高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程2．5圆锥曲线的共同性质 第2章

圆锥曲线的共同性质1.了解圆锥曲线的共同性质.(重点)2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题.(难点)[基础·初探]教材整理圆锥曲线的共同性质阅读教材P53至思考以上部分，完成下列问题.1.圆锥曲线的共同性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e.这个常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F就是圆锥曲线的焦点，定直线l就是该圆锥曲线的准线.2.圆锥曲线离心率的范围：(1)椭圆的离心率满足0＜e＜1，(2)双曲线的离心率满足e＞1，(3)抛物线的离心率满足e＝1.3.椭圆和双曲线的准线方程：根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是x＝±eq\f(a2,c).1.判断正误：(1)到定点F与定直线l的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.()(2)离心率e＝1时不表示圆锥曲线.()(3)椭圆的准线为x＝±eq\f(a2,c)(焦点在x轴上)，双曲线的准线为x＝±eq\f(c2,a)(焦点在x轴上).【解析】(1)×.定点F不在定直线l上时才是圆锥曲线.(2)×.当e＝1时表示抛物线是圆锥曲线.(3)×.双曲线的准线也是x＝±eq\f(a2,c).【答案】(1)×(2)×(3)×2.离心率为eq\f(1,2)，准线为x＝±4的椭圆方程为________.【解析】由题意知a＝2，c＝1，b2＝3，∴椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.【答案】eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]求焦点坐标及准线方程求下列曲线的焦点坐标和准线方程：(1)x2－y2＝2；(2)4y2＋9x2＝36；(3)x2＋4y＝0；(4)3x2－3y2＝－2.【导学号：24830053】【精彩点拨】把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解.【自主解答】(1)化方程为标准形式：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.焦点在x轴上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2.∴焦点为(±2,0)，准线方程为x＝±eq\f(2,2)＝±1.(2)化方程为标准形式：eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,4)＝1.焦点在y轴上，a2＝9，b2＝4，c＝eq\r(5).∴焦点坐标为(0，±eq\r(5))，准线方程为y＝±eq\f(9,\r(5))＝±eq\f(9,5)eq\r(5).(3)由方程x2＝－4y知，曲线为抛物线，p＝2，开口向下，焦点为(0，－1)，准线为y＝1.(4)化方程为标准形式eq\f(y2,\f(2,3))－eq\f(x2,\f(2,3))＝1，a2＝eq\f(2,3)，b2＝eq\f(2,3)，c＝eq\r(\f(2,3)＋\f(2,3))＝eq\f(2\r(3),3)，故焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(2,3)\r(3))).准线方程为y＝±eq\f(a2,c)＝±eq\f(\f(2,3),\f(2\r(3),3))＝±eq\f(\r(3),3).1.已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值a，b，c或p，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程.2.注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.[再练一题]1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程：(1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4.【解】(1)化方程为标准形式：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.焦点在x轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1.∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为x＝±eq\f(a2,c)＝±4.(2)化方程为标准形式：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1.焦点在x轴上，a2＝2，b2＝4，c2＝6，c＝eq\r(6).∴焦点坐标为(±eq\r(6)，0)，准线方程为x＝±eq\f(a2,c)＝±eq\f(2,\r(6))＝±eq\f(\r(6),3).利用圆锥曲线的定义求距离双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上有一点P，它到右准线的距离为eq\f(11,5)，求它到左焦点的距离.【精彩点拨】首先判定点P在双曲线的左支还是右支上，然后利用性质把到准线的距离转化为到焦点的距离求解.【自主解答】双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左准线和右准线分别为x＝－eq\f(9,5)和x＝eq\f(9,5)，若点P在双曲线的左支上，则点P到右准线的最小距离为eq\f(9,5)－(－3)＝eq\f(24,5)＞eq\f(11,5)，故点P不可能在左支上，而在右支上，所以点P到右焦点的距离为eq\f(11,5)e＝eq\f(11,3)，再根据双曲线的定义知PF1－PF2＝6，即PF1＝6＋PF2＝6＋eq\f(11,3)＝eq\f(29,3).即点P到左焦点的距离为eq\f(29,3).解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种：(1)先利用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解决；(2)把思路(1)的两步过程交换先后顺序来解决.[再练一题]2.椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上有一点P，它到椭圆的左准线的距离为eq\f(28,3)，求点P到椭圆的右焦点的距离.【导学号：24830054】【解】椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中，a2＝25，b2＝16，则a＝5，c＝3，故离心率为e＝eq\f(3,5).由圆锥曲线的性质得点P到椭圆的左焦点的距离为eq\f(28,3)e＝eq\f(28,5)，再根据椭圆的定义得，P到右焦点的距离为2a－eq\f(28,5)＝10－eq\f(28,5)＝eq\f(22,5).[探究共研型]利用圆锥曲线的定义求最值探究1根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点P到其焦点F的距离PF，与点P到对应准线的距离d有什么关系？【提示】eq\f(PF,d)＝e，即PF＝de(e为椭圆或双曲线的离心率).探究2设椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1内一点A(1,1)，P为椭圆上一点，过P作椭圆的准线x＝4的垂线，垂足为D，则PA＋PD的最小值是什么？【提示】过A作直线x＝4的垂线交椭圆于P，垂足为D，则PA＋PD最小，最小值为AD＝4－1＝3.探究3设椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1外一点M(1,3)，F为其右焦点，P为椭圆上一点，P到椭圆的准线x＝4的距离为PD，则PA＋eq\f(1,2)PD的最小值是什么？【提示】易知椭圆的离心率是e＝eq\f(1,2)，由eq\f(PF,PD)＝eq\f(1,2)，得PF＝eq\f(1,2)PD，故PA＋eq\f(1,2)PD＝PA＋PF≥AF＝3.即PA＋eq\f(1,2)PD的最小值是3.已知椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,9)＝1内有一点M(1,2)，F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，在椭圆上求一点P，使得MP＋3PF的值最小.【精彩点拨】因为椭圆离心率为eq\f(1,3)，∴eq\f(PF,d)＝eq\f(1,3)(d为P到相应准线的距离)，∴3PF＝d，将MP＋3PF转化为MP＋d.【自主解答】设P点坐标为(x0，y0)，P到F对应准线的距离为d，由方程知a2＝9，a＝3，b2＝8，c2＝1，∴e＝eq\f(1,3)，∴eq\f(PF,d)＝eq\f(1,3)，∴3PF＝d，∴MP＋3PF＝MP＋d.当MP与准线l垂直时MP＋d最小.此时P点的横坐标为x0＝1，将x0＝1代入椭圆方程eq\f(x\o\al(2,0),8)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1，得y0＝eq\f(3,4)eq\r(14).∴P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)\r(14)))，最小距离为eq\f(a2,c)－2＝9－2＝7.即MP＋3PF的最小值为7.求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.[再练一题]3.如图2­5­1所示，已知F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，定点A的坐标为(3,1)，P是双曲线右支上的动点，则eq\f(1,2)PF＋PA的最小值为多少？图2­5­1【解】由eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1知a＝2，c＝4，e＝2.设点M是点P在左准线上的射影.则PM是P到左准线x＝－1的距离，则eq\f(PF,PM)＝2.所以eq\f(1,2)PF＝PM，所以eq\f(1,2)PF＋PA＝PM＋PA.显然当A，P，M三点共线时，eq\f(1,2)PF＋PA的值最小，即eq\f(1,2)PF＋PA的最小值为点A到双曲线左准线的距离：3＋eq\f(a2,c)＝3＋eq\f(4,4)＝4.故eq\f(1,2)PF＋PA的最小值为4.1.椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的准线方程是________.【解析】由方程可知a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴c＝1，则准线方程为x＝±eq\f(a2,c)＝±3.【答案】x＝±32.双曲线y2－x2＝－4的准线方程是________.【解析】把双曲线方程化为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1，∴a2＝4，b2＝4，c2＝8，即c＝2eq\r(2)，故准线方程是x＝±eq\f(a2,c)＝±eq\f(4,2\r(2))＝±eq\r(2).【答案】x＝±eq\r(2)3.若椭圆的焦点坐标为(1,0)，准线方程是x＝12，则该椭圆的方程是________.【解析】易知椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，故准线方程是x＝eq\f(a2,c)＝a2＝12，则b2＝a2－c2＝11，故椭圆方程是eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,11)＝1.【答案】eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,11)＝14.椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上一点P到其焦点的距离为2，则点P到对应的准线的距离为________.【解析】由题意知a＝2，c＝1，∴e＝eq\f(1,2)，所以p到准线的距离为2÷eq\f(1,2)＝4.【答案】45.椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上有一点P，它到椭圆的左准线的距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离.【导学号：24830055】【解析】椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1中，a2＝100，b2＝36，则a＝10，c＝eq\r(a2－b2)＝8，故离心率为e＝eq\f(4,5).根据圆锥曲线的统一定义得，点P到椭圆的左焦点的距离为10e＝8.再根据椭圆的定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12.我还有这些不足