高中数学人教A版第四章圆和方程 课时提升作业(二十五)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十五)圆的一般方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点,则过M的最长的弦所在的直线方程是()+y-3=0 =0=0 +y-6=0【解析】选B.由题意,过M(3,0)的最长的弦所在的直线为直径.x2+y2-8x-2y+10=0的圆心为(4,1),所以所求直线斜率为1-02.(2023·西宁高一检测)已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是()+1=0 +y+1=0=0 +y-1=0【解析】选B.把x2+y2-2x+6y+8=0配方得(x-1)2+(y+3)2=2,圆心为(1,-3),直线2x+y+1=0过圆心.【补偿训练】将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()+y-1=0 +y+3=0+1=0 +3=0【解析】选C.因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.3.(2023·张掖高一检测)若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点,则()=0,E=0,F≠0=0,D≠0,E≠0=0,F=0,E≠0=0,F=0,D≠0【解析】选C.由于(0,0)在圆上,代入圆的方程可得F=0;因为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点,所以圆心的横坐标为0,即-D2=0,所以D=0;由D2+E2-4F>0,可得E24.已知圆C过点M(1,1),N(5,1),且圆心在直线y=x-2上,则圆C的方程为()+y2-6x-2y+6=0+y2+6x-2y+6=0+y2+6x+2y+6=0+y2-2x-6y+6=0【解析】选A.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D由题设可得-解得D=-6,E=-2,F=6,所以圆的方程为x25.(2023·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213 C.253【解析】选B.圆心在直线BC的垂直平分线即x=1上,设圆心D(1,b),由DA=DB得|b|=1+(b-3)所以圆心到原点的距离为d=12+2二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2023·延安高一检测)圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3,则m的值为.【解析】由x2+y2+2x-4y+m=0可得(x+1)2+(y-2)2=5-m,所以r=5-m=32,所以m=答案:117.(2023·大理高一检测)在△ABC中,若顶点B,C的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD的长度是3,则点A的轨迹方程是.【解析】中点D(0,0),由于|AD|为定长3,所以A点在以D为圆心,3为半径的圆上,而A,B,C不共线,即点A的纵坐标不能为0,故圆的方程为x2+y2=9(y≠0).答案:x2+y2=9(y≠0)【补偿训练】当动点P在圆x2+y2=2上运动时,它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为.【解析】设Q(x,y),P(a,b),由中点坐标公式x=a+3点P(2x-3,2y-1)满足圆x2+y2=2的方程,所以(2x-3)2+(2y-1)2=2,化简得x-322+答案:x-3228.△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,0),B(3,0),C(3,4),则该三角形外接圆方程是.【解析】易知弦AB中垂线方程为x=2,弦BC中垂线方程为y=2.两中垂线交点(2,2)即为圆心,半径r=(2-1)2+(2-0)2=答案:(x-2)2+(y-2)2=5三、解答题(每小题10分,共20分)9.求经过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的一般方程.【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C三点的坐标代入方程,整理可得D-E+F=-2,D+4E+F=-17,故所求的圆的一般方程为x2+y2-7x-3y+2=0.【延伸探究】本题中若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,又如何求a的值?【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C三点的坐标代入方程,整理可得D-E+F=-2,D+4E+F=-17,4D-2E+F=-20,解得QUOTED=-7,E=-3,故所求的圆的一般方程为x2+y2-7x-3y+2=0.又因为点M(a,2)在所求的圆上,故a2-7a=0,解得a=0或a=7.10.(2023·泸州高一检测)已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹方程.【解题指南】设动点P的坐标为(x,y),根据题意可知AP⊥OP,利用两直线的斜率的关系建立等式,求出中点P的轨迹方程.【解析】设动点P的坐标为(x,y),根据题意可知AP⊥OP,当AP垂直于x轴时,P的坐标为(1,0),当x=0时,y=0,或y=2,当x≠1且x≠0时,kAP·kOP=-1.因为kAP=y-2x-1,kOP=yx,所以y-2x-1×y综上所述,P点的轨迹是以12,1为圆心,以52为半径的圆,其轨迹方程为x-1【补偿训练】点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程.(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.【解析】(1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A,B,则以AB为直径的圆的方程为()+y2+4x-3y=0+y2-4x-3y=0+y2+4x-3y-4=0+y2-4x-3y+8=0【解析】选A.设A(-4,0),B(0,3),AB=5,线段AB的中点的坐标为-2,32,所以以AB为直径的圆的圆心为-2,32,半径为2.(2023·大同高一检测)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是()A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2=2x =-2x【解题指南】由于切线长、半径和点P到圆心的距离构成直角三角形,故可利用勾股定理求解.【解析】选B.由题意知,圆心(1,0)到P点的距离为2,所以点P在以(1,0)为圆心,以2为半径的圆上,所以点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.【补偿训练】若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等,则圆心M的轨迹方程是()=0 +y=0+y2=0 =0【解析】选D.由题意,圆心M到x轴与y轴上的距离相等,所以|x|=|y|,即x2-y2=0.【误区警示】此题由截得的弦长总相等,可得圆心M到x轴与y轴上的距离相等,易出现x=y的错误认识,从而错选A.二、填空题(每小题5分,共10分)3.由方程x2+y2+x+(m-1)y+12m2=0所确定的圆中,最大面积是【解析】所给圆的半径长为r=1+(m-1)2-2m22答案:34.(2023·郑州高一检测)已知圆C:x2+y2-2ax+2ay+2a2+2a-1=0与直线l:x-y-1=0有公共点,则a的取值范围为.【解析】圆C:x2+y2-2ax+2ay+2a2+2a-1=0的圆心坐标为(a,-a),半径r=1-2a若圆C:x2+y2-2ax+2ay+2a2+2a-1=0与直线l:x-y-1=0有公共点,则1解得a∈-1答案:-【补偿训练】(2023·太原高一检测)已知圆x2+y2-mx+y=0始终被直线y=x+1平分,则m的值为() 【解析】选C.圆心m2,-12在直线y=x+1上,所以-三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2023·玉林高一检测)在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求:(1)实数b的取值范围.(2)圆C的方程.【解析】(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b);令f(x)=x2+2x+b=0,由题意b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0得x2+Dx+F=0.这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b,令x=0得y2+Ey+F=0,此方程有一个根为b,代入得出E=-b-1,所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.6.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,及点Q(-2,3).(1)P(a,a+1)在圆上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率.(2)若M为圆C上任一点,求|MQ|的最大值和最小值.【解析】(1)因为点P(a,a+1)在圆上,所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,P点坐标为(4,5),所以|PQ|=(4+2)2kPQ=3-5-2-4=