第16讲 时谐电磁场(II)

电磁场与电磁波Field

and

Wave

Electromagnetics主讲：史琰Review2023/2/3shiyan@2时谐场量与其相量间的关系复数（频域）形式的Maxwell方程组极化磁化传导介电常数(电容率)磁导率电导率静态场时变电磁场正数复数2023/2/3shiyan@3实常数Review虚部反映介质的损耗注：金属导体的电导率在直到红外线的整个射频范围内均可看作实数，且与频率无关复介质参数：等效复介电常数损耗角正切（反映介质在该频率的损耗大小）等效复介电常数等效位移电流2023/2/3shiyan@4电介质损耗与电导率同时考虑Review第16讲时谐电磁场(I)2023/2/3shiyan@5复坡印亭矢量复坡印亭定理时变电磁场的唯一性定理波动方程复坡印亭矢量2023/2/3shiyan@6对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时：复坡印亭矢量2023/2/3shiyan@7对于正弦电磁场，场量随时间作周期性的简谐变化，每一点处瞬时电磁功率密度的时间平均值更具有时间意义：Note1：周期T=2π/ω；Note2：为复坡印廷矢量，与时间t无关，表示复功率 流密度；Note3：实部为平均功率流密度(有功功率流密度)，虚 部为无功功率流密度；Note4：Sav称为平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量复坡印亭矢量2023/2/3shiyan@8电场能量密度、磁场能量密度的复数表示及平均值：复坡印亭矢量2023/2/3shiyan@9源输出功率密度、导电损耗功率密度的复数表示及平均值：各向同性线性介质的坡印亭定理（无介质损耗情况下）时间平均的坡印亭定理复坡印亭定理2023/2/3shiyan@10考虑矢量恒等式复坡印亭定理2023/2/3shiyan@11复矢量表示的坡印廷定理，称为复坡印廷定理若设宏观电磁参数σ为实数，磁导率和介电常数为复数复坡印亭定理2023/2/3shiyan@12重新回顾电场能量密度、磁场能量密度的复数表示及平均值：有介质损耗情况下复坡印亭定理2023/2/3shiyan@13重新回顾Maxwell方程（有介质损耗情况下）：导电损耗功率密度的复数表示及平均值介质损耗功率密度的平均值复坡印亭定理这里pav,c、pav,e、pav,m分别是单位体积内的导电损耗功率、极化损耗功率和磁化损耗功率的时间平均值。分别取实部和虚部：2023/2/3shiyan@14复坡印亭定理2023/2/3shiyan@15对于一个任意的时谐场，电场与磁场通常有一个相位差。电场能量在某些时刻达到最大值，磁场能量在其他的时刻达到最大值。在一个周期中，在某个时刻部分磁场能量转换为电场能量，在另一时刻，部分电场能量转换为磁场能量，这就类比于LC振荡电路，即在某一时刻电感中储存的能量转换为电容中的能量，在另一时刻电容中储存的能量转换为电感中的能量。假定在体积V中，最大的电场能量大于最大的磁场能量，当电场能量达到最大值时，此时额外的功率被需要。在另一时刻，当电场能量减小，磁场能量达到最大值时，这部分功率就必须消失。这部分额外的功率称为感应功率(reactivepower)。由功率守恒可知，这部分功率要么来自于源，要么来自于体积V的外部。时间平均的坡印亭定理复坡印亭定理2023/2/3shiyan@16若感应功率来自于源的功率在一个周期内，在某一时刻被源产生，在另一时刻被源拿走。类似地，若感应功率来自于体积V的外部的功率，在一个周期内，在某一时刻进入体积V中，在另一时刻又离开体积V中。进一步考虑时变的情况复坡印亭定理例1已知无源(ρ=0,J=0)的自由空间中时变电磁场的电场强 度复矢量式中k、E0为常数。求：(1)磁场强度复矢量；(2)坡印廷矢量的瞬时值；(3)平均坡印廷矢量。[解](1)2023/2/3shiyan@17复坡印亭定理(2)电场、磁场的瞬时值为坡印廷矢量的瞬时值为

