高中数学人教B版2第二章推理与证明直接证明与间接证明 第2章

直接证明与间接证明2．综合法与分析法1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1综合法阅读教材P63，完成下列问题．1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的__________、__________、__________，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有__________与__________．【答案】1.(1)定义公理定理(2)综合法分析法2．综合法(1)定义：综合法是从__________推导到__________的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)．【答案】2.(1)原因结果已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.证明过程如下：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(b＋c,a)>0，eq\f(1,b)－1＝eq\f(a＋c,b)>0，eq\f(1,c)－1＝eq\f(a＋b,c)>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))＝eq\f(b＋c,a)·eq\f(a＋c,b)·eq\f(a＋b,c)≥eq\f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．这种证法是__________(填综合法、分析法)．【解析】本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法．【答案】综合法教材整理2分析法阅读教材P64～P65，完成下列问题．1．定义：分析法是一种从__________追溯到产生这一结果的__________的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的__________条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)【答案】1.结果原因充分判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)分析法就是从结论推向已知．()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．()【答案】(1)×(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]综合法的应用(1)在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC的形状一定是__________．(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为eq\f(1,2)的等比数列，则|m－n|＝__________.(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋eq\r(3)(a＋b)；②a(1－a)≤eq\f(1,4)；③eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________．【自主解答】(1)∵cosAcosB>sinAsinB，∴cosAcosB－sinAsinB>0，∴cos(A＋B)>0，即cos(π－C)>0，∴cosC<0，又0<C<π，∴eq\f(π,2)<C<π，所以△ABC是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，x1＝eq\f(1,2)，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.设公比为q，则x4＝x1q3，∴4＝eq\f(1,2)·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝eq\f(9,2)，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝eq\f(3,2).(3)①a2＋b2＋3＝eq\f(a2,2)＋eq\f(3,2)＋eq\f(b2,2)＋eq\f(3,2)＋eq\f(a2,2)＋eq\f(b2,2)≥2eq\r(\f(a2,2)×\f(b2,2))＋2eq\r(\f(a2,2)×\f(3,2))＋2eq\r(\f(b2,2)×\f(3,2))＝ab＋eq\r(3)(a＋b)(当且仅当a2＝b2＝3时，等号成立)．②a(1－a)＝－a2＋a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4).③当a与b异号时，不成立．④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．【答案】(1)钝角三角形(2)eq\f(3,2)(3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)a＋b≥2eq\r(ab)(a≥0，b≥0)．[再练一题]1．综合法是()【导学号：05410044】A．执果索因的逆推证法B．由因导果的顺推证法C．因果分别互推的两头凑法D．原命题的证明方法【答案】B分析法的应用设a，b为实数，求证：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．【精彩点拨】待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键．【自主解答】当a＋b≤0时，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需证(eq\r(a2＋b2))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a＋b))2，即证a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．[再练一题]2．已知a>0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1，求证：eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b)).【证明】由已知eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1及a>0可知0<b<1，要证eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b))，只需证eq\r(1＋a)·eq\r(1－b)>1，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即eq\f(a－b,ab)>1，即eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1，这是已知条件，所以原不等式得证．[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.【精彩点拨】先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决．【自主解答】法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，只需证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，化简，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，即a2＋c2－b2＝ac成立．∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°.所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a＋b)＋1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b＋c)＋1))＝3，即eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.[再练一题]3．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.【证明】因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy，只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而可得不等式x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy成立．[构建·体系]1．下面叙述正确的是()A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的【解析】直接证明包括综合法和分析法．【答案】A2．欲证不等式eq\r(3)－eq\r(5)＜eq\r(6)＜eq\r(8)成立，只需证()A．(eq\r(3)－eq\r(5))2＜(eq\r(6)－eq\r(8))2B．(eq\r(3)－eq\r(6))2＜(eq\r(5)－eq\r(8))2C．(eq\r(3)＋eq\r(8))2＜(eq\r(6)＋eq\r(5))2D．(eq\r(3)－eq\r(5)－eq\r(6))2＜(－eq\r(8))2【解析】要证eq\r(3)－eq\r(5)＜eq\r(6)－eq\r(8)成立，只需证eq\r(3)＋eq\r(8)＜eq\r(6)＋eq\r(5)成立，只需证(eq\r(3)＋eq\r(8))2＜(eq\r(6)＋eq\r(5))2成立．【答案】C3．将下面用分析法证明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步骤补充完整：要证eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立．【解析】用分析法证明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步骤为：要证eq\f(a2＋b2,2)≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥04．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值为________.【导学号：05410045】【解析】因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(a,c)＋eq\f(c,a)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．【答案】95．已知a＞0，b＞0，求证：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).(要求用两种方法证明)【证明】法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))－eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq\b\lc\(\rc\)