泛函分析第4章 内积空间

创作时间：二零二一年六月三十日第四章内积空间之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日在第三章中，我们把n维Euclid空间Rn中的向量的模长推广到一般线性空间中去，获得了赋范线性空间的概念.但在Rn中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题.这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的.我们知道，Rn中向量的夹角是通过向量的内积描述的,因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念.4.1内积空间的基本概念首先回忆几何空间R3中向量内积的概念.设X=((,1213),y=(Ys2s3)eR,设x与y夹角为中，由解析几何知识可得其中,1X11=2其中,1X11=2\tk=1=2skk=112)2t^，称为X与y的内积，不难证明它有如下性质:k=1(1)[x,y；>0,VxeR3,且：x,X〉=0ox=0;(2):;x,下)=[?,X，Vx,yeR3;(3)(X]+x2,y)=(Xjy)+(x2,y),VX/X2,yeR3;(4)/x,y，=N.x,y：,V、eR,Vx,yeR3.注：由界说可得||x||=q7XX?,我们看到，两个向量的夹角仅与向量的内积有关.利用内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题.现在我们引入一般的内积空间的概念.【界说4.1]设X为数域方上线性空间，若对任两个元素创作时间：二零二一年六月三十日（向量）「yeX,有惟一F中数与之对应，记为仃,y；,而且满足如下性质：（1）［x,y'：>0,VxeX,且:；x,x；=0ox=9;（2）::x,y=,；y,x）,Vx,yeX;（3）（x1+x2,y\=（x1,y\+（x2,y）,Vx1,x2,yeX;（4）：：为x,y）=入:；x,y；，,VieF,Vx,yeX;则称：x,y;为x与y的内积，有了内积的线性空间叫做内积空间，当F为实数域R（或复数域°）,叫X为实（或复）内积空间.注:由性质（3）与性质（4）知,内积运算关于第一变元是线性的.由性质（2）与性质（4）可推知/x,y”耳x,y.于是当X为内积空间时，内积关于第二个变元也是线性的.而常称；九x,j.x,y;为共轭齐次性，因此在X为赋内积空间时，内积是共轭线性的.今后讨论中不加注明时，恒设X为复内积空间.【引理4.1】（Schwaraz不等式）设x为内积空间，对任意x,yeX,成立不等式证明：若y=e,则任xeX,有;x的=0,则显然不等式成立.现在设ywe,则VieF,有取I二—2代入上式可得（x,x）-叵M>0,由此可得;：y,y； ' »y；'证毕.【定理4.1］设X为内积空间，对任xeX,令M=",则ixil是x的范数.证明：因范数的前两条性质可直接由内积的性质推出,我们仅创作时间：二零二一年六月三十日验证它满足第三条性质(即三角不等式).事实上故有卜y愀『上证毕.注：常称||x||为内积导出的范数，于是内积空间按此范数成为一个赋范线性空间.在此意义下,第二章关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间.特别当内积空间X按由内积导出的范数完备的，称X为Hilbert空间.以下介绍几个经常使用的Hilbert空间的例子.Fn暗示(实或复)Euclid空间，对x勺)…,tn),y(s,s,...,s)Fn,类似于几何空间R3中向量的内积界说，令1 2n不难验证Fn成为一个Euclid空间.例4-2l2{x(t,t,…,t):n|t|2 ,tF,n1,2，…},当12n1n1 ni1(SjS,…,s)l2时,令容易证明l2成为内积空间.以下证明l2为Hilbert空间.任取Cauchy列xn(t(n),t(n),…,t(n))l2,则对任0,「那时3N,有2 n因而有故数列为n)}-l2 F是Cauchy歹U,因数域F完备，则存在skF(k1,2,・・.)，彳吏limt(n)s,今弘(s,s,・..)，则任k1,2，…，那时…N,有nkk 1 2则令口,对每个nN及任k1,2，…，有

12)；0,只要n12)；0,只要n>N,所以x-xe12,注意12i=1是线性空间，则x=(xt，)+xnw12,且 ||xjxJ<2，n>N,这即标明 xn在12中收敛,故12为Hilbert空间.例4.33E),E为有限或无穷区间，对任xe卬E),界说内积这里皿E)中的元素是实值或复值二次可积函数，也不难验证皿e)是内积空间.现在证明卬e)是Hilbert空间.设xneL2(E)为Cauchy列，则对每个k=1,2，…，存在自然数nk,有对任有限区间euE,me<g,由H01der不等式，有故级数£Jk=1故级数£Jk=1E我们有x(/)-x(/楸收敛，于是由Levi引理(见第一章)nk nk+1从而知£x(/)-x(/)|是集e上可积函数，则比在e上为处处有k k+ik=1限函数，即级数在e上几乎处处收敛，而e为E中任意有限区间，则级数£|x(/)-x(/)1在E上几乎处处收敛，因而级数k=i% nk+ix(t)+(x(t)-x(t))+(x(t)-x(t))+・・・在E上几乎处处收敛，亦即函数n1 n2 n1 n3 n2xn(t)在E上几乎处处收敛于函数x(t).