第02讲静定结构反力的计算

学习情境2静定结构反力的计算学习要点力在直角坐标轴上的投影、合力投影定理；力对点之矩、合力矩定理；力偶、力偶矩的概念；力的平移定理、平面一般力系向作用面内任一点的简化；力系的主矢量和主矩；平面一般力系的合力矩定理；平面一般力系的平衡条件及其应用。教学目标理解力和力偶的性质；理解合力投影定理及合力矩定理，能熟练地计算力在坐标轴上的投影和力对点的矩；掌握力偶及力偶矩的概念，理解平面力系的简化理论，能运用平面力系平衡方程求解单个构件和简单结构的反力计算问题。预备知识：沿直线分布的线荷载的合力

沿着一条线连续分布且相互平行的力系，称为平行线分布力，简称线分布力或线荷载。例如梁的自重，可简化为沿梁的轴线分布的线荷载。某一单位长度上所受的分布力，称为分布力在该处的荷载集度，通常用q表示，单位：N／m或kN／m。表示荷载集度分布情况的图形称为荷载集度图，简称荷载图

若荷载集度q为一常量，这种荷载称为均布荷载;q不为常量，则称为非均布荷载

均布荷载作用非均布荷载作用

沿直线且垂直于该直线分布的同向线荷载，其合力的大小等于荷载图的面积，作用线通过荷载图形的形心，合力的指向与分布力的指向相同。线荷载可以用一个集中力来替换，而不改变线荷载对刚体的效应。均布荷载合力三角形分布荷载合力梯形荷载的合力静定结构：

仅用平衡方程可以确定全部内力和约束力的几何不变结构。即：只需要用静力平衡的∑X＝0、∑Y＝0、∑M＝0三个方程或这三个中的两个方程就可以解决问题。例如简支梁、桁架、三铰栱等。举个浅显但不一定严谨的例子，你在墙上固定一块木板，需要钉两个钉子（阻止木板落下或转动），这时可以认为是静定结构。如果你在多钉几个钉子，那么这时就有多余的约束了，多几个钉子就多了几个约束，这就叫超静定结构，这时木板钉的更稳了。可见超静定结构比静定结构具有跟好的安全性。子情境2.1静力学的基本知识2.1.1力的投影基本知识１.力在平面直角坐标轴上的投影力的投影的值与力的大小及方向有关，设力Ｆ与ｘ轴的夹角为α，则从图２-5可知：FＸ＝－ＦｃｏｓαFＹ＝－Ｆｓｉｎα一般情况下，若已知力Ｆ与ｘ轴所夹的锐角为α，则该力在ｘ、ｙ轴上的投影分别为：FＸ＝±ＦcosαFＹ＝±Fsinα反过来，若已知力Ｆ在坐标轴上的投影为FＸ、FＹ，亦可求出该力的大小和方向角：２.合力投影定理如图２－７所示，设有一平面汇交力系Ｆ１、Ｆ２、Ｆ３作用在物体的Ｏ点。从任一点Ａ作多边形ＡＢＣＤ,如图２－７（ｂ）所示。则矢量ＡD就表示该力系的合力Ｒ的大小和方向。取任一轴ｘ,把各力都投影在ｘ轴上，并且令Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３和Ｒｘ分别表示各分力Ｆ１、Ｆ２、Ｆ３和合力Ｒ在ｘ轴上的投影，则有：

合力在任一轴上的投影，等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。例求作用在图示支架上点O的三个力的合力的大小和方向。

解：建立直角坐标系Oxy

求合力FR在坐标轴上的投影

合力的大小为:

合力方向:2.1.2力对点之矩基本知识１.力对点之矩图中Ｏ点称为转动中心，简称矩心。矩心Ｏ到力作用线的垂直距离ｄ称为力臂。OFd定义：MO(F)＝±Fd

力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小F与力臂d的乘积，力使物体绕矩心逆时针转向转动时取为正值，反之取为负值力矩的单位常用N·m或kN·m在平面力系中，力矩或为正值，或为负值。力矩性质

（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之而异。

（3）力的大小等于零，或力的作用线通过矩心（即力臂d=0），则力矩等于零。（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。

（2）力F沿其作用线移动，不改变它对点的矩。2合力矩定理

合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩等于其分力对于同一点之矩的代数和。即：简写为：OFdα

