浙江省丽水市沙湾中学2022年度高三数学文模拟试题含解析

浙江省丽水市沙湾中学2022年度高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆内有一点M（2，1），过M的两条直线l1，l2分别与椭圆E交于A，C和B，D两点，且满足（其中λ＞0，且λ≠1），若λ变化时，AB的斜率总为，则椭圆E的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由向量数量积的坐标运算及点差法作差求得=﹣×，代入即可求得a和b的关系，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），由=λ，即（2﹣x1，1﹣y1）=λ（x3﹣2，y3﹣1），则，同理可得：，∴，则2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，将点A，B的坐标代入椭圆方程作差可得：=﹣×，即﹣=﹣×，则a2（y1+y2）=2b2（x1+x2），同理可得：a2（y3+y4）=2b2（x3+x4），两式相加得：a2[（y1+y2）+（y3+y4）]=2b2[（x1+x2）+（x3+x4）]，∴2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，∴=则=，则椭圆的离心率e===，故选D．2.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分別为A，B，点M，N是椭圆C上关于长轴对称的两点，若直线AM与BN相交于点P，则点P的轨迹方程是（）A．x=±a（y≠0） B．y2=2b（|x|﹣a）（y≠0）C．x2+y2=a2+b2（y≠0） D．=1（y≠0）参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】求得直线PA的方程及PB的方程，两式相乘，整理即可求得P的轨迹方程．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0），设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0≠0，P（x，y），y≠0则直线PA的斜率k=，则直线PA的方程y=（x+a），①同理直线PB的斜率k=，直线PB的方程y=（x﹣a），②两式相乘：y2=（x2﹣a2），由，y02=（a2﹣x02），则y2=（x2﹣a2），整理得：（a＞b＞0）（y≠0），则点P的轨迹方程（a＞b＞0）（y≠0），故选D．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线的点斜式方程，考查轨迹方程的求法，考查转化思想，属于中档题．3.已知则的最小值为（

）A.2

B.1

C.

D.参考答案：B4.在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A． B．3 C．2 D．参考答案：A【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据三角形的面积公式求得丨AB丨，cosA=，sinA=，求得丨AD丨，丨BD丨在△BDC中利用勾股定理即可求得BC的长度．【解答】解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨?丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．5.已知集合，则A∪B＝A．(0,+∞)

B．(1,2)

C．(2,+∞)

D．（－∞，0）参考答案：A【分析】解集合A与集合B，求得集合的交集即可。【详解】解集合A可得集合B为}所以AB＝所以选A

6.若集合，，则（

）（A）

（B）（C）

（D）或参考答案：B【知识点】集合的运算因为

所以，

故答案为：B7.下列命题中，真命题是A．

B．C．

D．参考答案：D8.已知奇函数f（x）在R上的导数为f′（x），且当x∈（－∞，0]时，f′（x）＞1，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为A．（3，＋∞）B．[3，＋∞）C．（－∞，3]D．（－∞，3）参考答案：B9.已知函数函数（）．关于函数的零点，下列判断不正确的是（A）若，有四个零点

（B）若，有三个零点（C）若，有两个零点

（D）若，有一个零点

参考答案：A略10.已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．参考答案：B以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，以为直径的圆的方程为，由对称性知的面积，即，即点的纵坐标为，则由，得，因为点在双曲线上，则，即，即，即，即，即，得，即，得，得，．则双曲线的渐近线方程为，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，把数列的各项排成三角形状：

记A（m,n）表示第m行，第n列的项，则A（10,8）=________．参考答案：第n行共有2n-1个数，前九行共有个数,故A（10,8）相当于数列的第89项，因此A（10,8）=．12.已知抛物线的焦点为，准线与y轴的交点为为抛物线上的任意一点，且满足，则的取值范围是．参考答案：略13.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论：①若，则满足条件的P点有且只有一个；②若，则点P的轨迹是一段圆弧；③若PD∥平面ACB1，则PD与平面ACC1A1所成角的正切的最大值为；④若PD∥平面ACB1，则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得图形面积最大值为.其中所有正确结论的序号为

．参考答案：

①②③14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=l，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为________．参考答案：【知识点】余弦定理；三角形的面积公式.

C8

解析：当C取最大值时，cosC最小，由得，当且仅当c=时C最大，且此时sinC=，所以△ABC的面积为.

【思路点拨】由余弦定理求得C最大的条件，再由三角形面积公式求解.15.函数的定义域为A,若且时总有,则称

为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:①函数是单函数; ②函数是单函数;③若为单函数,且,则;④若函数在定义域内某个区间D上具有单调性,则一定是单函数.其中真命题是

(写出所有真命题的编号).参考答案：③16.设的内角所对边的长分别为,若,则角=______.参考答案：略17.（文科）已知函数正项等比数列满足，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数g（x）=f（x）?f'（x）的最小值及相应的x值的集合；（2）若f（x）=2f′（x），求的值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；两角和与差的正切函数．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求出导数f′（x），表示出g（x）并化简，由余弦函数的性质可求其最小值及相应x的值的集合；（2）由f（x）=2f′（x）可求得tanx值，利用和角正切公式可求得的值；【解答】解：（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f'（x）=cosx﹣sinx，∴g（x）=f（x）?f'（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴当2x=﹣π+2kπ（k∈Z），即时，g（x）取得最小值﹣1，相应的x值的集合为．

（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx﹣2sinx，∴cosx=3sinx，故，∴．【点评】本题考查导数的运算法则及两角和差的正切函数，考查学生的运算求解能力．19.已知椭圆离心率为，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆O与直线l1：相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l2与该椭圆交于P、Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由直线与圆相切，求出b=1，由，得，由此能求出椭圆C的方程．（2）由题意可知，直线l2的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），代入椭圆方程，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列性质、弦长公式，结合已知条件，能求出△OPQ面积的取值范围．【解答】解：（1）由直线l1：与圆x2+y2=b2相切，得：，…由，得，…又a2=b2+c2，∴，∴a2=4，…椭圆C的方程为…（2）由题意可知，直线l2的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，…则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且x1+x2=，x1x2=．…故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴==k2，…即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=±．…由△＞0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0＜m2＜2且m2≠1．…S△OPQ=|x1﹣x2||m|==，…∴S△OPQ的取值范围为（0，1）．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、等比数列性质、弦长公式的合理运用．20.已知向量，

(1)当向量与向量共线时，求的值；

(2)求函数的最大值,并求函数取得最大值时的的值.参考答案：(1)共线,∴,∴.(2),，函数的最大值为,得函数取得最大值时略21.函数（1）求不等式的解集；（2）若f(x)的最小值为k，且实数a、b、c满足，求证：参考答案：（1）（2）证明见解析【分析】(1)分类去绝对值符号后解不等式，最后取并集；(2)求出函数的最小值k，根据基本不等式得出结论.【详解】（1）①当时，不等式即为，解得②当时，不等式即为，③当时，不等式即为，综上，的解集为（2）由当时，取最小值4，即，即当且仅当时等号成立【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题.