2022年北京市初三一模数学试题汇编：直线和圆

第1页/共1页2022北京初三一模数学汇编直线和圆一、填空题1．（2022·北京石景山·一模）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．2．（2022·北京朝阳·一模）如图，是的弦，是的切线，若，则_________．3．（2022·北京通州·一模）如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果，那么∠P的度数为______．4．（2022·北京海淀·一模）如图，PA，PB是的切线，A，B为切点．若，则的大小为______．二、解答题5．（2022·北京东城·一模）如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，求AE的长．6．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．7．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与有两个交点时，则称MN是的“双关联直线”，与有一个交点P时，则称MN是的“单关联直线”，AP是的“单关联线段”．(1)如图1，，当MN与y轴重合时，设MN与交于C，D两点．则MN是的“______关联直线”（填“双”或“单”）；的值为______；(2)如图2，点A为直线上一动点，AP是的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．8．（2022·北京石景山·一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长．9．（2022·北京大兴·一模）如图，A是上一点，BC是的直径，BA的延长线与的切线CD相交于点D，E为CD的中点，AE的延长线与BC的延长线交于点P．(1)求证：AP是的切线；(2)若，，求CD的长．10．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若，BM=1，求AF的长．11．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值．12．（2022·北京丰台·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F，连接AF．(1)求证：∠BAF＝∠EBD；(2)过点E作EG⊥BD于点G．如果AB＝5，BE＝2，求EG，BD的长．13．（2022·北京门头沟·一模）我们规定：在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的整数倍，那么点就是点的倍关联点．(1)当点的坐标为时，①如果点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标是；②如果点是点的倍关联点，且满足，．那么的最大值为________；(2)如果点的坐标为，且在函数的图象上存在的2倍关联点，求的取值范围．14．（2022·北京房山·一模）如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点：OA⊥OB，AP切⊙O于点P，连接BP交AO于点C．(1)求证：∠PAO=2∠PBO；(2)若⊙O的半径为5，，求BP的长．15．（2022·北京顺义·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，对角线AC，BD交于点E，的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．(1)求证：AE=AF；(2)若AF=6，BF=10，求BE的长．16．（2022·北京平谷·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．(1)求证：∠DCB＝∠DOF；(2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的长．17．（2022·北京朝阳·一模）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．18．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．(1)如图，⊙O的半径为1，点．△AOC为⊙O的“点A关联三角形”．①在，这两个点中，点A可以与点______重合；②点A的横坐标的最小值为_______；(2)⊙O的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；(3)⊙O的半径为r，直线与⊙O在第一象限的交点为A，点．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．19．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段BC的是以直线l为轴的的“关联线段”．(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，以直线l为轴的的“关联线段”是______；(2)△ABC是边长为a的等边三角形，点，若BC是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值；(3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围．20．（2022·北京海淀·一模）如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E．(1)求证：；(2)连接BD交AC于点P，若，，求DE和BP的长．21．（2022·北京·一模）如图，在中，，BC与相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交于点F，连结BF．（1）求证：BF是的切线．（2）若，，求EF的长．22．（2022·北京·一模）平面直角坐标系中，我们把两点，的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和叫做点与点之间的勾股值，记为，即；（1）已知，点，，，直接写出，的值；（2）若点在一次函数的图象上，且，求点的坐标；（3）已知，点是满足条件的所有点所组成图形上的任意一点，是半径为的上的任意一点，表示的最小值．若，直接写出半径的取值范围．

