高中数学人教B版3第二章概率随机变量的数字特征第2章

离散型随机变量的方差1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.(重点)3.掌握方差的性质以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.(难点)[基础·初探]教材整理1离散型随机变量的方差的概念阅读教材P62例1以上部分，完成下列问题.离散型随机变量的方差与标准差名称定义意义方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn，叫做这个离散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度).标准差D(X)的算术平方根eq\r(DX)叫做离散型随机变量X的标准差.1.下列说法正确的有________(填序号).①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平.【解析】①错误.因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平.②错误.因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度.③错误.因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平.④正确.由方差的意义可知.【答案】④2.已知随机变量X，D(X)＝eq\f(1,9)，则ξ的标准差为________.【解析】X的标准差eq\r(DX)＝eq\r(\f(1,9))＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)教材整理2二点分布、二项分布的方差阅读教材P63例2以下部分，完成下列问题.服从二点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从二点分布，则D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p).若随机变量X服从二点分布，且成功概率P＝，则D(X)＝________，E(X)＝________.【导学号：62980055】【解析】E(X)＝，D(X)＝(1－＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]离散型随机变量的方差的性质及应用设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.(1)求X的分布列、期望及方差；(2)求Y的分布列、期望及方差.【精彩点拨】(1)可先求出X分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y分布列及其期望、方差、公式求解，也可由期望、方差性质求解.【自主解答】(1)X的可能取值为0,1,2.若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(6,11)，同理，有P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(9,22)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,22).∴X的分布列为X012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)∴E(X)＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2×eq\f(6,11)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\f(9,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2×eq\f(1,22)＝eq\f(3,22)＋eq\f(9,88)＋eq\f(9,88)＝eq\f(15,44).(2)Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3.法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝eq\f(1,22)，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝eq\f(9,22)，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝eq\f(6,11)，∴Y的分布列为Y123Peq\f(1,22)eq\f(9,22)eq\f(6,11)E(Y)＝1×eq\f(1,22)＋2×eq\f(9,22)＋3×eq\f(6,11)＝eq\f(5,2)，D(Y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)))2×eq\f(1,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2)))2×eq\f(9,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,2)))2×eq\f(6,11)＝eq\f(15,44).法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝eq\f(5,2)，D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝eq\f(15,44).1.由本例可知，利用公式D(aX＋b)＝a2D(X)及E(aX＋b)＝aE(X)＋b来求E(Y)及D(Y)，既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.2.若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，若X服从二点分布，则D(X)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程.[再练一题]1.为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝eq\f(3,2)，求n，p的值.【解】由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝eq\f(3,2)，得1－p＝eq\f(1,2)，∴p＝eq\f(1,2)，n＝6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ).【精彩点拨】首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E(ξ)和D(ξ)的值.【自主解答】ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(ξ＝0)＝eq\f(2,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3)；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了.则P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),A\o\al(3,3))＝eq\f(1,2)；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝eq\f(1,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).所以，ξ的分布列为ξ013Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝1；D(ξ)＝eq\f(1,3)×(0－1)2＋eq\f(1,2)×(1－1)2＋eq\f(1,6)×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1.已知分布列型(非二点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，(1)求均值；(2)求方差.2.已知分布列是二点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，(1)若X服从二点分布，则D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p).3.未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况.4.对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解.[再练一题]2.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ).【解】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列为ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝.D(ξ)＝(6－2×eq\f(7,15)＋(9－2×eq\f(7,15)＋(12－2×eq\f(1,15)＝.[探究共研型]期望、方差的综合应用探究1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123PB机床次品数X20123P试求E(X1)，E(X2).【提示】E(X1)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.E(X2)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.探究2在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能.因为E(X1)＝E(X2).探究3在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差.方差越小，加工的质量越稳定.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为,3a，a,，乙射中10,9,8环的概率分别为,,.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列.(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值.【自主解答】(1)由题意得：＋3a＋a＋＝1，解得a＝.因为乙射中10,9,8环的概率分别为,,.所以乙射中7环的概率为1－＋＋＝.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987Pη10987P(2)由(1)得：E(ξ)＝10×＋9×＋8×＋7×＝；E(η)＝10×＋9×＋8×＋7×＝；D(ξ)＝(10－2×＋(9－2×＋(8－2×＋(7－2×＝；D(η)＝(10－2×＋(9－2×＋(8－2×＋(7－2×＝.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.2.在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.3.下结论.依据方差的几何意义做出结论.[再练一题]3.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0123P乙保护区：Y012P试评定这两个保护区的管理水平.【解】甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝；D(X)＝(0－2×＋(1－2×＋(2－2×＋(3－2×＝.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：E(Y)＝0×＋1×＋2×＝；D(Y)＝(0－2×＋(1－2×＋(2－2×＝.因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.[构建·体系]1.设一随机试验的结果只有A和eq\x\to(A)，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，A不发生，))则ξ的方差D(ξ)等于() (1－m)(m－1) (1－m)【解析】随机变量ξ的分布列为：ξ01P1－mm∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m).【答案】D2.已知X的分布列为X－101P则D(X)等于() 【解析】E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝×(－1＋2＋×(0＋2＋×(1＋2＝.【答案】B3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好.【导学号：62980056】【解析】因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定.【答案】乙4.一批产品中，次品率为eq\f(1,3)，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________