统编人教A版高中必修第一册《1.4 充分条件与必要条件》名师精品教案教学设计

1.4.1

充分条件与必条件充分条件与必条件1.4.2

充要条件学习目标

核心素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)1.过充要条件的判断，提升逻2．会(判断)某些问题成立的充分条件、必要辑推理素养．条件、充要条件．(重点)3．能够利命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)

2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.1．充分件与必要条件命题真假推出关系条件关系

“若p，则q是真命题p⇒qpq充分条件qp必要条件

“若p，则q是假命题pqp是q充分条件q是p必要条件思考1：(1)p的充分条件与q的必要条件所表示的推出关系是否相同？以下五种表述形式①p⇒q②pq充分条件③q的分条件是；④q的必要条件；p必要条件是这五种表述形式等价吗？提示：相同，都是⇒q等价．2．充要件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q为充要条件．若pq，但q若qp，但p

p，则称p是q充分不必要条件．q，则称p是q必要不充分条件．若p

q，且qp，则称pq既不充分也不必要条件．思考2若是的充要条件则命题p是两个相互等价的命题，这种说法对吗？“p的充要条件”与“的充要条件是q”的区别在哪里？提示：正确．若的充要条件，则pq，等价于q.①p的充要条件说明p条件，是结论．②p充要条件是说明q条件，p结论．1．下列语是命题的是()A．梯形四边形C．是整数

B．直线ABD．今天会下雪吗A[不是陈述句，B、C能判断真假．]2．“同位相等”是“两直线平行”的)A．充分必要条件．必要不充分条件．既是充分条件，也是必要条件．既不充分也不必要条件[答案]

C3．使x成立的一个充分条件是()A．>4C．x

B．x>0D．x<2A[有>4⇒x3，他选项均不可推出x3.224．设x，∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2

＋y

2

≥4”的()A．充分必要条件C．充分必要条件

B．要不充分条件D．既不充分也不必要条件A[

因为x≥2

且y≥2

＋y2

≥4

＋y2

≥4x≥2

且y≥2，＝－2，＝1，以“≥2y≥2”“y2

≥4”充分不必要条件．]充分条件、必要条件的判断【例1】

指出下列各题中p是q的什么条件．p：x－3＝0，q：x－3)＝0.p：两个三形相似，：两个三角形全等．pa，：＞bc[解]

x30⇒－－＝0，(x2)(－3)0x30故是q的充分不必要条件．两个三角形相似

两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故是的必要不充分条件a

＞b＞bc，

＞bc

＞b，故是q既不充分也不必要条件定义法判断充分条件、必要条件件，谁是结论推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.1．指出下各组命题中，p是q什么条件．p四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．p(x－1)

2

＋(－2

＝0，q：(x－－2)＝0.[解]

因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，边形是平行四边形四边形的对角线相等所以是q既不充分也不必要条件因为(x1)

2

＋(－2

＝0⇒x1

且y2⇒x

－y＝0(x1)(－2)＝0(－1)＋(y2)20所以是的充分不必要条件．充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．集合＝{|px)}，B{|qx)}，p是q充分不必要条件，则集合，B关系是什么？若p的必要不充分条件呢？提示：若是q充分不必要条件，则B，是的必要不充分条件则A.2．记集合＝{|px)}，N{()}，若⊆N，则pq什么条件？若N⊆，＝呢？提示：若M，是q充分条件，若N⊆，则是的必要条件若M，则是q充要条件．【例2】已知：－2≤x≤，q：1－≤1＋m(＞，若pq充分不必要条件，则实数的取值范围为_．[思路点拨]

pq充分不必要条件

→

p表的集合是q表的集合的真子集

→

列不等式组求解{|m9}

[因为是q充分不必要条件，所以⇒qp即{－2≤x≤10}{|1m≤1m>0}真子集，所以m>0，<2，1≥10

≤2，或，1>10，

解得m9.所以实数m的取值范围为{|≥9}．]1．本例中p是q充分不必要条件”改为“是的必要不充分条件”，其他条件不变，试求的取值范围．[解]

因为

是

的必要不充分条，所以⇒，且pq.则{|1－≤x≤1m，>0}{－2≤x≤10}，m>0，所以≥21m10，

，解得0<≤即m的取值范围是{m|0≤3}．2．若本例改为：已知＝{|a－<a＋4}，＝{|1<<3}，“”是“x∈Q”的必要条件，求实数a取值范围．[解]

因为“x∈P”“∈Q”必要条件，以Q⊆.所以解得－1≤a≤5，即的取值范围是{－1≤a≤5}．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围两命题；q关系、充要条件的关系；不等式；caca2caca2充要条件的探求与证明【例3】件是＜0.

试证：一元二次方程ax

＋＋c＝0有一正根和一负根的充要条[思路点拨]

从“充分”和“必要性”两个方面来证明[证明]

①必要性：因为方程2

＋＋c0有一正根和一负根所以Δ＝b

2

－4ac0，x1

＜0(，为方程的两根)，以＜0.②充分性：由ac0推得＝b

－4ac0＝

＜0(为方程的两根)．所以方程2

＋＋c0有个相异实根且两根异号即方程ax

＋bx＋＝0一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2＋c0一正根和一负根的充要条件是ac0.充要条件的证明策略p否是q充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若，则”为真且“若，则p为真.转化为集合的思想来证明，证明pq解集是相同的证明前必须分清楚充分性和必要性即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.2．求证：的方程ax＋＋c＝0一个根是1充要条件是a＋b＋＝0.[证明]

假设方程

＋＋c0有个根是，qabc0.①证明⇒，证明必要性．∵x1方程ax

＋bxc0的，∴a

2

＋b＋c0，即＋＋＝0.②证明⇒，证明充分性．由＋＋＝0，＝－－b.∵ax2∴ax2

＋bx＋c0＋bx－ab0即(x2

－1)b－1)故－axab＝0.∴x1方程的一个根．故方程ax

＋＋c0有一个根是的充要条件是ab＝0.充分条件、必要条件的判断方法定义法：直接利用定义进行判断．等价法：“pq”表示p价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p立时，就可以去证明q成立．利用集合间的包含关系进行判断：如果条件和结论q应的集合分别为和B那么若⊆B则pq充分条件若⊇B则pq必要条件；若A＝，则pq的分必要条件．1．考辨析qp必要条件时，是的充分条件．()q是p必要条件时，“”成立．()2m32m3若qp必要条件，则成立，也成立．()[答案]

√

√

×2．“>0”是“x≠0”的)A．充分必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件A

[由“>”“≠”反之不一定成立因此“x0”“x≠0”充分不必要条件．]3函数()＝x2＋mx＋1的图象于直线＝对称的充要条件是________m－2

[数f(x＝

＋＋1图象关于直线＝1称，则－＝，即2m－2反之，若＝