例图示挡土墙每1m长所受土压力的合力为FR，它的大小为FR=150kN，方向如图示。求土压力FR使墙倾覆的力矩。30°AF1F2FRda=2mb=1.5m解：土压力FR可使挡土墙绕墙趾A点倾覆，故求FR使墙倾覆的力矩，就是求FR对A点的力矩。

30°AF1F2FRda=2mb=1.5m力偶:大小相等、方向相反、作用线平行的一对力2.1.3力偶与力偶矩记作：(F、F′)由于力偶中的两个力的矢量和等于零，因而力偶不可能使物体产生移动效应，又因为力偶中的两力不共线，所以也不能相互平衡。这样的两个力可以使物体产生纯转动效应。

力偶作用面：力偶臂：d力偶中两个力作用线所决定的平面力偶中两个力作用线之间的距离力偶使物体转动的效应，取决于力偶的两个反向平行力和力偶臂的大小以及力偶的转向。

在平面力系问题中，力偶在力系作用面内的转向不是逆时针方向就是顺时针方向，因而可以把力偶中的力的大小F与力偶臂d的乘积加上适当的正负号作为度量力偶对物体转动效应的物理量，称为力偶矩。

通常规定，力偶逆时针旋转时，力偶矩为正；反之为负。

力偶的简明表示:力偶矩的单位和力矩的单位相同:N·m或kN·m。

在平面力系问题中，力偶矩是一个代数量。

力偶的基本性质

1、力偶中的两力在任意坐标轴上的投影的代数和为零。2、力偶不能与力等效，只能与另一个力偶等效。同一平面内的两个力偶等效的条件是力偶矩的大小相等且转动方向相同。因此，只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以任意改变力的大小和力偶臂的长短，而不影响力偶对物体的转动效果。3、力偶不能与力平衡，而只能与力偶平衡。4、力偶可以在它的作用平面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的作用。因此，力偶对物体的作用完全决定于力偶矩，而与它在其作用平面内的位置无关。平面力偶系的合成

作用在同一平面内的一群力偶称为平面力偶系，如图

所示。平面力偶系合成可以根据力偶的等效性来进行。其合成的结果是：平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。即：【例】如图3-11所示，在物体同一平面内受到三个力偶的作用，设F1=200N，F2=400N，m=150N·m，求其合成的结果。

【解】三个共面力偶合成的结果是一个合力偶，各分力偶矩为：即合力偶矩的大小等于250N·m，转向为逆时针方向，作用在原力偶系的平面内。力的平移定理：作用在刚体上的力，可以等效地平移到刚体上任一指定点，但必须在该力与指定点所确定的平面内附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的力矩。

FA＝FB

2.1.4力的平移定理

根据上述力的等效平移的逆过程，可以得知共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，此力的大小和方向与原力相同，但它的作用线与原力要相距一定的距离。

２.1.5平面一般力系向作用面内任一点简化1.平面一般力系：是指各力的作用线在同一平面内不完全汇交于一点也不完全相互平行的力系，也称为平面任意力系。XYO

平面汇交力系F1F2F3F4XYO

平面平行力系F1F2F3F4XYO

平面一般力系F1F2F3F4２.1.5平面一般力系向作用面内任一点简化1.平面一般力系：是指各力的作用线在同一平面内不完全汇交于一点也不完全相互平行的力系，也称为平面任意力系。XYO

平面汇交力系F1F2F3F4XYO

平面平行力系F1F2F3F4XYO

平面一般力系F1F2F3F4例：下图所示的三角形屋架，它承受屋面传来的竖向荷载P，风荷载Q以及两端支座的约束反力XA、YA、YB，这些力组成平面一般力系。１.简化方法和结果设平面一般力系F1，F2，，Fn作用在物体上

，如图

所示。将该力系简化方法：（1）在该力系的作用面内任选一点O作为简化中心，（2）根据力的平移定理，将各力全部平移到0点，得到一个平面汇交力系F′1，F′2，，F′n和一个附加的平面力偶系m1，m2，mn。其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即：各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点之矩，即：由平面汇交力系合成的理论可知，F′1，F′2，，F′n可合成为一个作用于O点的力R′，并称为原力系的主矢：主矢Ｒ′在ｘ轴和ｙ轴上的投影为：主矢Ｒ′的大小和方向为：α为Ｒ′与ｘ轴所夹的锐角，Ｒ′的指向由∑Ｘ和∑Ｙ的正负号确定。结论：平面一般力系向作用面内任一点简化的结果是一个力和一个力偶。这个力作用在简化中心，它的主矢，等于原力系中各力的矢量和；主矩等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和。