现在证明xeD(x),且lim||x-x||=0.nn告g对任意―0,因｛x｝为L2(x)中Cauchy列,则存在N,那时x(t)-x(t)11<£,即nnk k+1令kfg,利用第一章Lebesgue积分的性质，获得<8,且x—xeL2（E）,因止匕x=x-（x—x）eL2（E）•因止匕Cauchy列x在L2（E）中收敛，故以e）是Hilbert空间.（1）内积的连续性.设limxrx,limy=y,则有n-8 nf8证明：由Schwarz不等式，得因收敛y有界.证毕.（2）极化恒等式.对内积空间X中元素x与y,成立证明可直接运用范数的界说和内积的性质获得.留给读者作为练习.注：当X为实数内积空间时，则极化恒等式为（3）中线公式.对内积空间X中元素x与y,成立证明：证毕.注：也常称中线公式为平行四边形公式.因在平面r2中，平行四边形的对角线长度的平方和即是四条边的长度平方和.另外,可以证明中线公式是内积空间中由内积导出的范数的特征性质,即当X为赋范线性空间时，若对其中任何元素x与y关于范数成立中线公式，则必在X中可界说内积;;x,y\，使范数可由此内积导出.也就是一个赋范线性空间成为内积空间的条件是其范数要满足中线公式.因此,内积空间是一类特殊的赋范线性空间.例如，当p>1且po2时，lp不是内积空间.因为，取x=（1,1,0,0，…）， y=（1,—1,0,0，…）elp,则||x||=||y||=21/2,且

/+W=||x-y||=2,显然不满足中线公式.又例如，C[a,切按范数|刈=max|x«)不是内积空间.这只要取a<t<bx(t)=1, Vtg[a,b]及y(t)=-~,Vtg[a,b],贝U||x||=||y||=1,且b-a||x+y|=2,|x-y||=1，明显不满足中线公式.再例如，L[a,b]当p>1且po2时，也不是一个内积空间..证明：Schwarz不等式中等号成立=x与y线性相关..设X为实内积空间，x,ygX,若||x||=||y||,证明：；x+y,x-y)=0.若X=R2,所证明事实有什么几何意义？.设X为内积空间，u,vgX，若对任何xgX，有：：x,u}=.xc,v：)，试证明u=v.4,设x为Hilbert空间，x,xgx,求证x-x(n—)的充要条件是KI1-1IM，且{x,x=(x,x)(n―8)，5.验证极化恒等式.x=Zte,y=Zse，k=1 k=16,x=Zte,y=Zse，k=1 k=1其中t,skgF,k=1,2,…n,求证(x,y)是X上一个内积的充要条件是存在正定矩阵A=(a.)J成立4.2内积空间中元素的直交与直交分解f”直交及其性质仿照R2中两个向量的直交概念，我们有如下界说.

【界说4.2】设X是内积空间，羽yeX,若。,y=0,称X与y直交，记为x1y.设xeX,MuX,若X与M每个元素直交时，则称X与M直交，记为X1M.又NuX,若xeM,yeN,者6有x1y,则称M与N直交，记为N1M.设MuX,记M1={xeX:x1M卜则称M1为M的直交补.由以上界说,可得如下简明事实（性质）：（1）零元素9与X中每个元素x直交.（2）若x1y,贝Uy1X.（3）x1Mox=9•（4）若MuNuX,则UN1uM「（5）任MuX,若0eM,则UMQM1斗；若9eM,则MQM1={0}.另外我们还有一下几条有用性质：(6)若X.x(n.8),且X1y,则Ux1y•这是因为fx,y；：=lim：；x,y；：=0.‘ 'n'n.8(7)若x(7)若x,yeX,且x1y,则成立勾股公式1+y||2+||X-y||2=||X||2+||y这个性质留给读者自己验证.（8）对任MuX,则M1是X的闭子空间.事实上，任意X,xeM事实上，任意X,xeM1,则对每个yeM,有12于是有《X]+X2,y)=(X],y+(x：2,y)=0,故x11y,X1+x2eM1；又任意x21y,xeM1,入eF,则任意yeM,有/x,y=Mx,y>0,故九xeM1,因此M1成为X的线性子空间.现在证明M1是闭集.若(Mi)，E,则M1为闭集,当(m1y=0,任取xg(m1y,则存在xgM1,有limx=x-对任意nnnrg”M,应用事实(6),有则x1y,于是推得x1M,即x1Mi,因此Mi为闭集.证毕.(9)设MuX为非空集，则(spanM)—M「事实上，因Mu丽丽，则(spanM)1uM1.另外，对任意xgM1,任意取ye(spanM)=(spanM)|J(spanM)',若yu(spanM),则Uy是M中有限个元素x1,x2,…xn的线性组合，即于是(y,x=X,(x,xi=1而当yu(spanM),则存在元素yuspanM,有limy=y,由以上nnnrg证明知yn1x,于是由性质(6)得知y1x.综上所说，xg(spanM)1，故M1g(spanM)1.证毕.直交投影及变分引理仿照R2中向量在坐标轴上投影的概念引入以下界说.【界说4.3】设m是内积空间的一个线性子空间，xgX,若存在x0gM,zgM1，使成立x=xjz,则称xo为x在M上的直交投影(可简称为投影).注：一般情况，某个元素x在X的某个空间M上纷歧定存在投影.但当投影存在时，则可证明投影的惟一性.