第五章力学量随时间的演化与对称性

第五章力学量随时间的演化与对称性5.1対易力学量完全集一、力学量完全集合1、定义：为完全确定状态所需要的一组相互对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。设有一组彼此对易，且函数独立的厄米算符Â(Â1,Â2,...)，它们的共同本征函数记为k（假定Â的本征值是分立的），k是一组量子数的笼统记号。设给定k之后就能够确定体系的一个可能状态，则称(Â1,Â2,...)构成体系的一组力学量完全集。按照态叠加原理，体系的任何一个状态均可以用k

来展开，即=∑ak

k若k是归一化的，则（，）=∑|ak|²=1，式中|ak|²代表在态下测量A的概率。对于Â连续谱的情况，本征值为λ连续取值，本征函数为(λ),则=∫cλ(λ)dλ例1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：任何一个函数都可以按动量的本征函数展开：例2：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：2、力学量完全集中力学量的个数并不一定等于自由度的数目。一般说来，力学量完全集中力学量的个数大于或等于体系的自由度数目。3、体系的任何态总可以用包含Ĥ在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开。5.2力学量随时间的变化5.2.1守恒量1.力学量的平均值随时间的变化关系力学量A在(r,t)中的平均值为:因为是时间的函数Â也可能显含时间，所以Ā通常是时间t的函数。为了求出Ā随时间的变化，上式两边对t求导

(5-4)

(5-3)由薛定谔方程，

(5-5)

(5-6)这就是力学量平均值随时间变化的公式。若Â不显含t，即，则有如果Â既不显含时间，又与Ĥ对易（[Â,Ĥ]=0），则由上式有

即这种力学量在任何态之下的平均值都不随时间改变。可以证明：在任意态下A的概率分布也不随时间改变。概括起来讲，对于Hamilton量Ĥ不含时的量子体系，如果力学量A与Ĥ对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量。即A的平均值不随时间改变，我们称力学量A为运动恒量或守恒量。守恒量有两个特点：(1).在任何态(t)之下的平均值都不随时间改变；(2).在任意态(t)下A的概率分布不随时间改变。举例1、自由粒子动量守恒，自由粒子的哈密顿算符，所以自由粒子的动量是守恒量。2、粒子在中心力场中运动：角动量守恒皆不显含时间，，又，所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量都是守恒量。

，，3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒5.2.2量子力学中的守恒量与经典力学中守恒量的区别1.守恒量不一定取确定值。与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初条件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量A具有确定值，则以后任何时刻它都具有确定值，即体系将保持在Â的同一个本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是，若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即(0)并非Â的本征态，则以后的状态也不是Â的本征态，即A也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不随时间改变。2.量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，l的三个分量都守性，但由于不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l=0的态除外）3.守恒量与定态的异同1）概念不一样。定态是能量取确定值的状态；守恒量是特殊的力学量，要满足一定的条件。2）性质不一样。在定态下，一切不含时间的力学量，不管是不是守恒量，其平均值，测量值概率分布都不随时间改变。守恒量对一切状态，不管是否定态，其平均值，测量值概率分布都不随时间改变。5.2.3能级简并与守恒量的关系——守恒量在能量本征值问题中的应用1.定理：如果体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即，则体系的能级一般是简并的。证明：因为，和可有共同的本征态ψ，所以

(5-15)又因为所以有

(5-16)即也是的属于同一本征值E的本征态。但由于,ψ与一般不是同一本征态。因为

(5-17)即不是的本征态，但ψ是的本征态，故ψ与是不同的量子态。但它们是的同一能级的态，故能级简并。还可以证明：此时至少有些能级是简并的。证明（用反证法）：设所以同理，由于故也是的属于同一本征值En的本征态，即设体系的能级En不简并，则、与为同一量子态，即式中Fn,Gn为常数。于是有即也是的属于同一本征值En的本征态，设ψ为体系的任意量子态，按态叠加原理得又设所有能级都不简并，则由于设ψ任意量子态，则，即対易，与题设矛盾。所以不可能所有能级都简并，即至少有些能级是简并的。2.推论：若体系有一个守恒量，而体系的某个能级不简并（即相应的能级E只有一个本征态ψE），则ψE必为的本征态，即非简并本征态必为某一个守恒量的本征态。证明：因为为体系有一个守恒量，则可见，均为的属于同一本征值E的本征态。但能级E并不简并，所以，即ψE必为的本征态。3.宇称：.宇称算符（空间反演算符）：作用在一个函数上，使的运算符号。即容易证明：,所以能量的本征态必为的本征态。设，做空间反演所以的本征值为，P=1时，称为偶宇称；P=-1时，称为奇宇称。5.3守恒量与对称性的关系物理学中存在两类不同性质的对称性，一类是某个系统或某件具体事物的对称性，常见的有转动对称、镜像对称、时间对称、控件对称、点对称、轴对称等；另一类是物理规律的对称性。物体的运动规律对于时间平移、空间平移具有不变性。物理学家认为，某规律在某种变换之后，若仍能保持不变，就称为具有对称性，而这种变换称为一种对称变换。5.3.1对称性与守恒量设体系的状态用ψ描述，则薛定谔方程为

（5-30）作某种线性变换,其中不依赖于时间，存在逆变换，如果，即系统的哈密顿量在变换下保持不变，那么有

（5-31）由概率守恒条件，即

（5-31）得即为幺正算符。对于连续变换，考虑无穷小变换，令，则（5-33）即要求,则是厄米算符，一般称为变换的无穷小生成元。它可以用来定义一个与变换相联系的可观测量。由于，得，即，观测量就是体系的一个守恒量。5.3.2时空对称性及其应用1.时间平移对称和能量守恒定律当所研究的体系的哈密顿量与时间无关时，在无穷小时间平移变换下，根据体系的状态波函数，在时间平移变换下的变化规律。可以导出时间平移算符。由