应当注意：

力系的主矢量与简化中心位置无关。因为原力系中各力的大小及方向一定，它们的矢量和也是一定的。所以，一个力系的主矢量是一常量，不随简化中心选取的不同而改变。力系的主矩一般将随简化中心位置不同而改变。因为力系中各力对于不同的简化中心的力矩是不同的，因而它们的和一般说来也不相等。所以，说到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。平面一般力系简化结果的讨论

平面一般力系向一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，但这并不是最后的简化结果。根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种情况：(1)若R′=0，Mo≠0，说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。(2)若R′≠0，Mo=0，则作用于简化中心的力R′就是原力系的合力，作用线通过简化中心，即：R=R′。(3)若R′≠0，Mo≠0，这时根据力的平移定理的逆过程，可以进一步合成为合力R，如图4-6所示。(4)R′=0，Mo=0，此时力系处于平衡状态。将力偶矩为Mo的力偶用两个反向平行力R、R″表示，并使R′和R″等值、共线，使它们构成一平衡力，如图4-6(6)，为保持Mo不变，只要取力臂d为：将R″和R′这一平衡力系去掉，这样就只剩下R力与原力系等效(图4-6c)。合力R在O点的哪一侧，由R对0点的矩的转向应与主矩Mo的转向相一致来确定。图4-62.1.6平面一般力系的平衡条件

平面一般力系处在平衡状态的必要与充分条件是力系的主矢与力系对于任一点的主矩都等于零，即：

（1）平面一般力系的平衡方程

平面一般力系平衡的必要和充分条件为：力系中所有各力在力系作用面内两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和等于零；力系中所有各力对于作用面内任一点的力矩的代数和等于零。

当物体在平面一般力系作用下处于平衡时，应用平衡方程，最多只能求解三个未知量。

（2）平面平行力系的平衡方程

平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。如取y轴平行于各力，则，因而平面平行力系的平衡方程为F1FiFnF2Oxy（2）平面平行力系的平衡方程

平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。如取y轴平行于各力，则，因而平面平行力系的平衡方程为F1FiFnF2Oxy【例】悬臂梁AB受荷载作用如图所示。一端为固定端支座约束，另一端为自由端的梁，称为悬臂梁。已知线分布荷载q=2kN/m，l=2m，粱的自重不计。求固定端支座A处的约束反力。【解】取梁AB为研究对象，受力分析如图(b)所示，支座反力的指向均为假设，梁上所受的荷载与支座反力组成平面一般力系。梁上的均布荷载可先合成为合力Q，其大小Q=ql，方向铅垂向下，作用在AB梁的中点。选取坐标系如图(c)所示，列平衡方程如下：求得结果为正值，说明假设约束反力的指向与实际相同。可见，yA和mA计算无误。例求图示外伸梁A、B处的支座反力。解：取外伸梁为研究对象，作受力图。由于梁上的集中荷载、分布荷载以及B处的约束反力相互平行，故A处的约束反力必定与各力平行。

应用平面平行力系的平衡方程求解两个未知量。平面一般力系平衡方程解题的步骤如下：

（1）确定研究对象根据题意分析已知量和未知量，选取适当的研究对象。（2）画研究对象受力图在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。（3）列平衡方程。（4）解平衡方程求得未知量。子情境２.２静定结构的反力计算２.２.１单跨静定梁的反力计算

２.２.１单跨静定梁的反力计算１.悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁P20【例2-2】２.简支梁：一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁P20【例2-3】３.外伸梁：梁的一端或两端伸出支座的简支梁P21【例2-4】

例简支梁受力如图所示。已知F＝20kN，q＝10kN/m，不计梁自重，求A、B两处的支座反力。解：取AB梁为研究对象

画受力图

分布荷载可用作用在分布荷载中心的集中力Fq代替，其大小为Fq＝2q。

列平衡方程并求解：

2.2.2多跨静定梁反力的计算（了解）

计算多跨静定梁时，必须先从附属部分计算，再计算基本部分，按组成顺序的逆过程进行。如图２－１７（ｃ）所示，应先从附属梁ＢＣ计算，再依次考虑ＣＤ、ＡＢ梁。这样便把多跨梁化为单跨梁，分别进行计算，从而可避免计算联立方程。2.2.3斜梁的反力计算（了解）