因为若xo及5都是x在M上的投影，则由界说有z=x-x°，q=x-xigM1，于是x-x=z-zgMMM1={0},故x=x•对R2，任向量x=勺12)在x轴(即子空间M={(t,0)：tgR])上有创作时间：二零二一年六月三十日投影为x0二((,0).而且知道点x二(t1,12)到X轴上每个点的距离最小者为卜_x0b/.这种现象如何在一般的(特别是无限维)内积空间中暗示是个需要探讨的问题.为此,我们首先给出重要概念.【界说4.4】设X是怀抱空间，M是X中非空子集，xeX,则称infp(x,y)为x到集M的距离，记为p(x,M).若存在某xeM,yeM 0使p(x,x°)=p(x,M),则称x0为x在M中最佳迫近元.注：一般情况下，某元xeX,在某集MuX中纷歧定存在最佳迫近元.而且在最佳迫近元存在时也纷歧定惟一.因此,最佳迫近元的存在性及惟一性成为迫近理论中一个主要研究方向.在此我们仅介绍一个在微分方程,现代控制论等学科都有重要应用的基本结果.【定理4.2](极小化向量定理)设m是Hilbert空间x中的凸闭集，则任意xeX,必有M中惟一存在最佳迫近元.TOC\o"1-5"\h\z证明：令d=inf||x_y||=p(x,M),则存在xeM,使lim||x-x^d.n ―nyeM nfs因M是凸集，则1(x+x)eM,于是必有|x-1(x+x)11>d.2nm 2nm在中线公式中以xn—x代换x,以x-xm代换y,则有因此x是完备内积空间X中Cauchy列，则存在x0eX,使limx二x.因M是闭集，则xeM,而且有nfsn0 0这证明了最佳迫近元的存在性.现在证明惟一性.设y0eM也是x的最佳迫近元.还是由中线公式得故|x0-y0故|x0-y0b0，创作时间：二零二一年六月三十日我们通常也称此定理为变分引理.由于子空间一定是凸集,并注意定理的证明过程，则定理条件改为M是内积空间X中完备的子空间时,定理结论仍成立.投影定理【定理4.3］（投影定理）设M是内积空间X的完备线性子空间，则任意xeX,必在M中惟一存在投影.即必惟一存在xeM,zeM,，使x=x+z.证明：由题设，依据极小化向量定理，x在M中存在最佳迫近元x0,记为任取复数九》eM,则x0+九yeM,且有那时y-,取九二 代入上式，得|y||2于是推得《x-x0,y）=0,再注意y=9,此式也成立，因而x-x0eM「令z=x-x,即有x=x+z.投影的存在性得证.投影的惟一性已由界说4.3的注得证.证毕.注：（1）X为hilbert空间时，则对任闭集子空间MuX投影定理成立.（2）表达式x=x+z也常称为元素x的直交分解，故投影定理0也叫做直交分解定理，是尺2中向量的直交分解的推广.由于在一般赋范线性空间中没有直交概念,因此不能讨论直交分解的问题.（3）对hilbert空间X及子闭空间M,在投影定理条件下有即X暗示为两个直交子空间的直和，常称X为M与M工的直交和，或直交分解.

投影定理在内积空间理论中是极为重要的基本定理.由于投影x0eM,就是元素XeX在子空间M中的最佳迫近元，因此在现代迫近论,概率论以及控制论中许多问题都可以笼统为如下的数学问题.设X是内积空间，且X,X1,X2,…,XJX，问是否存在n个数仆仆…,九,使得X-£X-£九XI，」二inf||x-j，yeM其中M=span{x,X,…,X}.而且—i般假设X,X1,X2,…,xn线性无关.由于M是一个n维赋范线性空间，故M完备，则由投影定理,对Xe对XeX,必惟一存在X0=£九XeMi=1，使Ix-X011=infllx-yl.0 yeM现在我们给出求解母的方法，因x现在我们给出求解母的方法，因xeM,1<i<n,则由投影定理,我们有即得线性方程组记其系数行列式为A.因为方程组已知有惟一解，故Aw0,而且可计算出入』<i<n.最后,我们再给出投影定理的两个推论.【推论4.1】设m是Hilbert内积空间X的真闭线性子空间，则m,中必有非零元素.证明：由题设M丰X,则存在xeX-M.由投影定理得知，存在X0eM,xeML使得x=x0+z,于是必zwe,否则x=X0eM,与之矛盾.证毕.【推论4.2］设m是Hilbert内积空间X的真闭线性子空间，则M=(M1)「特别当M,={0},则M在X中浓密.证明：由性质(8),(M1)1是X中真闭线性子空间，因X完备,则(M1)1完备.显然，有Mu(M1)1,于是Mu(M1)「同样得知M也完备.如果M丰(M1)1,于是关于Mu(M1)1，应用推论4.1,存在非零元素xe(M1)1,且xe(M1)1=M1,故：:尤,x)=0,从而x=0,矛盾.从而必有M=(M1)1,证毕.1,设X是实内积空间，若||x+y||2=||x||2+|M|2,则x1y.问X是复内积空间时,结论是否成立？2,证明：内积空间X中的两个元素x,y直交的充要条件是对任意数九eF,成立||x+九y||>||x||.3,设x,x1,x2,…,xn是内积空间X中两两直交的非零元素组，求证：x,x1,x2，.,xn线性无关.4,设X是内积空间，x,yeX,则x1y。对任意九eF,有||x+九y||=||x-九y||.5,设X是hilbert空间，M是X的子集，求证(M1)1是包括M的最小闭子空间.6,设X是hilbert空间X中非空子集，求证：spanM=XoM1={0}・7,设M为hilbert空间以一1,1］中全体偶函数的集合：(1)求证M1是以一1,1］中全体奇函数.(2)任意xeL2［-1,1］,求x在X上的投影.

