湖南省邵阳市石云中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省邵阳市石云中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列的各项均为正数，其前项和为，若是公差为-1的等差数列，且则等于A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.函数的导函数是，若对任意的，都有成立，则A.

B.

C.

D.无法比较参考答案：【知识点】导数的运算和应用

B11

B12【答案解析】B

解析：令，则对任意的，都有成立，，即函数在定义域上是减函数，，即故选：B【思路点拨】根据选项可构造函数h（x）=xf（2lnx），利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可比较h（2）与h（3）的大小，从而得到答案．

3.已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（

）A.

B.

C.1

D.参考答案：A4.执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，S=1，i=1执行循环体，S=6，i=2不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=3不满足条件i＞5，执行循环体，S=4，i=4不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=5不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为．故选：C．5.已知二面角的大小为，异面直线m，n分别与垂直，则m，n所成的角为（

）参考答案：C略6.已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：由抛物线的性质及题意可知，两点关于轴对称，所以可设，则，解之得，又因为点在抛物线上，所以，解得，故选C.考点：抛物线的标准方程与几何性质.7.已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A．{1}

B．{1,2}

C．{3,4,5}

D．{2,3,4,5}参考答案：A8.已知x，y∈R，（）A．若|x﹣y2|+|x2+y|≤1，则B．若|x﹣y2|+|x2﹣y|≤1，则C．若|x+y2|+|x2﹣y|≤1，则D．若|x+y2|+|x2+y|≤1，则参考答案：B【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】利用绝对值不等式的性质，得出（x2﹣y）+（y2﹣x）≤|x2﹣y|+|y2﹣x|=|x﹣y2|+|x2﹣y|≤1，即得，判断B正确．【解答】解：对于A，|x﹣y2|+|x2+y|≤1，由化简得x2+x+y2﹣y≤1，二者没有对应关系；对于B，由（x2﹣y）+（y2﹣x）≤|x2﹣y|+|y2﹣x|=|x﹣y2|+|x2﹣y|≤1，∴x2﹣x+y2﹣y≤1，即，命题成立；对于C，|x+y2|+|x2﹣y|≤1，由化简得x2+x+y2+y≤1，二者没有对应关系；对于D，|x+y2|+|x2+y|≤1，化简得x2﹣x+y2+y≤1，二者没有对应关系．故选：B．9.设函数的导函数为，对任意都有成立，则A． B．

C． D．的大小不确定参考答案：C略10.设i为虚数单位，则复数的虚部为

(A)1

(B)i

(C)-1

(D)-i参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知多项式满足，则

，

．参考答案：5,7212.若函数在区间(a，a+5)上存在最小值，则实数a的取值范围是

．参考答案：[－3,0)13.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M为矩形ABCD所在平面内的任意一点,且满足MA=2,MC=,则·=.

参考答案：0 本题主要考查平面向量的综合运用,意在考查转化与化归、数形结合等数学思想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力. 如图,连接AC,BD交于点E,连接ME,则E为AC,BD的中点,·[(+)2-()2]=[(2)2-()2]=,同理·,不难发现,||=||,所以··,又AC=BD==5=,所以∠AMC=90°,所以··=0. 14.设sin，则___________.

参考答案：略15.函数(，),有下列命题：①的图象关于y轴对称；②的最小值是2；③在上是减函数，在上是增函数；④没有最大值．其中正确命题的序号是

.(请填上所

有正确命题的序号）参考答案：①④16.已知数列通项公式为，数列通项公式为。设若在数列中，则实数的取值范围是

。参考答案：略17.几何证明选讲选做题）如图3，圆的割线交圆于、两点，割线经过圆心。已知，，。则圆的半径．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数,．（1）若f(x)和g(x)在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（2）令，若h(x)在定义域内有两个不同的极值点．①求a的取值范围；②设两个极值点分别为，证明：．参考答案：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求导f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，则当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0时，解得：0＜x＜1，∴f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，则g（x）开口向上，对称轴x=1，则a＞0，∴a的取值范围（0，+∞）；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定义域为（0，+∞），求导h′（x）=lnx﹣ax，则方程h′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根．（解法一）转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），则k=y′=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，∴0＜a＜；解法二：令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，求导g′（x）=﹣ax=（x＞0）若a≤0，可见g′（x）在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，从而g（x）的极大值，g（x）极大值=g（）=ln﹣1，又在x→0时，g（x）→﹣∞，在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大值＞0，即ln﹣1＞0，∴0＜a＜，综上所述，0＜a＜；（ⅱ）证明：由（i）可知x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，原不等式x1?x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2，则a（x1+x2）＞2，ln＞，令=t，则t＞1，ln＞，则lnt＞，设g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞，成立，故所证不等式x1?x2＞e2成立．19.已知椭圆C：的离心率为，且过点，A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：，且，垂足为A1，，垂足为B1，若，且△A1B1D的面积是△ABD面积的5倍，求△ABD面积的最大值．参考答案：（1）依题意解得故椭圆的方程为．（2）设直线与轴相交于点，，由于且，得，（舍去）或，即直线经过点，设，，的直线方程为：，由即，，，，令，所以，因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以（当且仅当，即时“”成立），故的最大值为3．22.解：20.已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|a﹣1＜x＜3a+1}．（1）当a=时，求A∩B；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）当a=时，求出集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B：（2）根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），B={x|a﹣1＜x＜3a+1}=（﹣，），∴A∩B=（1，），（2）根据条件知，若x∈A，则x∈B，q是p的必要条件∴A?B；∴，解得≤a≤2，故a的取值范围为[，2]【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．21.（本小题满分12分）有A、B、C、D、E五位工人参加技能竞赛