黑龙江省哈尔滨市第三十一中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第三十一中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，且，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先通过已知求出，再利用平方关系求的值.【详解】因为，所以.因为，且，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.函数的单调递减区间是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A3.

已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数的值是

A．

B．

C．

D．参考答案：A由于Ｍ到其焦点的距离为５，所以,所以Ｍ（１，４），，由题意知，4.已知函数f（x）=x2﹣ln|x|，则函数y=f（x）的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】判断f（x）的奇偶性和单调性，计算极值，从而得出函数图象．【解答】解：f（﹣x）=（﹣x）2﹣ln|﹣x|=x2﹣ln|x|=f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；当x＞0时，f（x）=x2﹣lnx，f′（x）=2x﹣=，∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，排除C，当x=时，f（x）取得最小值f（）=﹣ln＞0，排除B，故选A．5.函数在区间内的图象大致是（

）参考答案：D6.给出平面区域G，如图所示，其中，若使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则的值为A．

B．

C．2

D．4参考答案：D略7.如图2，三棱柱的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱底面，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为A．16

B．

C．

D．

参考答案：D该三棱柱的侧视图是长为4，宽为的矩形，故选D.8.命题“，≥0”的否定是（

）A．，≥0

B．，C．，

D．，参考答案：C9.设集合,,则

（）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则______.参考答案：【分析】由两角和的余弦公式及二倍角公式求得转化为的齐次式求解即可【详解】由题.故答案为【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，是中档题12.已知函数f（x）=|x|（x﹣a）+1．当a=0时，函数f（x）的单调递增区间为

；若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为

．参考答案：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）

【考点】分段函数的应用．【分析】当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的单调递增区间；函数g（x）=f（x）﹣a至多有一个负零点，两个非负零点，进而得到a的取值范围．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=，故函数图象是连续的，且在（﹣∞，0）和[0，+∞）上均为增函数，故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；函数g（x）=f（x）﹣a=|x|（x﹣a）+1﹣a=，令g（x）=0，则当x＜0时，﹣x2+ax﹣a+1=0，即a=x+1，x=a﹣1，即函数g（x）至多有一个负零点，此时a﹣1＜0，a＜1；当x≥0时，x2﹣ax﹣a+1=0，若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则x2﹣ax﹣a+1=0有两个不等的正根，则，解得：2﹣2＜a＜1，综上可得：若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为（2﹣2，1），故答案为：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数零点的存在性及个数判断，难度中档．13.已知，为单位向量，且夹角为60°，若=+3，=2，则在方向上的投影为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，再由向量投影的定义可得在方向上的投影为，计算即可得到所求值．【解答】解：，为单位向量，且夹角为60°，可得?=||?||?cos60°=1×1×=，若=+3，=2，则?=22+6?=2+6×=5，||====，则在方向上的投影为==．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，同时考查向量投影的概念，运算能力，属于中档题．14.已知函数在区间上有极大值和极小值，则实数的取值范围是

.

参考答案：15.已知函数，给定条件：，条件：，若是的充分条件，则实数的取值范围为

．参考答案：16.若二项式的展开式的第五项是常数项，则此常数项为

参考答案：112017.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.参考答案：

x=-2

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且，，，依逆时针次序排列，点的极坐标为．（1）求点，，，的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围．参考答案：（1）点，，，的极坐标为，，，，点，，，的直角坐标为，，，.（2）设，则（为参数），．19.（本小题满分12分）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。参考答案：20.设.

（1）.求得单调递增区间;

（2）.把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,有零点，求m的范围；参考答案：1.由

由得

所以,的单调递增区间是,(或)

2.由1知的图象,

把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

得到的图象,

再把得到的图象向左平移个单位,得到的图象,

即,

所以

21.在中，，是边上一点，且，.（1）求的大小；（2）若，求的面积.参考答案：（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理，得，

…………4分∴，∴．

……………………6分(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．在△ACD中，由余弦定理：，即，

……8分整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，………………10分∴BC=BD+CD=4+2=6．∴S△ABC=．……12分22.(本小题满分13分)已知函数.（Ⅰ）若角的终边与单位圆交于点，求的值；（Ⅱ）若，求最小正周期和值域.参考答案：解：（Ⅰ）∵角的终边与单位圆交于点∴，，

………………2分∴

.

………………4分（Ⅱ）

……