.设X为标式㊀丫空间，元素列\乂且两两直交，求证：级数x收敛数值级数卜/2收敛.i1 i1.证明：直交性质（1）-（5）..设x,x,x,…,x是内积空间X中两两直交元素组,求证:nxkk1k11nxkk1k1口2.k4.3直交系返照R2中情况，在内积空间引入直角坐标系的概念.【】设M是内积空间中一个不含零元的子集，若M中任意两个分歧元素都直交，则称M为X的一个直交系.又若M中每个元素的范数都是1,则称M为标准直交系.注：为了简单起见,我们仅讨论至多含可列个元素的直交系,因为对不成列情况,在方法上同可列情况并没有实质的区别.例4.4在（实或复）Euclid空间Fn中是一个标准直交系.例4.5在内积空间⑵以下元素列是一个标准直交系其第n个分量是1,其余分量都是0,n1,2,….例4.5在实内积空间L2［0,2］中，若界说内积为则三角函数系是12［0,2］的一个标准直交系.【界说4.6］设他｝是内积空间X中一个标准直交系，对任nn1xX,称cn（x,e）为元素x关于*的尸0口埒。丫系数，常简称为乂的

Fourier系数.于是有形式级数cnen,称为元素x关于｛叱1可以展n1开为Fourier级数.注：一般情况下，Fourier级数纷歧定收敛.即或收敛，也纷歧定收敛于X.在什么条件下元素*可以展开为Fourier级数的问题自然是重要的.【定理4.4】设｛e｝是内积空间X中一个标准直交系，记nn1对任意给定乂X,贝卜在X上的投影是snce,即$是在X内n n kk n nk1的最佳迫近元.证明：因乂sn(xsn),由于snXn,则只须证明XsnXn.由4.2性质(9),又仅须证xsnen,k1,2，…,n.于是由nce,ence,eiiki10,知结论成立.证毕.注：任意neX,任xX,成立kknk1【定理4.5】口35531不等式)设｛e｝是内积空间X中一个nn1标准直交系，则对任意XX,成立Bessel不等式^其中,c；x,e；,n1,2，….证明：已知s(xs),其中snce,则由勾股定理得n n n kkk1☆n ,得结论成立.证毕.注：Bessel不等式指元素x在每个^上投影cnen的范数的平方和不年夜于x的范数；由此知卜了为收敛级数，于是推得事实n1特别对内积空间网0,2兀］关于标准直交系三角函数系（见例4.3）,对任意1E.0,2兀］,其Fourier系数为其中a,。即通常的Fourier系数，则由Bessel不等式，得注意这里用了收敛正项级数的可交换性.在内积空间X给定标准直交系｛e卜情况下，1eX,其对应的nn=1Fourier系数构成一个序列c=（c1,c/一）e12,并确定了由X到内积空间/2内的一个映射T为其中c;（i,e>n=1,2,•…不难证明T是线性映射.反之，任意12中的元素c=（c1,c2，.一），一般情况下，纷歧定存在X中元素i,使c=（x,e），n=1,2，…，但在X完备时，有以下定理.【定理4.6】（Riesz.Fisher）设｛e卜是内积空间X中一个标nn=1准直交系，则对任意c=（c1,c/一）e12，惟一存在ieX，使cn=（1,e），n=1,2,..,且成立等式TOC\o"1-5"\h\z证明：令s=2Lce ,因为||s-s ||2=X|c |2,由于级数£c |2收n kk nm k nk=1 k=n+1 n=1敛，则根据Cauchy收敛准则，有故sn是完备空间X中一个Cauchy列，则存在1eX,有现在设k为任意自然数，则再注意Is『=£c|2,令nf8,即得等式£c|2=怵.n n nk=1 n=1最后证明惟一性.若yeX,也满足定理结论,且£c|2=|ynn=1n则因|y|2=|s||2+||y-s||2（由定理4.3）,令n-8,推得s-y.n由极限的惟一性，必y=”证毕.注：在X为Hilbert空间时，可确定一个有12到X内的映射.但在一般情况下，不能判定映射是满射.因此纷歧定为由12到X上的一一映射.在〃维Euclid空间中，标准直交基(直角坐标系)的极年夜性是至关重要的,对此我们有如下推广.【界说4.7］设｛e卜是内积空间X中一个标准直交系，若对nn=1任意XeX,有(x,e)=0,n=1,2，…，则必x=0,我们就称｛e”是完全的.标准直交系是12中一个完全的标准直交系.【定理4.7】(Riesz—Fisher)设｛e卜是Hilbert空间X中一一个nn=1标准直交系,则一下的命题等价：(1){e'是完全的；(2)对任意xeX,成立Parseval等式||x『二c|2,其中nn=1c=(X,e>n=1,2,…；(3)对任意xeX,有x工cnen，其中cn=(x,e),n=1,2,…；n=1(4)对任意两个元素x,yeX有证明：(1)n(2).设｛e卜是完全的，对任意xeX，记nn=1cn=(x,e)，n=1,2,…c=(c1,c「…)e12,再由定理4.6知，惟一存在yeX，使得c:0e)且成立忖p=£cj.因为(x,e)=0e),n=1,2,…n=1则：x-y,e\=0,n=1,2,….由于｛e卜是完全的，于是必有y=x,因, n- nn=1创作时间：二零二一年六月三十日此有时|2=£|c|2,命题（2）成立.n=1（2）=（3）.现在假设命题（2）成立，任意取％Gx,令c=c=