参考答案1．50【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，根据圆周角定理即可求得到∠CAD．【详解】解：连接OC、OD，如图，∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，∴OC⊥CP，OD⊥DP，∵OP=OP，OC=OD，∴△POC≌△POD(HL)，∴∠CPO=∠DPO，∵∠CPA=40°，∴∠CPD=80°，∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，∵∠CAD=∠COD=50°，故答案为：50．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．2．60【分析】因为是的切线，由切线的性质得出PA⊥OA，PB⊥OB，得出∠PAO=∠PBO=90°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120º．，再由四边形内角和等于360°，即可得出结果．【详解】解：如图，连接OA，OB，∵是的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB∴∠PAO=∠PBO=90°∵，∴∠AOB=2∠C=120º，∵四边形内角和等于360º．∴在四边形AOBP中，∠P=360º-90º-90º-120º=60º．故答案为：60．【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形内角和定理；解题的关键是利用切线的性质和圆周角定理结合四边形内角和等于360º求角．3．40°【分析】由PA与PB都为圆O的切线得OB⊥BP，PA=PB，从而求得∠ABP=70°，再根据内角和定理即可求出∠P的度数．【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OB⊥BP，PA=PB，∴∠OBP=90°，∵，∴∠ABP=70°，∵PA=PB，，∴∠BAP=∠ABP=70°，∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-70°-70°=40°，故答案为：40°【点睛】此题考查了切线长定理及等腰三角形的性质，熟练运用性质及定理是解本题的关键．4．60°##60度【分析】先由切线的性质及切线长定理求出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】PA，PB是的切线，A，B为切点故答案为：60°．【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．5．(1)见解析(2)【分析】(1)首先根据等边对等角可证得，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得，即可证得，再根据相似三角形的性质即可求得．（1）证明：（2）解：如图：连接BE是的直径，AB=4，是的切线又又，解得【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得是解决本题的关键．6．(1)4(2)0<m≤4(3)0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°【分析】（1）根据“关联三角形”的定义求得A1(1，-2)，A2(-1，2)，利用三角形的面积公式求解即可；（2）找到四边形OADC是⊙T的外接四边形，且D(2，2)，画出图形，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解；（3）分两种情况，当PP2与⊙O相切时，PP1与⊙O相切时，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解．（1）解：∵点A(1，2)关于x轴的对称点为A1(1，-2)，点A关于y轴的对称点为A2(-1，2)，∴S△AA1A2的面积=×2×4=4；（2）解：∵⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．∴四边形OADC是⊙T的外接四边形，∴D(2，2)，∵点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，且点B(m，n)，∴0<m≤4；（3）解：当PP2与⊙O相切于点E时，如图：∵OE=r，OP=2r，∴∠OPE=30°，∴∠OPP1=∠OP1P=60°，∴当60°<∠OP1P<90°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点；当PP1与⊙O相切于点F时，如图：∵OF=r，OP=2r，∴∠OPE=∠OP1P=30°，∴当0°<∠OP1P<30°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点；综上，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，∠PP1P2的取值范围为：0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，切线的性质，数形结合是解题的关键．7．(1)双，或(2)①；②【分析】（1）根据“双关联直线”定义即可判断，需要利用分类讨论的思想求解；（2）①过作直线的垂线交于点，明白此时的为最小值，利用等面积法求解；②当与直线垂直时，AP是的“单关联线段”即AP是的切线时，面积最小，因为有条直角边为1，当斜边最短时，面积最小．（1）解：当与轴重合时，与有两个交点，由“双关联直线”定义知，是的“双关联直线”，设MN与交于C，D两点，当点在轴正半轴时，，，当点在轴负半轴时，，，故答案为：双，或；（2）解：①过作直线的垂线交于点，即可得到的最小值；当，当，，由勾股定理得：，解得：；②当与直线垂直时，AP是的“单关联线段”即AP是的切线时，面积最小，因为有条直角边为1，当斜边最短时，面积最小，如下图：，．【点睛】本题考查了新定义问题，垂线段距离最短、一次函数与几何问题、切线的性质、勾股定理，解题的关键是掌握相应的知识，利用分类讨论及数形结合的思想进行求解．8．(1)见解析(2)AD=5，BE=．【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD=∠AOB=90°，根据平行线的性质得到∠ODE=90°，于是得到结论；（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB=10，解直角三角形得到AC=8，求得∠CAD=∠DBE，根据平行线的性质得到∠BDE=∠OBD=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD=∠AOB=90°，∵DE∥AB，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴直线DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵=，∴DB=AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×=5，∵AB=10，BC=6，∴AC==8，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD=180°，∵∠DBE+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠DBE，由（1）知∠AOD=90°，∠OBD=45°，∴∠ACD=45°，∵DE∥AB，∴∠BDE=∠OBD=45°，∴∠ACD=∠BDE，∴△ACD∽△BDE，∴，∴，解得：BE=．