第九章欧氏空间

第九章

欧氏空间内容摘要1

内积和欧几里得空间(1)

设V

是实数域R上一个线性空间，如果对V中任意两个元素,有一个确定的实数(,)与它们对应，且满足：1)

(,)=

(

,

)；2)

(k,)=k(,)；3)

(+,)=

(

,

)+(

,

)；4)

(,

)0，当且仅当

=0时(,

)=0.则称(,)为与的内积，定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间，简称为欧氏空间.(,

)=a1b1+a2b2+…+anbn=T.(2)

一些常见的欧氏空间：

1)Rn——对于实向量

=(a1,a2,…,an),

=(b1,b2,…,bn),内积为

2)Rs×n——对于实矩阵A=(aij)s×n,B=(bij)s×n,内积为

3)P[x]——对于实系数多项式f(x),g(x),内积为(3)

内积具有如下性质：

设V是欧氏空间，

,,

,

i,j

V;k,ki,liR,则

1

)

(,k)=

(k,)=

k(

,

)=

k(,

)；2

)

(,+)=

(+,)=

(

,

)+(,)=

(

,

)+(,).3

)

(,0

)=

(0

,)=

0；5

)

|(,

)||||

|，当且仅当,线性相关时，等号才成立.

2

长度、夹角与正交(1)设V是欧氏空间，对任意V，非负实数称为向量的长度，记为||.即，长度为1的向量称为单位向量.如果≠0，则是单位向量，称为将单位化.(2)非零向量,的夹角<,>规定为(3)如果向量,的内积为零，即(,)=0，那么,称为正交或互相垂直，记为

.(4)长度具有如下性质(设V是欧氏空间，

,V;kR)：1)(非负性)||≥0，当且仅当=0时||=0；2)(齐次性)|k|=|k|||；3)(三角不等式)|+|||+|

|.(5)正交向量组的性质(设V是欧氏空间，

,,iV)：1)当

时,|+

|2=|

|2+|

|2；2)如果1,2,…,s两两正交,则|1+2+…+s

|2=|1

|2+|2

|2+…+|s

|2

；3)两两正交的非零向量组是线性无关的.3

度量矩阵(1)设V是n维欧氏空间，1,2,…,n是

V

的一组基，称矩阵为基1,2,…,n的度量矩阵.(2)度量矩阵有如下的性质：1)设,V在基1,2,…,n下的坐标分别为x=(x1,

x2,…,

xn)T，y=(y1,

y2,…,

yn)T，则(,)=xTAy

，其中A是基1,2,…,n的度量矩阵，这表明任意两个向量的内积可以通过坐标和度量矩阵的乘积表示出来，即度量矩阵完全确定了内积；2)基的度量矩阵是对称正定的；3)设1,2,…,n是欧氏空间V的另外一组基，而由1,2,…,n到1,2,…,n的过渡矩阵为C,

即(1,2,…,n)=(1,2,…,n)C.则基1,2,…,n的度量矩阵A和基

1,2,…,n的度量矩阵B满足B=CTAC，即不同基的度量矩阵是合同的，且合同变换矩阵是两组基之间的过渡矩阵.4

标准正交基(1)设1,2,…,n是

n维欧氏空间V

的一组基，如果它们两两正交，则称之为V的正交基；由单位向量组组成的正交基称为标准正交基.(2)n维欧氏空间V必存在正交基与标准正交基.对n维欧氏空间V的任一组基

1,2,…,n都可以用施密特(Schmidt)正交化过程化为正交基1,2,…,n.施密特正交化过程如下：如果再把每个i单位化，即得到V的一组标准正交基.(3)标准正交基的有关结果如下：设V是n维欧氏空间，1,2,…,n是

V

的一组标准正交基，则1)标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；2)设,V，且,在基1,2,…,n下的坐标分别为x=(x1,

x2,…,

xn)T，y=(y1,

y2,…,

yn)T，则(,)=x1y1+

x2

y2+…+

xn

yn=xTy

3)V中任一向量在基1,2,…,n下的坐标为((,1

),

(,2

),…,

(,n

))T.

4)由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵(即满足ATA=E的n级实矩阵).

又若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一组基也是标准正交基.5

正交矩阵(1)如果n级实矩阵A满足ATA=E(或AAT=E,或A-1A=E),则称A为正交矩阵.(2)正交矩阵具有如下性质：1)如果A是正交矩阵，则|A|=±1；2)如果A是正交矩阵，则AT，A-1，A*，Ak均是正交矩阵；而lA是正交矩阵的充要条件是l=±1；3)如果A,B是n级正交矩阵，则AB也是正交矩阵；4)n级实矩阵A是正交矩阵的充要条件是A的n个列(或行)向量是两两正交的单位向量.(1)

设V与V是两个欧氏空间，如果存在由V到V有一个双射,且对任意

,V;kR有1)

(+

)=(

)+(

)；2)

(k

)=k(

),则称是

V到V的同构映射，此时称V与V同构.6欧氏空间的同构3)

((),

(

))=(,

).(2)同构欧氏空间的有关结论如下：1)同构的欧氏空间具有反身性、对称性与传递性;3)

两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.2)任一个n维欧氏空间都与Rn同构;7正交变换(1)

欧氏空间V的线性变换/A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的,V，都有(/A,/A

)=(,

).(2)设/A是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：1)

/A是正交变换；

2)

/A保持向量的长度不变，即对于V，|/A|=||；

3)

如果1,2,…,n

是标准正交基，那么/A1,/A2,…,/An也是标准正交基;4)

/A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.8正交子空间与正交补(1)

设V1,V2是欧氏空间V中两个子空间，如果对于任意的V1，V2，

恒有(,)

=0.

则称V1,V2为正交的，记为V1

V2.一个向量，如果对于任意的V1，恒有(,)

=0.

则称与子空间V1正交，记为

V1.如果V1

V2，且V=V1

+

V2，则称V2为V1的正交补，记为V1.(2)正交子空间有下列结果：1)设V是欧氏空间，,i,j

V，则

L(1,2,…,t)

等价于

j(j=1,2,...,t);

L(1,2,…,s)

L(1,2,…,t)等价于i

j(i=1,2,...,s;j=1,2,...,t).2)如果欧氏空间V的子空间

V1,V2,…,Vs

两两正交，则V1+V2+…+Vs

是直和.3)

n维欧氏空间V的每一个子空间V1都有唯一的正交补.且V1恰由所有与V1

正交的向量组成.4)在n维欧氏空间V的子空间W中取一组正交基(或标准正交基)1,2,…,r(0<r<n)，将其扩充成V的正交基(或标准正交基)1,2,…,r,r+1,…,n，则W=L(r+1,…,n)

.5)设W是欧氏空间V的子空间，则维(V)=维(W)+维(W).9实对称矩阵的标准形(1)实对称矩阵的特征值都是实数.(2)实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交.(3)对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使得T'AT=T-1AT为对角矩阵.(4)实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算：第一步求实对称矩阵A的特征值和对应的线性无关的特征向量.设1,2,...,s是A的全部互异特征值，其重数分别为r1,r2,...,rs，且r1+r2+...+rs=n.又设对应特征值i的ri个线性无关的特征向量为第二步如果ri>1，将对应i的特征向量用施密特正交化过程正交化，再单位化得如果ri=1，直接将pi1单位化得qi1.第三步构造正交矩阵则有：10对称变换(1)设V是欧氏空间，/A为V的线性变换，如果对任意

,