B={1，2}≠?；a=3时，B中方程为x2﹣3x+3=0，无解，A∩B=?；综上，a的值为2．故选：B．10.已知=（m，2），=（2，3），若，则实数m的值是(

) A．﹣2 B．3 C． D．﹣3参考答案：D考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：向量垂直，数量积为0，得到关于m的等式解之．解答： 解：=（m，2），=（2，3），因为，所以=2m+6=0，解得m=﹣3；故选：D．点评：本题考查了由向量垂直求参数；利用向量垂直数量积为0，的方程解之即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等边的边长为，平面内一点满足，则____________参考答案：-212.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为．参考答案：3【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：先画出满足条件的平面区域，如图所示：的几何意义为可行域内的动点与定点（0，0）连线的斜率，所以当过点A（1，3）斜率最大，所以==3，故答案为：3【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．13.已知向量=（-1,2），向量=（3，-1），则向量的坐标为__

__.参考答案：（4，－3）略14.若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=ax+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是．参考答案：（1，﹣2）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由指数函数可知图象经过点（﹣2，1），再由反函数可得．【解答】解：∵当x+2=0，即x=﹣2时，总有a0=1，∴函数f（x）=ax+2的图象都经过点（﹣2，1），∴其反函数的图象必经过点P（1，﹣2）故答案为：（1，﹣2）【点评】本题考查指数函数的单调性和特殊点，涉及反函数，属基础题．15.(9)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi=

.参考答案：1+2i16.给出下列四个命题：①“向量的夹角为锐角”的充要条件是“”；②如果，则对任意的、，且，都有；③将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有72种不同的放法；④记函数的反函数为，要得到的图象，可以先将的图象关于直线做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位，即得到的图象．其中真命题的序号是

．（请写出所有真命题的序号）参考答案：②∵“向量的夹角为锐角”的充要条件是“，且”，∴①为假命题；∵函数为上凸函数，，∴对任意的、，且，都有，∴②为真命题；∵将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有种不同的放法，∴③为假命题；∵记函数的反函数为，要得到的图象，可以先将的图象关于直线做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向右平移1个单位，即得到的图象，∴④为假命题．综上，只有②是真命题．17.已知集合，记和中所有不同值的个数为．如当时，由，，，，，得．对于集合，若实数成等差数列，则=

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为．已知，，，，．（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）是否存在正整数k，使得且？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）；；（2）存在满足题意．【分析】（1）设等差数列的公差为，在等差数列中，由已知求解公差，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由求得，结合已知求得，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由（1）知，，由解得范围，再由，解得范围，即可判断出结论．【详解】解：（1）设数列的为，在数列中，又因为，所以从而，所以由得：因为，设数列的公比为所以，所以（2）由（1）知：所以，整理得，解得又因为所以，即，解得所以【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：，求直线与曲线相交弦的弦长．参考答案：20.(12分)已知，求的值.参考答案：21.（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列前n项和为，且，令．求数列的前n项和.参考答案：（Ⅰ）设等差数列的公差为，∵，，∴,，所以数列的通项公式； 5分（Ⅱ）因为，当时，，当时，，且时满足， 8分所以数列的通项公式为；所以，所以，所以． 12分22.（12分）（2014?揭阳模拟）根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：AQI（数值）0～5051～100101～150151～200201～300＞300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色某市2013年10月1日﹣10月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如图的条形图：（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个，设ξ为空气质量类别颜色为紫色的天数，求ξ的分布列．参考答案：【考点】：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；等可能事件的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为中度污染的天数为6，从而可求此次监测结果中空