湖南省长沙市喻家坳乡联校2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省长沙市喻家坳乡联校2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A．B．C．D．

参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）的图象，可得A=5﹣3=2，b=3，=4﹣1=3，∴ω=．再根据五点法作图可得+φ=π，∴φ=，故f（x）=2sin（x+）+3，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．2.已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A． B．1 C． D．参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）2，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．则|z|==．故选：A．3.函数在区间上是增函数，且，则（

）A.0,

B.,

C.,

D.1.参考答案：D4.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(1)＝0，则不等式的解集为A．(－∞，－1]∪(0,1]

B．[－1,0]∪[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1,0)∪(0,1]参考答案：C5.过点(1,1)，且在轴上的截距为3的直线方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于

(

)

A．

B．C．

D．

参考答案：A7.已知双曲线C：过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是（

）A．

B．C.

D．参考答案：C由双曲线：过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得：，解得：，∴双曲线的标准方程是故选：C

8.设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知是函数图象的一个最高点,是与相邻的两个最低点．若，则的图象对称中心可以是（A）（B）（C）（D）参考答案：C【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取的中点，连结，则，设，则，由余弦定理可得，，解得，，的中点都是图象的对称中心.故选.【错选原因】错选A：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是

错选B：误把最高点的2当成了周期；

错选D：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点.10.在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题表示（

）（A）甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米（B）甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米（C）甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米（D）甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.x,y自变量满足当时，则的最大值的变化范围为____参考答案：（1）当x+y=S与y+2x=4有交点时，最大值在两直线交点处取得，最小范围是此时S=3时代入Z=7

(2)当x+y=S与y+2x=4没有交点时最大值在B处取得代入综上范围是12.已知集合，集合，则集合

。参考答案：13.在锐角中，角的对边分别为，已知，，，则的面积等于

．参考答案：条件即为，由余弦定理得，所以得，又A为锐角，所以．又，所以，得，故．在中，由正弦定理得，所以．故的面积．答案：14.已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=

． 参考答案：1【考点】复数相等的充要条件． 【分析】先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于a，b的方程组，解出可得． 【解答】解：，即=2﹣ai=b+i， 由复数相等的条件， 得，解得， ∴a+b=1， 故答案为：1． 【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题，正确理解复数相等的条件是解题关键．15.已知函数，若恒成立，则的最大值为

04f(x)1－11参考答案：略16.若函数的图像为，则下列结论中正确的序号是_____________．①图像关于直线对称；②图像关于点对称；③函数在区间内不是单调的函数；④由的图像向右平移个单位长度可以得到图像．参考答案：①②试题分析：对于①：若函数的对称的对称轴方程为，当时，，故①正确；对于②，若函数的对称中心为，当时，对称中心为，故②正确；对于③，函数的递增区间为，所以函数在区间单调递增，故③错；对于④，的图像向右平移个单位长度后得到的函数解析式为，故④错，所以应填①②.考点：三函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质，属中档题；与三角函数的性质与图象相结合的综合问题，一般方法是通过三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为的形式，然后借助三角函数的性质与图象求解.17.设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=

．参考答案：【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标参考答案：依题意得由得,故从而由得故为所求.19.设数列{an}满足：

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}是等差数列，是其前n项和，，求参考答案：20.已知△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，其中b=2．（Ⅰ）若asin2B=bsinA，求B；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求△ABC面积的最大值．参考答案：【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式和正弦定理可得cosB，继而求出B，（Ⅱ）据题意得出，b2=ac，利用余弦定理，基本不等式求解cosB≥，根据余弦函数的单调性得出答案【解答】解：（Ⅰ）由，得，由正弦定理得，得，又∵B∈（0，π），∴，（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，则有b2=ac=4，∴，当且仅当a=c=2时等号成立，∵y=cosx在（0，π）单调递减，且，∴B的最大值为．∴，当时，△ABC面积取得最大值．21.对x∈R，定义函数sgn（x）=（1）求方程x2﹣3x+1=sgn（x）的根；（2）设函数f（x）=[sgn（x﹣2）]?（x2﹣2|x|），若关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用已知条件，列出方程，逐一求解即可．（2）求出函数的解析式，得到a的表达式，画出图象，通过a的范围讨论函数零点个数即可．【解答】解：（1）当x＞0时，sgn（x）=1，解方程x2﹣3x+1=1，得x=3（x=0不合题意舍去）；当x=0时，sgn（x）=0，0不是方程x2﹣3x+1=0的解；当x＜0时，sgn（x）=﹣1，解方程x2﹣3x+1=﹣1，得x=1或x=2（均不合题意舍去）．综上所述，x=3是方程x2﹣3x+1=sgn（x）的根．

…（2）由于函数，则原方程转化为：．数形结合可知：①当a＜﹣2时，原方程有1个实根；②当a=﹣2时，原方程有2个实根；③当﹣2＜a＜0时，原方程有3个实根；④当a=0时，原方程有4个实根；⑤当时，原方程有5个实根；⑥当时，原方程有4个实根；⑦当时，原方程有3个实根；⑧当时，原方程有2个实根；⑨当时，原方程有1个实根．故当时，关于x的方程f（x）=