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．9．(1)见解析(2)【分析】（1）先由圆周角定理得出，再由斜边上的中线性质得出，由是切线得出，即可得出，周长结论；（2）先证明是等边三角形，得出，再在和中，运用锐角三角函数即可得出结果．（1）证明：连接，；如图所示：是的直径，，，是的中点，，，，，是的切线，，，，，是上一点，是的切线；（2）解：由（1）知．在中，，，即，；，，，是等边三角形，，在中，，，，，又在中，，，．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算．10．(1)见解析(2)【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG=∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．（1）证明：连接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵，∴，∵BM=1，OB=OF，∴，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．11．(1)A、B、D(2)【分析】（1）根据坐标的特点及“等直三角形”的定义作图即可判断；（2）根据题意作图，设Q（x，y），求出P点坐标，进而求出CP、OQ，故可求解．（1）如图，△AQ1T，△BQ2T，△DQ3T是等腰直角三角形，Q1Q2Q3在⊙O上，故为等直点”故答案为：A、B、D；（2）如图，依题意作⊙O的“等直三角形”△TQP∴TQ=PQ，∠TQP=90°过Q点作MHx轴，交y轴于M点，过点P作PH⊥MH于H点∴∠TMQ=∠QHP=90°∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°∴∠MTQ=∠HQP∴△TMQ≌△QHP（AAS）∴TM=QH，MQ=HP设Q（x，y）∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y，PH=MQ=x∴P（x-y+3，x+y）∵C（3，0）∴PC=∵OQ=∴=．【点睛】此题主要考查直角坐标系、圆与全等三角形综合，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用．12．(1)证明见解析(2)，【分析】（1）由直径所对的圆周角为90°，可得，由切线的性质可得，由，可得；（2）如图，由，，可得，由可得，求出的值，在，由勾股定理得，求出的值，证明，则，计算求解即可．（1）证明：∵是的直径∴∵是的切线∴∵，∴．（2）解：如图，∵，∴∵∴∴即解得在中，由勾股定理得∵，∴∴即解得∴EG的长为2，BD的长为．【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为90°，等腰三角形的性质，正弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．13．(1)①（1.5，0）或（﹣4.5，0），②3(2)1－≤b≤1＋【分析】（1）①根据点的坐标为，点的2倍关联点在轴上，利用关联点的定义即可求解；②根据点是点的倍关联点，且满足，，列出不等式，即可求解；（2）根据当直线与⊙相切时，即直线和，b分别取最大值b1和最小值b2，分两种情况解答即可．（1）解：①∵点的坐标为，∴点到原点的距离为1.5，∴a＝1.5，∵点的2倍关联点在轴上∴2a＝3∴点M的横坐标为-1.5＋3＝1.5或﹣1.5－3＝﹣4.5∴点M的坐标是（1.5，0）或（﹣4.5，0）故答案为：（1.5，0）或（﹣4.5，0）②∵点是点的倍关联点，且满足，∴a＝1.5∴点M的坐标是（-1.5，1.5k）当时，即，解得，当时，即，解得，∴k的取值范围为，∵k是整数，∴k的最大值是3故答案为：3（2）解：∵点的坐标为∴a＝1，∴的2倍关联点在以点为圆心，半径为2的圆上∵在函数的图象上存在的2倍关联点，∴当直线与⊙相切时，即直线和，b分别取最大值b1和最小值b2，如图所示，在Rt△AB中，∠AB＝90°，∠AB＝45°，A＝2∴sin∠AB＝∴∴点B的坐标是（1＋，0）代入得﹣（1＋）＋b1＝0解得b1＝1＋∴直线AB为在Rt△CD中，∠DC＝90°，∠DC＝45°，D＝2∴sin∠DC＝∴∴点C的坐标是（1－，0）代入得﹣（1－）＋b2＝0解得b2＝1－∴直线CD为∴1－≤b≤1＋【点睛】本题主要考查了坐标系中的点之间的距离，一次函数的图像和性质，圆的切线、解直角三角形等知识，数形结合是解决此题的关键．14．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由切线的性质及垂直条件可得，再由等腰三角形的性质即可证得结果；（2）过点作于点，，设，则可求得OB，从而可得k的值，则在中由勾股定理即可求得PB的长．(1)证明：连接∵切⊙O于点∴∴∵∴∴∵OP=OB∴∠OPB=∠PBO∴∴(2)解：过点作于点∵∴∴设∴由勾股定理得：∵⊙O半径为5∴∴∴∴∴在中，【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及正切函数的定义等知识，连接半径是关键．15．(1)见详解(2)【分析】（1）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，最后根据等角对等边即可得证；（2）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，利用ASA证明，根据全等三角形的性质及勾股定理得出，根据三角形的面积公式及勾股定理得出BE的值．（1）证明：∵点D为弧的中点∴，∵为的直径，为的切线∴，∴，∴；（2）∵是的直径，∴，由（1），在中，，∴，∵，∴，∴∴【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的判定及性质定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质定理．16．(1)见解析(2)，【分析】（1）如图所示，连接OC，先证明∠DCB=∠OCA，由OC=OA，可证∠OAC=∠OCA=∠DCB，再由，可证∠DOF=∠OAC，即可证明∠DOF=∠DCB；（2）先证△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°得到，则CG=2，再由∠BCD=∠OAC，，求出，则，，即可得到，可证△OFD∽△ACD，得到，则．