n,n=1,2,…，…工一则有k=1即得lim巳卜=x，于是命题（3）成立.n―k=1kk（3）=（4）.现在假设命题（3）成立，任意取羽”（3）=（4）.现在假设命题（3）成立，任意取羽”x,令=yy,=yy,e；：,则有x=limiLcen n―k=1kky=limZdkek.于是可得nT6k=1 k即命题（4）成立.（4）n（1）.现在假设命题（4）成立，取xeX,若x±e，n=1,2,…，此时任取yeX,有｛x,y)=L[x,e).n=1x=e,因此命题（1）成立.证毕.注：若Hilbert空间X存在的标准直交系｛e卜，则任意xeX,nn=1有cn=（x,e）,n=1,2,....映射Tx=（c/c2,...）e12是由x到12上的一个等距同构映射，故X与12的等距同构.以下的定理在判别某标准直交系的完全性时是经常有用的.【定理4.8］设｛e卜是Hilbert空间X中一个标准直交系，如nn=1果Parseval等式在X中某浓密子集D上成立，则｛e｝»1是完全的.证明：X=span｛e卜，则X是X的闭线性子空间•任xeD,令0 nn=1 0c;（x,e>n=1,2，…，则由假设成立|琲=Lc卜，同定理4.7（2）n=1n（3）之证明得x=lim2cle卜，故xeX。.于是DuX。.因X。是闭集,nf0k=1

则X=DuX0=X0,即得X=X0.由X0界说，任XeX0=X,有x=£ce=limXce,且c=(x,e),n=1,2，….因此由定理4«7命题n=1 n*k=1(3)成立推得则{e}、是完全的.证毕.例4.7L2［0,2兀］中三角函数系是完全的.因为取D在L［0,2兀］中浓密.对任意三角多项式aT(t)=-70+

n2£(aaT(t)=-70+

n2kk=1kk=1根据定理4.7,对任意xeL2［0,2兀］,其中Fourier级数依范数收敛于x.但这其实不能推知每个,eL2［0,2冗］,有由线性代数及解析几何的知识,我们知道直交组比一般的线性无关组的性质更为优越,若某向量可用标准直交组线性暗示,其组合系数有内积容易求出,十分方便.以下介绍一个获得标准直交系的经常使用的方法.对内积空间X中已知的某线性无关序列{x卜，通过Gram-Schmidt标准直交化nn=1过程可获得一个标准直交系.其过程如下：第一步，把x标准化，令1第二步，记X=span{e}=span{x}.由定理4.4第一步，把x标准化，令1第二步，记X=span{e}=span{x}.由定理4.4得知，x在X上的投影为《x2，e)e1,由投影定理，记士=3ejejy2,则y2±彳.1因为x/［线性无关，则)产e,此时令不难看出有span{e,e}=span{x,x}.1212第三步，记X=span{e,e},也由定理4.4得知,12X3在X2上的投影为3e)ei+卜3,e)e「依据投影定理,记x£(x,e,)e+y,则k=1y31ejk=1,2.因为x3,e」e2线性无关，则yO,此时令且易知span{e于是归纳有第匕步，记x1=span{e,e,…,e}，同样由定理4.4得知，x在X1上的投影为辽,e'ek,并根据投影定理，记k=1x=E(x,e)e+y,则Uy1e，k=1,2,・・・n-1,又因为x,e，k=1则易知span{e1e，…,e线性无关，则ywO,此时令2n-则易知span{e1,e，…,e}=span{x,x，…,x}.于是以上法式无限进行下去，即得一个标准直交系{e}0VHilbert空间与12等距同构.因12是可分的（即存在有限或可列浓密子集），则X也是可分的.相反地，我们有如下定理.【定理4.9］设X是Hilbert空间，则（1）若X是可分的，则X必有至多可列的完全的标准直交系；（2）设X是无限维的可分空间，则X的每个完全的标准直交系都是可列集.证明：由于X存在有限或可列（也称为至多可列）个元素{xk},使而丽不二X,且无妨设{xk}为线性无关集合.由Gram-Schmidt标准直交化法式，可构造出对{x}的（等势的）标准直交系{e卜当X为n维内积空间时，则有span{e,e，…,e}=span{x,x，…,x},故有从而有于是必有

故｛e｝\是完全的.定理4.9(1)证毕.又X存在可列浓密子集D,任取X一个完全标准直交系M,则M是一个无限集.任取e,e.eM,且ewe「都有记S=｛xeX:||x一ej|< ｝, S=｛xeX:k一e.||< ｝则S[nSJ=巾.由于D在X中浓密，则存在xeDnS，xeDDS，有xwx..于是M的势年夜于D的势.因而M必是可列集.证毕.1.在内积空间/2中，试给出一个使Bessel不等式成为严格不等式的例子.2,设｛e%是内积空间X中一个标准直交系，求证对任意xyeX,有3.设｛e｝是内积空间X中一个标准直交系，给定xeX,令nn=1cn=(x,en),n=1,2…则对任意自>0,求证：(1)使成立不等式|cn|“的cn仅有有限个；(2)设｛n:c|“｝的个数为m,则有m<口忖『.1n1 自2".在LL1,1］中，试将心)=1,x2(t)=t,x3(t)=12标准直交化..求(a,a,a)eR3,使』1(e「a-at-at2)2dt取最小值.012 0 0 1 2.设｛e｝是Hilbert空间X中一个标准直交系，若x,yeX有nn=1nn=1te,y=£sen=1求证：(1):x,y=£…；(2)级数£t-s是绝对收敛的.n=1 n=1.设｛e｝是Hilbert空间X中一个标准直交系，给定xeX,若nn=1X=£te，求证t=(x,e),n=1,2,,且有||x|p=£|tR-nn n n nn=1 n=18.设K卜是Hilbert空间X中一个完全标准直交系，试问是否每个nn=1xeX都可用K卜线性暗示.nn=19设b是Hilbert空间X中一个标准直交系，任意xeX,求证nn=1y=£(X,3在X中收敛，而且x.y与每个en直交.n=1Hilbert空间上有界线性泛函在理论及应用中，对一个具体的赋范线性空间X来说,往往要和它的共轭空间x*结合一起来研究.为此，知道有界线性泛函feX*的一般形式，自然是十分重要的.对一般赋范线性空间，获得这种暗示是相当困难的.但对Hilbert空间，情况却非常简单.Riesz定理【】(Riesz)设X是Hilbert空间，对每个feX*,惟一存在yeX,使任意xeX,有而且还有证明：若f=0为零泛函，则取X中零元素y=0即可.现在设f村，令M={xeX:f(x)=0}为f的零空间.