高中数学北师大版3第一章计数原理简单计数问题 第1章4简单计数问题

§4简单计数问题1．进一步理解计数原理和排列、组合的概念．(重点)2．能够运用原理和公式解决简单的计数问题．(难点)[基础·初探]教材整理简单计数问题阅读教材P18～P21，完成下列问题．1．计数问题的基本解法(1)直接法：以________为考察对象，先满足________的要求，再考虑________(又称元素分析法)．或以________为考察对象，先满足________的要求，再考虑________(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出所有的方法数，再减去不符合要求的方法数．【答案】(1)元素特殊元素其他元素位置特殊位置其他位置2．解决计数问题应遵循的原则先________后一般，先________后排列，先________后分步，充分考虑元素的特殊性，进行合理的分类与分步．【答案】特殊组合分类5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，若甲球必须放入A盒，则不同放法总数是()A．120 B．72C．60 D．36【解析】分两类：第一类，A盒只有甲球，则余下4个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，此时4个球应分为2,1,1三组，有Ceq\o\al(2,4)种，每一种有Aeq\o\al(3,3)种放法，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种放法；第二类，A盒中有甲球和另1球，则有Aeq\o\al(4,4)种排法．由分类加法计数原理，得共有放法总数Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝60种．【答案】C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]排列问题某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A．504种 B．960种C．1008种 D．1108种【精彩点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工．【自主解答】(1)若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝192种；(2)若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝192种；(3)若甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝192种；若丙安排在中间5天的其他3天，则丁有3种安排法，共有4×Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝432种．所以共有192＋192＋192＋432＝1008种．【答案】C1．本小题用到分类讨论的方法，按照特殊元素(甲、乙在一起，丙、丁不在特殊位置)进行讨论．2．较复杂的排列问题要注意模型化归，转化为常用的方法．[再练一题]1．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()【导学号：62690018】A．72 B．96C．108 D．144【解析】第一步将2,4,6全排，有Aeq\o\al(3,3)种；第二步分1,3相邻且不与5相邻，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种；1,3,5均不相邻，有Aeq\o\al(3,3)种．故总的排法为Aeq\o\al(3,3)(Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(3,3))＝108种，故选C.【答案】C组合问题某班有54位同学，其中正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？(只列式不计算)(1)正、副班长必须入选；(2)正、副班长只有1人入选；(3)正、副班长都不入选；(4)正、副班长至多有1人入选；(5)班长以外的某3人不入选；(6)班长有1人入选，班长以外的某2人不入选．【精彩点拨】这是一道有限制条件的组合问题，先处理特殊元素，然后考虑一般元素．【自主解答】(1)先选正、副班长，再从剩下的52人中选4人．由分步乘法计数原理，得Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,52)种．(2)先从正、副班长中选1人，再从剩下的52人中选5人．由分步乘法计数原理，得Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,52)种．(3)因为正、副班长都不选，因此从剩下的52人中选6人，共Ceq\o\al(0,2)·Ceq\o\al(6,52)种，即Ceq\o\al(6,52)种．(4)只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,52)＋Ceq\o\al(0,2)·Ceq\o\al(6,52)种，或Ceq\o\al(6,54)－Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,52)种．(5)某3人可除外，故共有Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(6,51)种，即Ceq\o\al(6,51)种．(6)Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(0,2)·Ceq\o\al(5,50)种，即Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,50)种．解答组合应用题的总体思路1．整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理．2．局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理．[再练一题]2．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()A．252种 B．112种C．20种 D．56种【解析】不同的分配方案共有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(5,7)Ceq\o\al(2,2)＝112(种)．【答案】B[探究共研型]排列、组合的综合应用探究1从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(4×3,2)＝6(个)不同结果．完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．探究2从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有Aeq\o\al(2,4)－2＝10(个)不同结果．这个问题属于排列问题．完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．探究3完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共Aeq\o\al(2,4)种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝30(种)不同的结果．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．【精彩点拨】(1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．【自主解答】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)种，后排有Aeq\o\al(5,5)种，共(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400种．(2)除去该女生后，先选后排，有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生，有Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360种．(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有Ceq\o\al(3,6)种，再安排该男生有Ceq\o\al(1,3)种，其余3人全排有Aeq\o\al(3,3)种，共Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360种．解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1．按事情发生的过程进行分步．2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．[再练一题]3．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案共有()A．16种 B．36种C．42种 D．60种【解析】若选择了两个城市，则有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝36种投资方案；若选择了三个城市，则有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)＝24种投资方案，因此共有36＋24＝60种投资方案．【答案】D[构建·体系]1．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A．14 B．24C．28 D．48【解析】(间接法)：6人中选派4人的组合数为Ceq\o\al(4,6)，其中都选男生的组合数为Ceq\o\al(4,4).所以至少有1名女生的选派方案有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(4,4)＝14(种)．【答案】A2．在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有()A．6个 B．9个C．12个 D．18个【解析】由题意知，所求三位数只能是1,3,5或2,3,4的排列，共有Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(3,3)＝12(个)．【答案】C3．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答).【导学号：62690019】【解析】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有Aeq\o\al(4,4)种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有Aeq\o\al(2,5)种方法，所以共有：Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)＝480.【答案】4804．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．【解析】有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36种满足题意的分配方案．其中Ceq\o\al(1,3)表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；Ceq\o\al(2,4)表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；Aeq\o\al(2,2)表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．【答案】365．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法．【解】法一：设A，B代表两名老师傅．A，B都不在内的选派方法有：Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,4)＝5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(4,4)＝10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(2,4)＝30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,4)＝80(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：Ceq\o\al(1,2)·