高中数学北师大版第三章不等式 省一等奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2eq\r(ab)，a2＋b2,2ab中最小的一个是()A．a2＋b2 B．2eq\r(ab)C．2ab D．a＋b解析：由基本不等式得eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，∴a＋b＞2eq\r(ab).又∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴ab＜1，∴eq\r(ab)＜1，∴2eq\r(ab)·eq\r(ab)＜2eq\r(ab)，即2ab＜2eq\r(ab).又2ab＜a2＋b2，∴2ab最小．答案：C2．设M＝eq\f(3x＋3y,2)，N＝(eq\r(3))x＋y，P＝3eq\r(xy)(其中0＜x＜y)，则M、N、P的大小顺序是()A．P＜N＜M B．N＜P＜MC．P＜M＜N D．M＜N＜P解析：由基本不等式知eq\f(3x＋3y,2)＞eq\r(3x·3y)＝eq\r(3x＋y)＝(eq\r(3))x＋y，即M＞N.又∵eq\f(x＋y,2)＞eq\r(xy)，而(eq\r(3))x＋y＝3eq\f(x＋y,2)＞3eq\r(xy)，即N＞P，∴M＞N＞P.答案：A3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3解析：∵a＋b＝2，∴(a＋b)2＝4，即a2＋b2＋2ab＝4，又∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥4，∴a2＋b2≥2.答案：C4．已知a、b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是()\f(1,ab)≥8 \f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4\r(ab)≥eq\f(1,2) \f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,2)解析：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某厂产值第二年比第一年增长p%，第三年比第二年增长q%，又这两年的平均增长率为s%，则s与eq\f(p＋q,2)的大小关系为__________．解析：由题意可得(1＋p%)(1＋q%)＝(1＋s%)2，由基本不等式得(1＋p%)(1＋q%)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1＋p%＋1＋q%,2)))2，∴1＋s%≤eq\f(1＋p%＋1＋q%,2)，从而可得s≤eq\f(p＋q,2).答案：s≤eq\f(p＋q,2)6．若对x＞0，y＞0有(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))≥m恒成立，m的取值范围是________．解析：(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝2＋eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)＋2＝4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(4y,x)))≥4＋2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))＝8，∴m≤8.答案：m≤8三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知x，y为正实数，且x＋4y＝1，求xy的最大值．解析：∵x，y为正实数，∴x·y＝eq\f(1,4)x·4y≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4y,2)))2＝eq\f(1,16)，当且仅当x＝4y即x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,8)时取等号．即xy的最大值为eq\f(1,16).8．设a、b、c都是正数，求证：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.证明：∵a、b、c都是正数，∴eq\f(bc,a)、eq\f(ca,b)、eq\f(ab,c)也都是正数．∴eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)≥2c，eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥2a，eq\f(bc,a)＋eq\f(ab,c)≥2b，三式相加得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)＋\f(ca,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，即eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.求证：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).证明：∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))＝2eq\r(c)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,bc))＝2eq\r(a)，eq\f(1,c)＋eq\f(1,a)≥2eq\r(\f(1,ac))＝2eq\r(b)∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥2(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))，即eq\f(1,a)＋