因f是连续线性泛函，则M是X的闭子空间.因fw0,则必有M为X的真子空间.由投影定理，肯定有zwe且zeM1.所以f(z)w0任取xeX,因为则x.3zeM.于是有f(z)幺主，即有从而得f(%=/@八,z：.此时令尸幺主，即有存在性得证.现在证明yeX由/惟一确定.如果还有y1eX,使于是有《x,y一八"0,vxeX,即y-y11X,所以y1=y,惟一性得证.最后证明11/1|=3|.当f=0,事实明显.现在设fwe,则ywe.首先由Schwarz不等式有lf(%)=k,y\|«||y|I-IIxll,v%eX于是推得||f11<||y|I；另一方面，取x=y,又有于是推知IIf11>||y||.因此必成立||f|=||y||.定理证毕.注X*到X内的映射.现在要说明它是一一映射.因为任意取定元素yeX,则确定X上一个泛函f为f(X)=：X,y；,vxeX由内积的性质可知f是线性的.再由Schwarz不等式，有|f(x)=|:x,y；|<||y|Hx,v%eX因而f是有界泛函，且|f归y,故feX*.类似于定理4.10的证明,可推知fihy.于是可得以下的由X到X*上的映射T是个一一映射：T(y)=feX*,VyeX,使f(x)=：：x,y;,VxeX•任取复数个卜之及元素y1，y2ex,令Tyi=f1'T2=于2,T,yi+好2)=f创作时间：二零二一年六月三十日则对任意％eX,有即有T（九y+九y）=^Ty+X-Ty因此称T为复共轭线性映射，而且有即T是一个等距映射（或称为保范映射）.故称映射T是X到X*上的复共轭等距映射.在这种意义下，认为元素yeX与对应的泛函feX*是一致的，即X=X-因此，称X为自共轭空间（必需注意是在复共轭等距同构意义下）.Hilbert空间上的共轭算子我们曾在第3章讨论过赋范线性空间上的共轭算子问题.现在我们利用Hilbert空间与共轭空间的一致化，引入所谓Hilbert空间上的共轭算子概念.这类算子是在研究矩阵及线性微分（或积分）方程的问题中提出来的,有着广泛的应用.【界说4.8】设X和y是两个内积空间，T：X-y是一个有界线性算子.又设T*:y-X是有界算子，若对任意的XeX,yey,都有就称T*是T的共轭算子（或陪伴算子）.注：在复空间情况下,第3章关于赋范线性空间所引进的共轭算子与界说4.8所陈说的共轭算子其实不完全一致，设TT2eL（X,y）及复数年”,按第3章所述界说，有但依界说4.8的概念,却有而在实空间情况下,两者完全一致.例4.8设Cn,Cm为复Euclid空间，对有界线性算子T.CnfCm,则T为m行n列的矩阵，即那时x=（t1,12…,tn）eC，有此时，任取尸（s1,s2，…s]eCm，有其中我们看到共轭算子T*是T的转置共轭矩阵T*.如果X是n维（实或复）内积空间，取定您e2，…e｝为其一个标准直交基，y是m维（实或复）内积空间，取定ff,…f｝为其一个标准直交基.设T：X-y是一个线性算子（则T一定有界）.令则任意xeX,有惟一暗示x-te.,于是有j=1不难看出，线性算子T:X-y由一个m行n列的矩阵（ajmnn所决定.类似于Euclid空间的情形，可得T的共轭算子T*:y-X由（ajmnn的转置共轭矩阵（不）暗示.以下定理说明了一般情况下共轭算子的存在性.【定理4.11】设X是Hilbert空间，y是内积空间，则对任意有界线性算子T:X-y,必惟一存在共轭算子T*.证明：对任意取定yey,确定了X上线性泛函f（x）=Tx,y,其中xeX.因则feX*,且||f|WT|Hy.由Riesz定理，惟一存在zeX有我们获得了算子T*:y-X为T*y=z,且f=|z|.使对任意的xeX,yey,有ITx,y：=；x,T*y；：.现在证明t*是由y到x的有界线性算子.任意取复数仆仆及元素y1,y2ey,因有因此T*(4乂、y"吓*y'T*y?.这说明T*是线性的.再由T*的界说,对任意的yGY,有『*y|=M|<ITI|-||y||，因此有『*||<ITI|,即T*为有界线性算子，而八的惟一性是明显的.证毕.再给出一个实例.设X二Lla,b]K(t,s)是矩形区域D=la,b]xla,b]上平方可积函数，则由核K(t,s)界说了空间Lla,b]上的有界线性算子T为T是一个Fredholm型积分算子.现在求T的共轭算子.任取yeLla,bL因为在给定条件下可交换积分次第，有故有 T*y%)=』bK(s,t)y(s)ds.即T*是以K(t,s)为核的Fredholm型a积分算子.由例4.8，我们看到共轭算子是转置共轭矩阵概念的推广，因此它肯定具有许多类似转置共轭矩阵的性质.【定理4.12】(共轭算子的性质)设X,Z是Hilbert空间，Y是内积空间.T,SeL(X,Y),QeL(Z,X)，九是复数，则以下命题成立：(1)(九T)*=kT*；(2)(T+S)*=T*+S*；(3)(T*)*=T；(4)|「『=|t*||2=|t*t||；(5)(TQ)*=Q*T*；(6)T存在有界线性逆算子的充要条件是T*也存在有界线性逆算子，有(T一1)*=(T*)-1；⑺o(T*)=[-入eoT)}证明：⑴任取有因此有。7)=仃*.性质(1)得证.(2)证明留给读者证明.(3)任取xeX,ye丫,有(Tx,y)=1,T*丁)，因此有.于是(T*)*=T•性质(3)得证.||t*||<||t||•因此也有［(7*)*|力*|，即||<||r*||-于是必用=|p*『任取xeXy因则得『*7七］琲.另一方面，任取％wX,且以||=1，有则得即有『『《/*琲综上所证就获得畔=同2巾*T卜性质(4)得证.(5)由假设知TQ"(Z,y).任取zeZ,yeV,因于是有GQ)=Q*T*.性质(5)得证.(6)设丁存在有界线性逆算子7」，贝=/,7一17=/,其中/,/Y X XY分别是X及y上单元(恒等)算子.