湖南省常德市职工中等专业学校2022年高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省常德市职工中等专业学校2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|1﹣≥0}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0＜x＜1}参考答案：A【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：由|x﹣1|＜1，即﹣1＜x﹣1＜1，即0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由1﹣≥0，即≥0，解得x≥1或x＜0，即B={x|x≥1或x＜0}则A∩B={x|1≤x＜2}，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知函数,若是函数的零点,且,则的值

(

)Ａ.

恒为正值

Ｂ.等于0

C.

恒为负值

D.不大于0参考答案：A3.若，，，则的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由变形，代入式子得到，取，带入化简利用均值不等式得到答案.【详解】，设原式当即时有最大值为故答案选C【点睛】本题考查了最大值，利用消元和换元的方法简化了运算，最后利用均值不等式得到答案，意在考查学生对于不等式知识的灵活运用.4.已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q是小于1的正有理数，若，且是正整数，则的值可以是（

）

A.

B.-

C.

D.-参考答案：C由题意知，，所以，因为是正整数，所以令，为正整数。所以，即，解得，因为为正整数，所以当时，。符合题意，选C.

5.几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（

）A． B．4π C．3 D．以上都不对参考答案：A由题可知该几何体为轴截面为正三角形的圆锥，底面圆的直径为2，高为∴外接球半径∴外接球表面积故选A

6.已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为(

)

A．－2

B.4

C.－6

D.6参考答案：C略8.已知为虚数单位,复数的值是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C9.集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q

B.PQ

C.

D.参考答案：C10.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知利用诱导公式求得，再由同角三角函数基本关系式求．【详解】解：，，则．故选：D．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设不等式组表示的平面区域为，是区域D上任意一点， 则的最大值与最小值之和是

▲

．参考答案：12.设函数.当时，求的值域--_______参考答案：略13.已知、均为锐角，，，则

。参考答案：14.如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫．设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和）.则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为

．参考答案：15.已知函数若>，则实数的取值范围是(

)A．

B.

C.

D.参考答案：D16.已知函数,若,则.参考答案：-217.对任意实数x，不等式恒成立，则k的取值范围是

；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx（x∈R）．（1）求f（）的值；（2）在△ABC中，若f（A）=1，求sinB+sinC的最大值．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx化为：f（x）=sin（2x+），即可求得f（）的值；（2）由A为三角形的内角，f（A）=sin（2A+）=1可求得A=，从而sinB+sinC=sinB+sin（﹣B），展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC的最大值．【解答】（1）∵f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx=cos2x+sin2x，sin（2x+），∴f（）=1；（2）f（A）=sin（2A+）=1，而0＜A＜π可得：2A+=，即A=．∴sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=sin（B+）．∵0＜B＜，∴＜B+＜π，0＜sin（B+）≤1，∴sinB+sinC的最大值为．19.(选修4—4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．参考答案：考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长.

略20.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为中点，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）设与的交点为，连结.因为为矩形，所以为的中点.在中，由已知为中点，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）在中，，，所以，即.因为平面平面，平面平面，，所以平面，故.又因为，平面，所以平面，故就是直线与平面所成的角.在直角中，，所以.即直线与平面所成角的正弦值为.21.已知函数,其中

（1）

当满足什么条件时,取得极值?（2）

已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.参考答案：解析:

(1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以△,即,

此时方程的根为,,所以

当时,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当时,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时,取得极值.

(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立,

所以设,,令得或(舍去),

当时,,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时,;

当时,

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.已知椭圆：的左焦点为，离心率.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线交椭圆C于A，B两点.（i）若直线经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足，.求证：为定值；（ii）若（O为原点），求面积的取值范围.参考答案：由题设知，，所以椭圆的标准方程为

………………2分①由题设知直线斜率存在，设直线方程为则.设，直线代入椭圆得

………………4分由，知

………………5分