北京首都师范大学附属延庆中学2022高三数学理月考试题含解析

北京首都师范大学附属延庆中学2022高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是实数，则“且”是“”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.下列三个结论：①设为向量，若，则∥恒成立；②命题“若,则x=0”的逆命题为“若x≠0,则”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；其中正确的结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C.3个 D．0个参考答案：A试题分析：对于①设为向量，若，从而，即和的夹角是，则∥恒成立，则①对；对于②，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”而不是逆命题，则②错；对于③，命题为真，则，中至少有一个为真，不能推出为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；故选：A．考点：复合命题的真假.3.若实数a、b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的

（

）

A．必要而不充分的条件

B．充分而不必要的条件

C．充要条件

D．即不充分也不必要的条件参考答案：C4.若实数满足，则函数的零点所在的区间是()A．(－2,－1)

B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)参考答案：B5.设集合，，则的子集的个数是

（

）

A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：A6.已知函数的部分图象如图所示,则函数的表达式是(

)A.

B.C.

D.参考答案：【知识点】的图像和性质。C4

【答案解析】A

解析：从图可知，且，得，故，将点的坐标代入函数，且得所以函数的表达式为.故选A.【思路点拨】先由图形得到振幅A，然后结合半周期求出周期，故而得到，将点的坐标代入函数，得，所以函数的表达式为。7.设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（2，+∞） B．（﹣3，1）∪（3，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）参考答案：B【考点】函数单调性的性质．【分析】先计算f（1）的值，再按分段函数讨论求出不等式f（x）＞f（1）的解集．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=1﹣4+6=3；当x≥0时，有x2﹣4x+6＞3，解得x＞3，或x＜1，即0≤x＜1，或x＞3；当x＜0时，x+6＞3，解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜0；综上，不等式f（x）＞f（1）的解集是：{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}；故选：B．8.已知为虚数单位，若复数，则（

）A．1

B．

C．

D．2参考答案：C

考点：复数的运算与复数的模．9.已知：均为正数，，则使恒成立的的取值范围是（

） （）

B． C． D．参考答案：A10.在△ABC中，若B、C的对边边长分别为，，则等于A．

B．

C．

D．或参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出T的值为

．参考答案：120【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，T=1，不满足退出循环的条件，故k=3；第2次执行循环体后，T=4，不满足退出循环的条件，故k=7；第3次执行循环体后，T=11，不满足退出循环的条件，故k=15；第4次执行循环体后，T=26，不满足退出循环的条件，故k=31；第5次执行循环体后，T=57，不满足退出循环的条件，故k=63；第6次执行循环体后，T=120，满足退出循环的条件，故输出的T值为：120，故答案为：120【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．12.已知实数，且，那么的最小值为________．参考答案：【知识点】基本不等式．E5【答案解析】﹣1

解析：由于ab=1，则又由a＜0，b＜0，则，故，当且仅当﹣a=﹣b即a=b=﹣1时，取“=”故答案为﹣1．【思路点拨】将整理得到，利用基本不等式即可求得的最大值．13.已知与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2，则在上的投影为

．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】因为向量与的夹角为120°，所以在上的投影为cos120°=﹣，问题转化为求．【解答】解：∵与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2，∴（+）?（﹣2）=0，即﹣﹣22=0，∴4+﹣22=0，解得=，∴在上的投影为cos120°=﹣=﹣×=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．14.已知数列为一个等差数列，，则公差的值为

参考答案：2或－215.已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是

．参考答案：（21，24）【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．【解答】解：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题．16.由直线x=0，x=，y=0与曲线y=2sinx所围成的图形的面积等于

．参考答案：3考点：定积分．专题：数形结合；数形结合法；导数的综合应用．分析：由题意可得S=，计算可得．解：由题意和定积分的意义可得所求面积S==﹣2cosx=﹣2（cos﹣cos0）=﹣2（﹣﹣1）=3故答案为：3【点评】本题考查定积分的求解，属基础题．17.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=．故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：(1);(2).19.已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.参考答案：解：（I）设圆心的坐标为，半径为由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切………2分圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，故圆心的轨迹：…………4分（II）设，直线，则直线由可得：，……………6分由可得：………………8分和的比值为一个常数，这个常数为……9分（III），的面积的面积，到直线的距离…………11分令，则（当且仅当，即，亦即时取等号）当时，取最大值……………………13分

略20.

如图，在直二面角E-AB-C中，四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AB=AF=4,AD=2,点P、Q、G分别是AC、BC、AF的中点；(Ⅰ)求FB与PG所成角的正切值：(Ⅱ)求二面角G-PQ-A，的平面角的正切值。参考答案：解：(I)取AB的中点为M，又G为AF的中点，则所以是FB与PG所成角……………3分由知又二面角E-AB-C是直二面角即中平面平面ABEF，交线是AB，所以平面ABEF，所以于是是直角三角形，

…7分(Ⅱ)延长QP交AD于K，由平面平面知平面ABCD，又而所以是二面角G-PQ-A的平面角…….10分则中，……………….13分

略21.已知椭圆上有n个不同的点P1、P2、……、Pn,其中点,椭圆的右焦点为F,记,数列{an}构成以d为公差的等差数列,.(1)若,求点P3的坐标；(2)若公差d为常数且,求n的最大值；(3)对于给定的正整数,当公差d变化时,求Sn的最大值.参考答案：解析：对于椭圆,有,所以,右准线设,于是由定义知,即…2分(1)∵,所以由,∴故

……4分(2)由椭圆范围可知,∴

∵是等差数列,且∴,∴,即的最大值为200……9分(3)由(2)知,,∴,∴

由,∵,∴是关于的增函数

∴的最大值为……14分22.（本小题满分12分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300