因明显有/*=//=/,则XXYY利用性质(5)可得因此知(Tt)*是7*的逆算子，即成立(T*)-i=(T-i)*-反之，设T*存在有界线性逆算子，于是由前证有T=(")*存在有界线性逆算子.性质(6)得证.定理证毕.(7)设九ep(T),则(九/—7>16(X,X),于是由性质(6)，(入/—7)*存在有界线性逆算子，而&/—7)=兀_7*,可见无$p(T*),故同理可证即所以 pT*)=1入ep(T)}而4*)o(T)分别是p(T*),p(T)的余集，因此习题4,41设X是Hilbert空间，Y是内积空间，若S,SeLY,X),有:;x,Sy\.=；x,Sy\:：,xeX,yeY,求证S=S•2设X是Hilbert空间，求证X是自反空间.3证明/*=1,0*=0,其中1,9分别是Hilbert空间X上单元算子和零算子.4试求作用于12上的算子的共轭算子：⑴tq,t2,...)=Qty2,…)T«,12,••)=&，t3…).5试求作用于L2(—8,s)上的算子T的共轭算子：(1)(Tx)()=x(+h),其中xeL(—8,s),h是实常数；(2)(Tx)()=，Q(t)+x(-1)),其中xeL(—8,s).2设x是复Hilbert空间，TeL(X)=L(X,X).求证：若T=T*,贝U对任意xeX,有ReTx,x).=0•设x是Hilbert空间，TeL(X)且||T||<1,求证：:Tx=x}=1:T*x=x}8设X,Y是Hilbert空间，TeL(X,Y).记T的零空间与值域分别为NT)={xeX:Tx=9},R(T)=^TxeY:xeX)•任AuX,BuY,若T(A)uB,求证A±^T*(B!)；(2)若(1)中，A,B都是闭线性子空间，若A「T*(B,),求证T(A)uB；求证R(T*)=(N(T)>;R(T)=(N(T*))±；N(T)=(R(T*))i;N(T*)=(R(T))「9设X是复Hilbert空间，M是X的闭线性子空间，求证：若M是X是某个非零有界线性泛函f的零空间，则M,是X的一维空间.Hilbert空间上共轭算子的概念，如果TeL(X,X),那么T*eL(X,X).当X是实Hilbert空间且是有穷维时，算子T就可看成实方阵，而T*就是T的转置.若T*=T,那么矩阵T就是对称矩阵.通过线性代数我们知道,对称矩阵有很多好的性质.在这里我们将对称矩阵的概念一般化,引入一类重要的算子.【界说4.9］若T*=T,则称T为自共轭算子(或自伴算子).【定理4.13］设X是Hilbert空间，则下面的结论成立：(1)若TeL(X,X),则T为自共轭算子当且仅当对VxeX,Tx,x：是实数.(2)若T1,T2eL(X,X)且为自共轭算子，则对任何实数a,P,aT1+附2是自共轭算子.(3)若T1,T2eL(X,X)且为自共轭算子，则T1T2是自共轭算子的充要条件是T1T=T2T1.证明：（1）设对任何xeX,T,x是实数，来证T=T*.由于所以；T-T*l,x,：=0,令S=T-T*,那么;Sx,x；=0.又；S（x+y）x+y=0及［S（x+iy）S（x+iy））：=0于是得；Sx,y；+Sy;y,x；=0及［Sx,y'-；--：Sy：,,x：=0故：3x,y；=0,对Vx,yeX,可见Sx=。，即S是零算子.于是T=T*-反之，若T=T*,则那么Tx,x：是实数.（2）由性质（1）之证,由于（研+"）x,x）=a（Tx,x）+BTx,4是实数，所以吗+附2是自共轭算子.（3）首先设7=T2T1,那么由共轭算子的性质知即T1T2自共轭，反之注：从定理4.13的性质（2）可以看出，自共轭算子组成L（x,X）的一个实线性子空间,而且从下面的定理近一步得知,这个子空间在算子的一致收敛和强收敛下均是闭子空间.【定理4.14】设TJ是一列自共轭算子，TeL（X,X）.若对每个xeX,有TxfTx,则T是自共轭算子.证明：对Vx,yeX,由TxfTx及内积的连续性得故 T=T*【推论4.3］设Tn｝是一列自共轭算子，TeL（X,X）,且Tn-T||f0,则T也是共轭的.证明：由算子的一致收敛可推出算子的强收敛,再由定理4.14可证得此推论成立.【定理4.15】自共轭算子的每个谱点都是实数.证明：设X=a+汨*0),来证心pT),则QI-T卜eL(X,X).对每个xeX,Tx,x是实数，于是可见算子S二九I-T是一一对一的，下面证S的值域S(X)是闭的.设jeS(x)j.j,于是有j=Sx=QI-T)x,xeX.由式(*)得因此&}是Cauchy列，而X完备，故存在xeX，使x“.x.根据S的连续性，有y二limSx二Sx,即yeS(x).这样由投影定理nMf8X=S(x)©S(X，得知，为证S(X)=X，仅需证S(x)」4}.若否则,设yeS(X，，但jw°•因为QI-TbeS(X),那么0 0 0亦即T0,jJ二九I|j0『.注意到T是自共轭算子，等式左边是实数，而等式右边是复数，矛盾.故S(x)=X,这说明S是X上一对一满设.因此由Banach逆算子定理S-i=QI-T卜eL(x,X),即九epT).从定理4.15可见自共轭算子的谱集是实数轴上的一个有界闭集，下面的定理4.16进一步说明谱集的范围.【定理4.161对自共轭算子T,令则：(1)T=maxjm|,|M|}；oT)ulm,M］且m,MeoT).证明：记A=max(|,|M|},对||x|=1,有g,x)|<||t||,于是-T|<m<M<『|I，即A<T\k另一方面，对任何a>0可直接验证下面等式成立:于是得设Xwe特别取a2二四,则MT琲<八网I」XII,即||T#邨II故Tl|<A,因此ITI|=A.仿定理4.15之证，得上pT).同理，若…M可得0pT).这样0t)um,m]下面来证M*T)(类似可证，mrT)).注意到得m-t\|=m—m可取列％｝使得帆=1,且/](mI-T)x,x\fm-M.