2022北京星城中学高二数学理联考试题含解析

2022北京星城中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的10.排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱不排两头，且任何两个合唱不相邻，则这种事件发生的概率是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略2.以下通项公式中，不可能是数列3,5，9，…的通项公式的是（）参考答案：D3.已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（

）．A．

B．

C．

D．无法确定的参考答案：B4.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则的值为

A．

B.

C.

D．

参考答案：C略5.已知圆，定点，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，，（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得Q为PN的中点且GQ⊥PN，|GN|+|GM|=|MP|=8，从而得到G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=，由此能求出点G的轨迹方程．【解答】解：∵圆，定点，点P为圆M上的动点，∴M（﹣，0），PM=8，∵点Q在NP上，，=0，∴Q为PN的中点且GQ⊥PN，∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=8，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=，∴短半轴长b==3，∴点G的轨迹方程是=1．故选：A．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义和性质的合理运用．6.点A，F分别是椭圆C：+=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：如图，由椭圆C：+=1，得a2=16，b2=12，∴，|PF|=，|AF|=a+c=6，∴△AFP的面积为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于100，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=0满足条，0≤k，S=3，n=1满足条件1≤k，S=7，n=2满足条件2≤k，S=13，n=3满足条件3≤k，S=23，n=4满足条件4≤k，S=41，n=5满足条件5≤k，S=75，n=6满足条件6≤k，S=141，n=7…若使输出的结果S不大于100，则输入的整数k不满足条件6≤k，即5≤k＜6，则输入的整数k的最大值为5．故选：B．8.如图所示的程序框图输出的表示的样本的数字特征是（

）A．标准差

B．方差C．平均数

D．中位数参考答案：C略9.设等比数列前项和为，若，则＝（

）A.－

B.

C.

D.参考答案：C试题分析：设等比数列的公比为，则，所以，故选C．考点：等比数列．10.直线x﹣y﹣1=0不通过(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】直线与圆．【分析】把直线的方程化为斜截式，可得直线的倾斜角为90°，在y轴上的截距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0即y=x﹣1，它的斜率等于1，倾斜角为90°，在y轴上的截距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选B．【点评】本题主要考查直线的斜截式方程，确定直线位置的几何要素，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点M(2，2)，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为

．参考答案：2或6【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】分类讨论，利用|PF|+|PM|的最小值为5，求出p的值．【解答】解：M在抛物线的内部时，∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到到准线的距离l=2+=5，解得p=6，M在抛物线的外部时，|MF|=5，=5，∴p=2综上所述，p=2或6．故答案为：2或6．【点评】本题考查抛物线的方程与定义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．12.若曲线y=x2+ax+b在点处的切线方程是，则=____▲____.参考答案：2略13.已知△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，，且△ABC的周长为15，则c=________；若△ABC的面积等于，则cosC=________．参考答案：5

【分析】先由正弦定理，得到；求出；再由题意得到，根据余弦定理，即可求出结果.【详解】由得，又△ABC的周长为，即，所以；若△ABC的面积等于，则，所以，由余弦定理可得.故答案为5,【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.14.若实数满足，则的最小值为____.参考答案：415.

。参考答案：16.已知集合，函数的定义域为。(1)求集合.（2）求。

参考答案：（1）由题由解得，即（2）所以．略17.矩阵的特征值为______________．参考答案：－3，8。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．分别求出平面A1CD的法向量和平面A1CE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF．因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）解：由AC=CB=AB，得AC⊥BC．以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．设CA=2，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），=（1，1，0），=（0，2，1），=（2，0，2）．设=（x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量，则，取x1=1，得=（1，﹣1，﹣1）．同理，设=（x2，y2，z2）是平面A1CE的法向量，则，取x2=2，得=（2，1，﹣2）．从而cos＜，＞==，故sin＜，＞=．即二面角D﹣A1C﹣E的正弦值为．【点评】本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．19.已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．（1）求a的取值范围；（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．

参考答案：略20.已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．参考答案：解：若方程x2＋mx＋1＝0有两不等的负根，则解得m＞2，即p：m＞2

............3分若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.

...........6分因p或q为真，所以p，q至少有一为真，又p且q为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．

...........8分∴或

...........10分解得m≥3或1＜m≤2.

...............12分略21.已知复数.(1)若，求；(2)取什么值时，是纯虚数.参考答案：(1)，解得，所以.(2)，解得，所以.22.