常微分方程的差分方法

常微分方程的差分方法第一页，共三十四页，2022年，8月28日第三章常微分方程的差分方法1．教学内容：

Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯形公式，预测校正公式与改进Euler公式。2．重点难点：

Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式3．教学目标：

了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解第二页，共三十四页，2022年，8月28日科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：（1）（2）本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。初值问题（1）、（2）局部解的唯一存在条件：若连续且满足Lipschitz条件，即存在常数L，对一切有第三页，共三十四页，2022年，8月28日差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻求离散节点上的近似解，相邻节点间距称为步长。初值问题的各种差分方法都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出从已知信息计算的递推公式，这类计算格式统称为差分格式。微分方程初值问题（1）、（2）的数值解法，就是求它的解y(x)在一系列节点上的近似值，用。称为步长，一般总取h为常数。第四页，共三十四页，2022年，8月28日3、1欧拉方法1、欧拉格式

微分方程的本质特征是方程中含有导数项，这也是它难于求解的症结所在。数值解法的第一步就是设法消除其导数项，这项手续称为离散化。实现离散化的基本途径就用差商代替导数。譬如，若在点处列出方程并用差商代替，结果有

第五页，共三十四页，2022年，8月28日设用的近似值代入上式右端，记所求结果为，这样导出的计算公式（3）已先期算出已知节点步长这就是众所周知的欧拉（Euler）格式，若初值是已知的，则依据上式即可逐步算出数值解第六页，共三十四页，2022年，8月28日yx0仿此不断地作下去……欧拉方法的几何解释Y1第七页，共三十四页，2022年，8月28日例1求解初值问题（其解析解为）解：设步长h=0.1，由欧拉公式（3）有：所以，……第八页，共三十四页，2022年，8月28日计算结果表xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.10001.09450.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321第九页，共三十四页，2022年，8月28日解析解数值解第十页，共三十四页，2022年，8月28日

为简化分析，人们常假设在第n步求得的为准确即的前提下估计误差

这种误差称为局部截断误差。误差估计为：y(xn+1)-[y(xn)+hf（xn,y(xn)）]

如果不作这一假定，累积了n步的误差，称为整体截断误差。其表达式为y(xn+1)-yn+1=y(xn+1)-［yn+hf(xn,yn)］第十一页，共三十四页，2022年，8月28日如果一种数值方法的局部截断误差为

则称它的的精度是p阶的，或称之为p阶方法。对于欧拉格式（3），假定则有：第十二页，共三十四页，2022年，8月28日由此我们可知欧拉格式仅为一阶方法。将在点泰勒展开：因此有：

虽然欧拉公式（3）的精确度很差，但却体现了数值方法的基本思想。第十三页，共三十四页，2022年，8月28日2、隐式欧拉格式设改用向后差商替代方程中的导数项再离散化，即可导出下列格式（5）该格式右端含有未知的它实际上是个关于的函数方程。故称该格式为隐式欧拉格式。由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隐式欧拉格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。但计算远比显式格式困难得多。第十四页，共三十四页，2022年，8月28日3、两步欧拉格式设改用中心差商替代方程中的导数项，再离散化，即可导出下列格式

设用的近似值，的近似值代入上式右端，记所求结果为，这样导出的计算公式（6）第十五页，共三十四页，2022年，8月28日无论是显式欧拉格式还是隐式欧拉格式，它们都是单步法，其特点是计算时只用到前一步的信息，而该格式却调用了前面两步的信息，两步欧拉格式因此而得名。

两步欧拉格式具有更高的精度，可以验证它是二阶方法。事实上，由泰勒展开式知所以：第十六页，共三十四页，2022年，8月28日故有：假设则：故两步欧拉格式是二阶方法。第十七页，共三十四页，2022年，8月28日3、2改进的欧拉方法为了改进欧拉方法的精度，我们将微分方程（1）两边从x0到x对x积分，于是得到与初值问题（1）、（2）等价的积分方程因此，求解y(x)就转化为计算上式右端的积分。1、梯形格式第十八页，共三十四页，2022年，8月28日一般地有：（7）为了求得的近似值，只要用数值积分方法求出积分的近似值就可以了，而选用不同的积分方法，便导出不同的差分格式。例如用矩形公式计算，得代入（7）式得第十九页，共三十四页，2022年，8月28日若用分别近似代替则得计算公式此式正是欧拉格式为了提高精度，改用梯形公式计算积分，即代入（7）式得第二十页，共三十四页，2022年，8月28日用分别近似代替则得计算公式（8）与梯形求积公式相呼应的这一差分格式称为梯形格式。它实际上是显式欧拉格式与隐式欧拉格式的算术平均。第二十一页，共三十四页，2022年，8月28日例：用梯形法求解

解析解解：设步长h=0.1，由梯形格式（8）有：得：整理得：所以：第二十二页，共三十四页，2022年，8月28日第二十三页，共三十四页，2022年，8月28日2、改进的欧拉格式欧拉方法（3）是一种显式算法，计算量小，但精度低；梯形方法（8）虽然提高了精度，但它是一种隐式算法，必须通过解方程或者迭代过程求解，计算量大。我们综合这两种方法，先用欧拉法求得一个初步的近似值，记为，称之为预报值，然后用它替代梯形法右端的再直接计算，得到校正值。这样建立的预报－校正系统称为改进的欧拉格式：预报校正（9）第二十四页，共三十四页，2022年，8月28日把预报代入校正中，便可表为或表为下列平均化形式：可以验证改进的欧拉格式与梯形格式具有同等的精度，但梯形格式是隐式的，而改进的欧拉格式却是显式的，便于计算。（10）第二十五页，共三十四页，2022年，8月28日例2用改进的欧拉格式求解初值问题（其解析解为）解：设步长h=0.1，由改进的欧拉格式（10）有：第二十六页，共三十四页，2022年，8月28日n=0时n=1时第二十七页，共三十四页，2022年，8月28日计算结果表xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.09591.09450.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61651.61250.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.7321改进的欧拉格式明显地改善了精度第二十八页，共三十四页，2022年，8月28日解析解欧拉格式改进的欧拉