湖南省益阳市东山乡中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

湖南省益阳市东山乡中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=A．8 B．10 C．6

D．4参考答案：A2.已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（）A．24 B．80 C．64 D．240参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据已知中四棱锥的俯视图，得到底面的长和宽，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的棱锥的俯视图，可得：该四棱锥的体积V=×6×8×5=80，故选：B3.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：

使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030

附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

经计算，则下列选项正确的是A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响参考答案：A根据附表可得k=10>7.879,所以有的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A4.直线与圆的位置关系是(

)

A、相交

B、相切

C、相离

D、与值有关参考答案：A5.下列说法中正确的是(

)

A．平面α和平面β可以只有一个公共点

B．相交于同一点的三直线一定在同一平面内C．过两条相交直线有且只有一个平面

D．没有公共点的两条直线一定是异面直线

参考答案：C略6.已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限参考答案：C略7.已知f(x)是偶函数，当.x∈[0，]时，f(x)=xsinx,若a=f(cos1)，b=f(cos2),c=f(cos3)，则a，b，c的大小关系为（

）A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<b<a

D.b<c<a参考答案：B略8.按如图所示的程序框图，在运行后输出的结果为

A.36

B.45

C.55

D.56参考答案：C9.曲线上的点到直线的最短距离是(

)A.

0

B.

C.

D.

参考答案：D略10.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i

B．8＋2i

C．2＋4i

D．4＋i参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线在两坐标轴上的截距相等，且直线过点，则直线的

一般式方程是

.参考答案：（不是一般式或者漏答都不给分）12.在中，角A，B，C对应边分别a,b,c，且a=5,b=6,c=4,角A的平分线交BC于D，则线段AD长度为______▲_____.参考答案：

13.设已知函数，正实数满足，且，若f(x)在区间上的最大值为2，则=

▲

．参考答案：根据题意可知，并且可以知道函数在上是减函数，在上是增函数，且有，又，由题的条件，可知，可以解得，所以，则有.

14.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是________．参考答案：跑步由题意得，由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，丙是最高的，参加了跑步比赛。

15.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”参考答案：8100因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为，所以北面共有人，故填8100.16.若双曲线的离心率为2，则m的值为

．参考答案：3【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率为2，建立等式，即可求实数m的值．【解答】解：双曲线∵双曲线的离心率为2，∴1+m=4∴m=3故答案为：3．17.在椭圆中,左焦点为,右顶点为,短轴上方端点为，若,则该椭圆的离心率为___________．参考答案：考点：椭圆的离心率．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设全集是实数集R，，B＝．（Ⅰ）当a＝4时，求A∩B和A∪B；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.参考答案：19.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）根据底面是边长为1的正方形，以及勾股定理，证明PA⊥AD，再根据PA⊥CD，AD∩CD=D，即可证明PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根据四棱锥P﹣ABCD的底面积为1，高为PA，即可求出四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）因为四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，所以PD2=PA2+AD2，所以PA⊥AD又PA⊥CD，AD∩CD=D所以PA⊥平面ABCD（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD的底面积为1，因为PA⊥平面ABCD，所以四棱锥P﹣ABCD的高为1，所以四棱锥P﹣ABCD的体积为：．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．20.数列满足，（）.（1）求证是等差数列；(要指出首项与公差);(2)求数列的通项公式;（3）若Tn=…，求证:.参考答案：解：（1）由可得：

即

所以数列是以首项，公差的等差数列，（2）由（1）可得

∴

（3）∵

∴Tn=

∴.

略21.在平面直角坐标系中xOy，已知椭圆E：=1（a＞b＞0）过点，且椭圆E的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在以A（0，﹣b）为直角顶点且内接于椭圆E的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过离心率与a、b、c三者的关系可得椭圆E方程为x2+4y2=a2，代入点计算即可；（2）假设存在，可设直线AB的方程AB：y=kx﹣1（k＞0），并与椭圆方程联立，计算可得B点的纵坐标，进而可得|AB|的表达式，讨论可得|AC|的表达式，利用△BAC是等腰直角三角形，计算即得结论．解答： 解：（1）由得，又．

故椭圆E方程为x2+4y2=a2，椭圆E经过点，则．

所以a2=4，b2=1，所以椭圆E的标准方程为．

（2）结论：存在3个满足条件的直角三角形．理由如下：假设存在这样的等腰直角三角形BAC，明显直线AB的斜率存在，因为A点的坐标为A（0，﹣1），设直线AB的方程AB：y=kx﹣1（k＞0），则直线AC的方程为．

由得：（1+4k2）x2﹣8kx=0，所以x=0，或，所以B点的纵坐标为，所以．

同理，因为△BAC是等腰直角三角形，所以|AB|=|AC|，即，即，所以k3+4k=1+4k2，即k3﹣4k2+4k﹣1=0，所以（k3﹣1）﹣4k（k﹣1）=0，即（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0，所以k=1，或k2﹣3k+1=0，所以k=1，或．

所以这样的直角三角形有三个．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22.现有一只不透明的袋子里面装有6个小球，其中3个为红球，3个为黑球，这些小球除颜色外无任何差异，现从袋中一次性地随机摸出2个小球．（1）求这两个小球都是红球的概率；（2）记摸出的小球中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布及其均值E（X）．参考答案：（1）记“取得两个小球都为红球”为事件A，利用排列组合知识能求出这两个小球都是红球的概率．（2）随机变量X的可能取值为：0、1、2，