2021-2022学年江苏省扬州市李典中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年江苏省扬州市李典中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为

（

） A．

B． C．

D．参考答案：A2.已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值是（）A． B． C．1 D．参考答案：A【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可．【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图，N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=﹣2x+3与2x+y﹣4=0之间的距离：d==．故选：A【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．3.已知变量满足约束条件,则的最大值(

)A．9 B．8 C．7 D．6参考答案：B4.已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D5.数列的首项为，为等差数列且.若，，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B考点：累加法求数列通项6.cos2xdx=（）A．B．1C．2D．参考答案：A考点：定积分．专题：计算题．分析：由于cos2x的一个原函数为sin2x故根据牛顿﹣莱布尼茨公式即可求解．解答：解：cos2xdx=sin2x=（sin﹣sin0）=．故选A．点评：本题主要考查了定积分的计算．解题的关键是要能求出被积函数的一个原函数然后再根据牛顿﹣莱布尼茨公式求解．7.设向量，，若向量与同向，则（

）A．0

B．-2

C．±2

D．2参考答案：D8.求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】定积分的简单应用．【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．【解答】解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选：B．9.设集合，，则（

）A．{(－1,1),(1,1)} B． C．[0,2] D．参考答案：B∵集合∴集合∵集合∴集合∴故选B.

10.若，且x为第四象限的角，则tanx的值等于A、B、－C、D、－参考答案：D∵x为第四象限的角，，于是，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的方程为，直线与交于两点，当取最大值时__________，面积最大时，__________．参考答案：2

1或712.复数的虚部是

.参考答案：113.已知是虚数单位，使为实数的最小正整数为

参考答案：414.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为

．参考答案：15.在中，若B=2A，，A=

。参考答案：16.（5分）（2009?辽宁）若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=．参考答案：3【考点】：利用导数研究函数的极值．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．解：f′（x）==．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3【点评】：考查学生利用导数研究函数极值的能力．17.函数的导数为_

_______。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=（e为自然对数的底），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+b．（Ⅰ）求a、b的值，并求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x≥0，求证：f（x）＞．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；证明题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，由题意令，从而解得a=2；从而再求得，由导数确定函数的单调区间；（Ⅱ）所证不等式等价于，又由，可先证，从而证明不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）因为，而，所以，解得a=2；所以，因此，由知，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，当x＜﹣1且x≠﹣2时，f′（x）＜0；故f（x）的单调增区间是（﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣2）和（﹣2，﹣1），（Ⅱ）证明：所证不等式等价于，因为，先证，记，g′（x）=ex﹣2x﹣2，记u（x）=ex﹣2x﹣2，则u′（x）=ex﹣2，由此可知，u（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增；因为u（1）?u（2）＜0，u（﹣1）?u（0）＜0，故g′（x）=0在（0，+∞）只有一个零点x1（1＜x1＜2），且，所以g（x）在（0，x1）递减，在（x1，+∞）递增，所以当x≥0时，，即，又，所以，即，故．【点评】本题考查了导数的综合应用及放缩法证明不等式的应用，属于难题．19.（本小题满分14分）已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．求椭圆的标准方程；求以（为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值．参考答案：（1）；（2）；（3）.

从而先设出圆的方程，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，再构造三角形解出t，即得到了圆的方程；第三问，可以利用直线的参数方程，利用两点间距离公式证明等于定值，也可以利用向量法证明.由①②③解得，．所以椭圆的方程为．…………4分（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为．………………5分因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离．…7分所以，即，故，或，（3）方法一：过点作的垂线，垂足设为．直线的方程为，直线的方程为．由，解得，故．……11分；．……………………12分又.．所以线段的长为定值．…………14分．为定值．………14分考点：椭圆的标准方程、圆的标准方程、点到直线的距离、参数方程、向量垂直的充要条件.20.已知函数，分别由下表给出12—112110—120—2

（1）求的值。（2）当时，求的值。（3）请判断函数，的奇偶性并证明。w参考答案：解析：1）=

----------┈3分2）∵

∴=2

∴

┈6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3）为奇函数，为非奇非偶函数

------------8分∵的定义域为，关于原点中心对称且

∴为奇函数

----------11分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∵的定义域为，不关于原点中心对称∴为非奇非偶函数

------------14分

21.已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*有Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列；（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知bn=n（n∈N+），记，若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．参考答案：【考点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比，利用对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差得2S3=S1+S2，代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an和已知bn=n代入整理，然后利用错位相减法求Tn，把Tn代入（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）后分离变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，∵对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差，∴2．整理得：．∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q．∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=．又，把q=代入后可得．所以，；（Ⅱ）∵bn=n，，∴，∴．．∴=∴．若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）?2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立，也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）?（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立，∴m≥对于n≥2恒成立，令，∵=∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．∴m．所以，（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小