又故MI-T不存在有界线性逆算子，若否则，则由得出矛盾.就一般而言，自共轭算子未必有特征值，但当算子是紧自共轭时，特征值一定存在.【定理4.17】设T是紧自共轭算子，那么T有特征值.证明：如果T是零算子，则结论显然.现设Twe(零算子).不失一般性，设M|〉|m|,则T=|M|,由M,m之界说，此时M〉0.取xneX且||x」|=1,使Txn,x「Mt||T||.因T是紧算子，那么Txn｝有收敛子序列.设Txfy，因为k则 xtJ-Tx-4x-Mx)f—ynkMnk nk nk M0所以Tf-Ly°、jtlimTxyy,即Ty=My.因||x|=1,则ywe,所fM°/kfsnk0 0 0 11噌 0以M是T的特征值.结合第3章关于紧算子的Riesz.Schauder理论，如果T是自共轭算子，那么t的谱集将十分简单，即存在一组互不相同的非零实数&.｝（有穷或可列），每个人是T的特征值，使oT）=h〜,九2,卜记p.=dimNQI-T）,即p为算子T对应特征值入的特征子空间的维数，｛,卜为该子空间的规范正交基，则若i jj=1xeX可以展成则Tx=EEPp:：x,eiei.ij=11在R2fR2中举例说明线性算子T满足T2=T，但T不是自共轭算子.2设T是Hilbert空间X上的自共轭算子，证明：对任何偶自然数n都有；Tnx,x：>0（xeX）.3设X=C2（二维酉空间），x=1,t2）eX界说算子T:XfX为Tx=«+it2,t1-it2）求T*,并证明T*T=TT*=21.4设x是Hilbert空间，称TeL（X,X）为正规算子，是指T*T=TT*.证明：如果T是自共轭算子，贝Ut是正规算子，请举例说明T是正规算子，但T却不是自共轭算子.5设X是Hilbert空间，TeL（X,X），证明：T为正规算子的充要条件是存在两个自共轭算子A,B且AB=BA，使T=A+iB-6设T是Hilbert空间X上一列正规算子，TeL（X,X）,若^^一T||f0（nfs）,证明：t为正规算子.7若T是Hilbert空间X上一个正规算子，证明：『21卜|琲.4.6投影算子正算子和酉算子利用投影定理我们引进投影算子的概念,投影算子也是一类非常重要的自共轭算子.【界说4.10】设m是Hilbert空间X的一个给定的闭子空间，则对V%€X,由投影定理，存在惟一的垂直分解％二u+V，其中u€M,V€M「界说算子P:X-M为P%=uG€X）,并称P为由X到M上的投影算子.注：根据投影算子的界说，对每个投影算子p,惟一对应一个闭子空间M，使P：X-M,为清楚起见，有时记P为PM.【定理4.18】（1）投影算子P是有界线性算子.（2）那时m―心},p=1.（3）P%=0O%€M1;P%=%O%€M.（4）P2=P即P是幂等算子.证明：对任意仆匕及任意元素%1,%2€X,有由于M,M1都是线性子空间，那么故九％十九％=（kp%+xp%）+6v+xv）.因止匕p6%+九％）=xp%+xp%即P是线性算子.另一方面，由||%||2=||P%||2+||u|氏=P%+u,P%1u）,得||P%IWI%],即帆区1,说明P是有界的.因M-},取%0€M,%产0,由P的界说有P%0=%」于是|%0||=P%0II等价于因此,因=sup||Px||>1,得P=1.\xL定理4.18之性质（3），性质（4）由P的界说显然成立.】p为投影算子的充要条件是：（1）p是自共轭算子；（2）P是幂等，即P2二P.证明：设p是投影算子，则条件（2）自然成立，仅需证明p是自共轭算子，对任意x,yeX,记于是故Px,y'.=:x,Py:,因此P-P*.反之，设条件（1）,设条件（2）成立，来证明p是某一闭子空间M上的投影算子.记M-PG）（算子P的值域），显然M是X的子空间.我们来证M是闭的.设yeM,yfy0,取xeX使Px-y,根据条件（2）P2xn-Pxn=Pyn=yn,再由P的连续性，得Py。-y。.故y0eM.对VxeX,来证x-PxeML事实上由条件（1）和条件（2）,对任何v-PyeM,有可见x—PxeML特别x—Px±Px且x-Px+（x—Px）,即P是XfM的投影算子.读者利用定理4.19很容易证明投影算子的如下性质：（1）设p：XfMjP2:XfM2是两个投影算子，则P-p+P2为投影算子的充要条件是M11M2,此时P是XfM1㊉M2的投影算子.（2）设P「XfM1，P2：XfM2是两个投影算子，则PP为投影算子的充要条件是P1P2=P2P1,此时P是X-M1nM2的投影算子.现在引进另一类特殊的自共轭算子正算子.【界说4.11】设X是Hilbert空间，T是X上自共轭算子，若对VxeX,有内,X>0.则称T为正算子.记为T>9.注：（1）通过正算子的概念,我们可对自共轭算子类引进一种序，设TjT2是自共轭算子，若T1-T2>9,则记（>T2（注意T」T2不用是正算子）.（2）对X上的任何有界线性算子T,TT*及T*T都是正算子，这是因为T*Tx,X=；Tx,Tx：>0,；TT*x,x'；=-T*x,T*x-：>0（3）若T1,T2是正算子，兀N是两个非负实数，则XT+巴也是正算子.（4）若T是正算子，则成立广义Schwarz不等式即证明可拜会Schwarz不等式的证明过程，利用TQ+Xy）x+Xy：：>0展开,把他留作习题.【定理4.20】设T为自共轭算子，若T产T+1（n=1,2,…），且有常数M>0，使sup|^||<M,则存在自共轭算子ri满足TJ强收敛n于T,即xeX,有证明：对每个x来证数列｛Tx,x）l收敛，事实上，对m>n,有且lTnx,x|<Tnx||.||x||<MIM2所以｛Tx,xj是单调上升的有界数列，于是lim：Tx,x）存在.nf8接下来证明Tx｝是X中Cauchy歹U.畴前面注中的关于正算

子的广义Schwarz不等式应用于Tm—T”(m>n)得因此