（1）解：如图所示，连接OC，∵CD是圆O的切线，AB是圆O的直径，∴∠OCD=∠ACB=90°，∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，∴∠DCB=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，∵，∴∠DOF=∠OAC，∴∠DOF=∠DCB；（2）解：设OF与BC交于点G，∵，∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°∴，∠CGF=90°∴，∴CG=2，∵∠BCD=∠OAC，，∴，∴，∴，，∴，同理可证△OFD∽△ACD，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线是解题的关键．17．(1)证明见详解(2)【分析】（1）连接OC，可证明，推导出，又因为，可得，即可证明，即平分；（2）连接BC，由为的直径可证明，由（1）可知，利用三角函数分别解、，解得AC、AD长度，再由勾股定理计算CD的长即可．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵CD为切线，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分；（2）解：如图2，连接BC，∵为的直径，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、三角函数解直角三角形以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．18．(1)①，②(2)m的取值范围为1≤m＜；(3)<r≤或r>4．【分析】（1）根据“点A的关联三角形”的定义，只有除OC与⊙O有一个交点外，线段AC与⊙O也只有一个交点，所以当过点C作⊙O的切线时，点A应在弧MN上，求出M点的坐标，即可知点A的横坐标为，即可判断点A应与重合，点A的横坐标的最小值为；（2）先求出B'C'=，过点C'作C'G⊥y轴于G，构造直角三角形，表示出GM=B'G，BM=2B'G，进而用勾股定理求出B'G，即可求出答案；（3）符合△ABC等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，r=，此时仍不满足题意，当r>时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合，此时r==，分①r>，②<r≤4，③r>4，进行讨论，即可求解．【详解】（1）解：①当点A与点重合时，连接与圆相交，而OC也与圆相交，这样△AOC就与圆有三个交点，所以不符合“点A关联三角形”的定义；过C作⊙O的切线CM，交⊙O于M，连接OM，如图，∴OC=2，OM=1，∴设M（x，y），则解得或当时，线段CM与⊙O有唯一交点，∵∴当点A与重合时，△AOC与⊙O是“点A的关联三角形”；②由①得，∴点A的横坐标的最小值为；（2）解：如图，∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，∴线段AC和AB除过点A外，不能与⊙O有交点，当线段AC除点A外不与⊙O有交点，当AC与⊙O相切时，∴AC⊥x轴，此时，点A的横坐标为1，∴点C的横坐标为1，即m=1，∴时，线段AC除点A外不与⊙O有交点，当线段AB除点A外不与⊙O有交点，即点B在（-1，0）处，记作点B'，∴OB'=1，∵A（1，0），∴OA=1，∴OA=OB'，∴∠OB'A=45°，∵△ABC为等边三角形，∴B'C'=AB'，∠AB'C'=60°，在Rt△A'OB'中，AB'=，∴B'C'=，过点C'作C'G⊥y轴于G，∴∠B'GC'=90°，∠C'B'G=180°-45°-60°=75°，∴∠B'C'G=15°，在C'G上取一点M，连接B'M，使B'M=C'M，∴∠B'MG=30°，在Rt△B'GM中，则GM=B'G，BM=2B'G，∴C'G=GM+C'M=（+2）B'G，在Rt△B'GC'中，根据勾股定理得，B'G2+C'G2=B'C'2，B'G2+[（+2）B'G]2=（）2，∴B'G=，∴C'G=，∴m＜时，线段AB除点A外不与⊙O有交点，综上分析得，m的取值范围为1≤m＜；（3）解：如图，符合△ABC等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，如下图1所示，当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，如图2所示，设A（m，m），C（4，0），B（x，y）则r=OA=m过A作x轴平行线，交y轴于D，过C作CE⊥AD于E则△ADB1≌△ACE∴AD=CE=m=m-x，DB1=AE=4-m=m-y∴x=0，y=2m-4即B1点恒在y轴上，当B1点在圆O上时，即OB1=r时，可得：r+m=4-m，故m+m=4-m解得：m=，∴r=，此时仍不满足题意，当r>时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合，如图3所示，易得：r==AC==①当r>时，由图可知，AC将与圆O存在两个交点，不符题意∴<r≤②当<r≤4时，AC与圆O有两个交点，不符题意③当r>4时，如图4所示，设A（m，m），C（4，0），B（x，y），r2=2m2∵，∴∵

∴△ACE≌△AB4D∴AD=y-m=CE=4-m，DB4=AE=m=x-m∴y=4，x=2m此时OB42=4m2+16>r2即B4圆O外部，C在圆O内部，B4C与圆O必有一个交点，符合题意∴r>4符合题意综上所述，r的取值范围是：<r≤或r>4．图1

图2

图3

图4【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点是解题的关键．19．(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根据定义作关于的对称点，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，据此求解即可；（2）根据（1）的方法，根据等边三角形的对称性，可知轴，设交轴于点，交于点，解进而求得的长，即的值；（3）根据题意，作的切线，，求得直线解析式，即可求得的取值范围．（1）根据定义作关于的对称点，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，如图，是的弦，与关于轴对称，则是以直线l为轴的的“关联线段”故答案为：（2）如图，设1交轴于点，交于点，的半径为2,，则在中，∴所在直线是等边三角形的对称轴，则，在中，（3）如图，过点作的切线，与交于点，取的中点,连接，,的半径为2，是与的交点是等边三角形同理也是等边三角形是等边三角形设直线的解析式为，的解析式为解得直线的解析式为，的解析式为根据定义可知，经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，则直线与相交，或【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，解直角三角