斜梁通常承受两种形式的均布荷载：（１）沿水平方向均布的荷载q［见图2-21（ａ）］。楼梯斜梁承受的人群荷载就是沿水平方向均匀分布的荷载。（２）沿斜梁轴线均匀分布的荷载ｑ′［见图2-21（ｂ）］。

斜梁通常承受两种形式的均布荷载：根据总荷载不变的原则，将ｑ′等效换算成ｑ后再作计算，即由ｑ′ｌ′＝ｑｌ得：一、静定平面刚架的特征

刚架是用刚结点将若干直杆连结而成的结构。当刚架的轴线和外力都在同一平面时，称为平面刚架。由静力平衡条件可以求出全部约束反力和内力的平面刚架称为静定平面刚架。刚结点的特性是在荷载作用下，各杆端不仅不能发生相对移动，而且也不能发生相对转动,因为刚结点具有约束杆端相对转动的作用，所以它能承受和传递弯矩,是一种较好的承重结构，广泛应用于工业和民用建筑。2.2.4静定平面刚架反力计算

【例２－６】钢筋混凝土刚架所受荷载及支承情况如图２－２２（ａ）所示。已知ｑ＝４ｋＮ／ｍ，Ｐ＝１０ｋＮ，ｍ＝２ｋＮ·ｍ，Ｑ＝２０ｋＮ，试求支座处的反力。

【解】取刚架为研究对象，画其受力图［见图２－２２（ｂ）］，图中各支座反力指向都是假设的。2.2.5起重设备的验算（了解）

【例２－６】图２－２３所示为塔式起重机。已知轨距ｂ＝４ｍ，机身重Ｇ＝２4０ｋＮ，其作用线到右轨的距离ｅ＝１.５ｍ，起重机平衡重Ｑ＝12０ｋＮ，其作用线到左轨的距离ａ＝６ｍ，荷载Ｐ的作用线到右轨的距离ｌ＝１２ｍ。（１）试证明空载时（Ｐ＝０时）起重机是否会向左倾倒？（２）求出起重机不向右倾倒的最大荷载Ｐ。【解】(1)取起重机为研究对象。受力分析如图4-18所示，作用于起重机上的主动力有G、P、Q，约束反力有NA和NB，NA和NB均铅垂向上，以上各力组成平面平行力系。

(2)当空载P=O时，起重机不向左倾倒的条件是NB≥0。以A点为矩心，列平衡方程。解得：所以起重机不会向左倾倒。(3)使起重机不向右倾倒的条件是NA≥0。以B点为矩心，列平衡方程解得当荷载P≤70kN时，起重机不会向右倾倒。（补充知识）

物体系统的平衡

在工程中，常常遇到由几个物体通过一定的约束联系在一起的系统，这种系统称为物体系统。如图4-19(a)所示的组合梁、图4-20(a)所示的三铰刚架等都是由几个物体组成的物体系统。研究物体系统的平衡时，不仅要求解支座反力，而且还需要计算系统内各物体之间的相互作用力。我们将作用在物体上的力分为内力和外力。所谓外力，就是系统以外的其他物体作用在这个系统上的力；所谓内力，就是系统内各物体之间相互作用的力。如图4-19(b)所示，荷载及A、C支座处的反力就是组合梁的外力，而在铰B处左右两段梁之间的相互作用力就是组合梁的内力。应当注意，内力和外力是相对的概念，也就是相对所取的研究对象而言。例如图4-19(b)所示组合梁在铰B处的约束反力，对组合梁的整体而言，就是内力；而对图4-19(c)、图4-19(d)所示的左、右两段梁来说，B点处的约束反力被暴露出来，就成为外力了。本章小结：一、力的投影基本知识力在平面直角坐标轴上的投影合力投影定理二、力对点之矩基本知识１.力对点之矩、力矩的性质２.合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。三、力偶1.力偶：作用在同一个物体上的大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力。2.力偶的性质力矩性质

（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之而异。

（3）力的大小等于零，或力的作用线通过矩心（即力臂d=0），则力矩等于零。（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。

（2）力F沿其作用线移动，不改变它对点的矩。力偶的基本性质

1.力偶没有合力，既不能与一个力等效也不能与一个力相平衡。

2.力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。3.在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。称为力偶