(3)平均坡印廷矢量：2023/2/3shiyan@18时变电磁场的唯一性定理2023/2/3shiyan@19[反证法]：假设有两组解都是体积V中满足麦克斯韦方程组、边界条件和初始条件的解，令时变电磁场的唯一性定理对于t>0的所有时刻，由曲面S所围成的闭合域V内的电磁场是由V内的电磁场E、H在t=0时刻的初始值以及t≥0时刻边界面S上的切向电场或切向磁场唯一确定。时变电磁场的唯一性定理2023/2/3shiyan@20则可得考虑矢量恒等式时变电磁场的唯一性定理2023/2/3shiyan@21考察边界条件：由假设知两组解满足相同的切向边界条件，则利用矢量恒等式：从而可得于是有时变电磁场的唯一性定理2023/2/3shiyan@22由假设知两组解满足相同的初始条件，因此t=0时刻最终可得，t≥0时即，唯一性定理得证。时变电磁场的唯一性定理2023/2/3shiyan@23只要给定时变电磁场的初始值及电场或磁场在边界面上的切向分量就一定能确定该时变电磁场的分布；对于一个封闭曲面包围的区域，或者给定曲面上电场的切向分量，或者给定曲面上磁场的切向分量，又或者给定部分曲面上电场的切向分量以及其他曲面上磁场的切向分量，那么区域内的场能被唯一确定；为了能由麦克斯韦方程组求解出时变电磁场，一般需要同时应用边界面上的电场和磁场切向分量边界条件。波动方程2023/2/3shiyan@24电磁波的存在是麦克斯韦方程组的一个重要结果，1865年，麦克斯韦从他的方程组推导出波动方程，并得到电磁波波速的一般表示式，预言了电磁波的存在及电磁波与光波的同一性。麦克斯韦第一方场和第二方程说明：变化的电场激发磁场，变化的磁场激发电场一旦交变的场源在空间激发起电磁场，由于电场和磁场的相互激发，即使场源消失，电磁场仍可独立地存在，并由近及远地向外传播，从而形成电磁波任何波动都满足一个共同的规律——波动方程。波动方程2023/2/3shiyan@25考虑媒质均匀、线性、各向同性的无源区域(J=0,ρ=0)且σ=0的情况，这时麦克斯韦方程变为波动方程2023/2/3shiyan@26同理可得无源无耗区域的瞬时值矢量齐次波动方程求解方法有两种： 直接求解矢量方程将矢量方程分解为标量方程求解直角坐标系下的标量波动方程只有在直角坐标系下，每个标量方程才能只含一个未知函数，其它正交曲线坐标系中矢量波动方程得到的标量波动方程都有复杂的形式。波动方程2023/2/3shiyan@27复数形式的正弦电磁场波动方程矢量齐次亥姆霍兹方程解必须满足相应地散度为零的条件波数波动方程2023/2/3shiyan@28若介质有耗，即介电常数和磁导率为复数，则k也相应的变为复数：若是导电介质，则需用等效复介电常数代替原介电常数；波动方程的解表示时变电磁场将以波动形式传播，构成电磁波；波动方程的解是一个沿某一方向以光速传播的电磁波；研究电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程的问题。波动方程=02023/2/3shiyan@29例2在无源区求均匀导电媒质中电场强度和磁场强度满足 的波动方程。[解]由于求解问题为均匀导电媒质和无源区域，由麦克斯韦方程组有波动方程2023/2/3shiyan@30电场强度E满足的波动方程为磁场强度H满足的波动方程为时变电磁场的位函数非齐次矢量波动方程2023/2/3shiyan@31非齐次矢量波动方程回顾有源区域的Maxwell方程组：根据场源分布及变化可以由非齐次矢量波动方程求解空间场的分布，但是很多情况下，该方程很难求解。时变电磁场的位函数2023/2/3shiyan@32矢量磁位根据磁通连续性原理：利用矢量恒等式可以定义：考虑Maxwell方程：利用梯度场性质可知：

称为矢量磁位，单位为Wb/m(韦伯/米)

称为标量位，单位为V(伏)

和的取值具有多值性：即，若、确定的电磁场满足Maxwell方程组，那么、也必能确定满足Maxwell方程组的场解。时变电磁场的位函数

称为矢量磁位，单位为Wb/m(韦伯/米)

称为标量位，单位为V(伏)

和的取值具有多值性：即，若、确定的电磁场满足Maxwell方程组，那么、也必能确定满足Maxwell方程组的场解。2023/2/3shiyan@33时变电磁场的位函数2023/2/3shiyan@34洛伦兹规范根据亥姆霍兹定理，一个矢量场由其旋度和散度唯一确定。为了确定磁矢位，必须规定其散度。利用高斯定理：利用全电流定理：时变电磁场的位函数2023/2/3shiyan@35达朗贝尔方程两个彼此相似而独立的线性二阶微分方程，在数学形式上称为达朗贝尔方程；磁矢位的源是电流密度标量位的源是电荷密度磁矢位和标量位通过洛仑兹条件耦合在一起=时变电磁场的位函数2023/2/3shiyan@36洛伦兹条件或洛仑兹规范洛伦兹条件满足电流连续性方程时变电磁场的位函数2023/2/3shiyan@37正弦电磁场的位函数正弦电磁场的洛伦兹条件正弦电磁场的位函数方程时变电磁场的位函数2023/2/3shiyan@38k2=ω2με采用位函数使原来求解电磁场量B和E的六个标量分量变为求解A和φ的四个标量分量标量位φ可以由洛伦兹条件求得，进一步将电磁场求解问题简化为三个标量分量的计算：洛伦兹条件是人为采用的散度值，若规定其它的散度值将会得到不同的位函数方程，但最终解得的场B和E是相同的。描述电磁场的位函数不仅限于这一种，可以有其它的辅助位函数，不同的位函数对应于相应的物理模型。例3

已知时变电磁场中矢量位