（5-34）式中（5-35）利用泰勒级数展开，得

（5-36）这里的，由于，则是体系的一个守恒量。实际上在时间平移变换下，体系的能量守恒。上面讨论了体系作无穷小的时间平移变换，对于有限的小的时间平阴变换，即

（5-37）2.空间平移对称性和动量守恒定律自由运动的哈密顿量为

（5-38）显然做空间平移变换时，哈密顿量不会改变，考虑坐标系沿x方向作无穷小平移变换，即

（5-39）从状态波函数在空间平移变换下的变化规律，可导出空间平移算符。

（5-40）空间平移算符为（5-41）这里，由于，是体系的一个守恒量。实际上在空间平移变换下，体系的动量守恒。

对有限大小的空间平移可以认为通过连续作无限多次无穷小平移而得到，即

（5-42）如果体系沿空间任意方向作平移，其空间平移算符为

（5-43）对于自由粒子，其哈密顿量其哈密顿量沿空间任意方向作平移均保持不变，所以空间平移不变性导致动量守恒。3.空间转动对称性和角动量守恒定律无论是自由粒子，还是在中心力场中的哈密顿量在空间转动变换下都保持不变。考虑绕z轴转动dθ,转动后的坐标为因为dθ→0，所以从在空间转动变换下的变化规律，可导出空间转动算符（5-44）空间转动算符为（5-45）这里，由于，是体系的一个守恒量。实际上在空间平移变换下，体系的角动量守恒。对有限大小的空间转动可以认为通过连续作无限多次无穷小转动而得到，即

（5-46）绕任意轴转θ角的转动算符为

（5-47）5.4全同性原理1.全同粒子1)定义：在量子力学中，人们把固有性质如电何、质量、磁矩、自旋等内禀属性完全相同的粒子，称为全同粒子。2)全同粒子特点：全同粒子在本质上是不可区分的。3）全同性原理在全同粒子体系中，两全同粒子相互代换，不引起体系状态的改变。a.全同粒子体系的哈密顿算符具有交换不变性。由N个全同粒子组成的体系，第i个粒子的坐标和自旋用表示，体系的哈密顿算符为将i和j对换，体系的哈密顿算符保持不变。即体系的薛定谔方程为：

（5-49）（5-48）

b.交换算符Pij。交换算符Pij表示第i个粒子和第j个粒子相互代换的运算。即（5-50）式中ψ是任意波函数，哈密顿量具有交换不变性。得（5-51）Pij与H対易，Pij不显含时间，Pij是守恒量，并且与H有共同的本征函数，交换后的波函数，与交换前的波函数只能相差一个常数，因此

（5-52）

（5-53）

因此，可见，全同粒子波函数满足下列条件之一c全同粒子体系波函数的对称性不随时间变化。结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。——波函数的特性。2.全同粒子的分类全同粒子的分为：Fermi（费密子）子和Bose（玻色）子（1）Bose子凡自旋为ħ整数倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose子。如光子（自旋为1），处于基态的氦原子（自旋为零），

粒子（自旋为0）；由玻色子组成的全同粒子体系的波函数是对称的。如：g光子（s=1）；介子（s=0）。（2）Fermi子凡自旋为ħ半奇数倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是反对称的，遵从费米-狄拉克统计，故称为Fermi子。如电子、质子、中子~；由费密子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的。例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。5.4.2全同粒子组成的体系波函数的构造1.两个全同粒子组成的体系两个全同粒子体系对称和反对称波函数的构成(1)、两个全同粒子（忽略它们的相互作用）Hamilton量表示为

(5-55)

h(q)表示单粒子的Hamilton量。h(q1)与h(q2)形式上完全相同，只不过q1q2互换而已。显然

(2)、单粒子波函数

h(q)的本征方程为

（5-56）k为单粒子能量，k(q)

为相应的归一化单粒子波函数，k代表一组完备的量子数。(3)、交换简并设两个粒子中有一个处于k1态，另一个处于k2态，则k1(q1)k2(q2)与k1(q2)k2(q1)对应的能量都是k1+k2。这种与交换相联系的简并，称为交换简并。但这两个波函数还不一定具有交换对称性。(4)、满足对称条件波函数的构成对于Bose子，要求波函数对于交换是对称的。这里要分两种情况：(a)，归一化的对称波函数可如下构成：

(5-57)(b)，归一化波函数为：

(5-58)是归一化因子。(5)、对于Fermi子，要求波函数对于交换是反对称的。归一化的波函数可如下构成：

(5-59)由上式可以看出，若，则，即这样的状态是不存在的。这就是著名的Pauli不相容原理。*注：两个函数的和差可以构成对称或反对称波函数。讨论：(1)、若两个Fermior所处状态相同，则，即这样的状态是不存在的。说明两个全同费米子不能处于同一状态，这就是著名的Pauli不相容原理在两个费米子组成的体系中的表述，可以证明这一原理对于由多个全同费米子组成的体系也是成立的。它可以表述为：不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态。在全同费米子组成的体系内，不可能有两个或两个以上的粒子处于同一状态。(2)、k1(q1)k2(q2)与k1(q2)k2(q1)本来是属于二重简并能级k1+k2的两个态，但是，由于波函数的对称性的要求限制了只能用或，因而消除了简并；*注：由于对称性的要求，消除了交换简并。2.N个全同粒子组成的体系N个全同粒子组成的体系，粒子间的相互作用忽略，体系的哈密顿算符为

(5-60)单个粒子的薛定谔方程为

(5-61)………体系的薛定谔方程为(5-62)体系的能级和波函数为(5-63)