小学奥数 数论 余数问题 余数性质(一).题库版

5-5-3.性（教学目学习余数的三大定理及综合运用理解弃9法并运用其解题知识点一、三大余数定理：1.余数的加法定理b的除以c的数，等于ab分除以c的数之和，或这个和除以c的数例如：，16以的数分别是3和，所以＝39除以5余数等于，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以的数。例如：，19除余数分别是3和4，所以＝42除的余数等于3+4=7除5余数为22.余数的加法定理b的除以c的数，等于ab分除以c的数之差。例如：，16除余数分别是3和1，所以23＝7除5余数等于，个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：，14除余数分别是3和4，23＝以的余数等于4，两个余数差为35－4＝3.余数的乘法定理b的积除以c的数，等于b别除以c的余数的积，或者这个积除以所的余数例如：，16除余数分别是3和1，所以23×16除以5的数等于＝。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以的余。例如：，19除余数分别是3和4，所以23×19除以5的数等于除5的数，即2.乘方：如果a与以余数相同，那a与b除m的数也相同．二、弃九法原理在公元前9世，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术计时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们检验方式是这样进行的：例如：检验算11898178902除以余数为1除以余数为8除以余数为5-5-3.余数性质（一）题库

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pageof除以9的数为除以9的数为这些余数的和除以的余数为2而等式右边和除以的余数为，那么上面这个算式定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那左边几个加数除以9的数的和再除以余数一定与等式右边和除以的余数相同。而我们在求一个自然数除以所的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的数可以了，在算的时候往往就是一个一的并且划去，所以这种方法被称作弃九”所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除余数，只要先计这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时等式两边的除以的数都是，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式两端一定满弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。例题精模块一、余数的加减法定理【1】幼园老给里小友来40只子，200块干块奶。均发毕还4只子20块干粒糖这里有位朋。【考点】余数的加减法定理【度】1星【型】填空【关键词】，第3届走美杯，4年，决赛，第3题8分【解析40-4=36，200-20=180，120-12=108小朋友的人数应是36，180，的大于20的公约数，只有36【答案【2】在，，，2003中，其几数和除余7，将几数为组这样数共组．【考点】余数的加减法定理【度星【型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析1995，，，2001除9的数依次是6，，2，3．因为2，2，所以这样的数组共有下面4个：,

，2000,2003,2001,19951998,2000,2003,2001,1995【答案】4【3】号分为101,126,173,193的个动进乒球赛规定两比的数他号的和被3除得余.那么球盘最的动打多盘5-5-3.余数性质（一）题库

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pageof【考点】余数的加减法定理【度星【型】解答【解析本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算，126，193除余数分别为，，2。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用，1两相加除以可。显然运动员打5盘是最多的。【答案【4】有个数用去，，160所得的3个数和，么个数是_．【考点】余数的加减法定理【度星【型】填空【关键词】2005年，小学数学奥林匹克【解析】50290，50162，数应当是290的于小70的数，只可能是和58152，50，以除数不是587011029，29515，以除数是29【答案】29【固用自数n去除，91，129得到的个数和25，那n．【考点】余数的加减法定理【度星【型】填空【关键词】2002年，小学数学奥林匹克【解析】整除63258因为25，以是258大8约数．显然不能大于63符合条件的只有【答案】43【5】如＝！，＝2＝！…＝100那1！+2！+……+100！的位字多？【考点】余数的加减法定理【度星【型】解答【解析从！开始个位数字都是了因此只需要计算前个数1+2！+4=1+2+6+24=33所末位数字一定是3【答案【6】六小生别着元17元、18元、元、元37元，起新书购《成大词．看价发有个带钱够但是中、、3人钱在一恰可本丁戊2人钱在一恰可1本．种成大典的价元．【考点】余数的加减法定理【度星【型】填空【关键词】2002年，小数报【解析六名小学生共带钱133元除以1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰能3本，所以他们五人带的钱数是倍数，另一人带的钱除以3余．知，这个钱数只能是元，所以每本《成语大词典》的定价(1426)32元．【答案【固商里六货，别15，1819，31千，个客走其的箱已一顾买货重是一顾的倍那商剩的箱物量_______千．【考点】余数的加减法定理【度星【型】填空【关键词】2000年，小学数学奥林匹克【解析两个顾客买的货物重量的数．(139...2，下的一5-5-3.余数性质（一）题库

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pageof货物重量除以3应当余，只能是20千克．【答案】【固六卡上别上1193、1258、、、六个，取3张，取张丙1张结发甲乙自中片的之一人另—个的倍，丙中片的是．第五届小报学赛赛)【考点】余数的加减法定理【度星【型】填空【关键词】1997年，小学数学奥林匹克【解析根据甲乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数．计算这六个数的总和11931842186610565，除以；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余．六个数中只有除以余2，故丙手中卡片上的数为1193．【答案【7】从1，，3，4，，中N个不同数取的中意个和被整．N最为多？【考点】余数的加减法定理【度星【型】解答【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年，第8题【解析取出的N个同的数中，任意三个和能被15整，则其中任意两个数除以的数相同，且这个余数的3倍被15整除，所以这个余数只能是0或．1中除以15的余数为的1，15，共33；除以15的余数为的1，15，，15，有134个除的数为的5，…15，有个．所以N最大为134【答案【8】一家，父母兄妹人他任三的数和是3的数，人岁都一质，人数和100，父岁最，：亲多少?【考点】余数的加减法定理【度星【型】解答【关键词】2005年，香港圣公会，小学数学奥林匹【析从任意三人岁数之和是3的数，100除以余1，就知四个岁数都k型数，又是质数．只有，13，，31，37，，就容易看：父43岁母37岁兄13岁，妹．【答案【9】有所校高校B校多10人，校C校多人三共高生人有所校中数高人的2倍有所校中数高人的1.5倍还一学高、中数等三学总数人那校总数人【考点】余数的加减法定理【度星【型】填空【关键词】2002年，香港圣公会，小学数学奥林匹【解析三所学校的高中生分别是：校742人732，校人．如果校或校初中人数是高中人数的1.5倍该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校人数5480是数矛盾，因此只能是校初中人数是高中人数的1.5倍三校初中的总人数是54802196余2被整除被除被除余1数看，断定初中人数是高中人数的能是校以校人数是7425-5-3.余数性质（一）题库

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pageof(人)．【答案模块二、余数的乘法定理【10求2461的余．【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】解答【解析因为，6047549...8，据同余定理三)，的余数等8的数，而8，17...5，所以的余数为5．【答案【固求296351除17的数【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】先出积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除的余数，再求余数之积除以17的数．478,296,351除以17的余数分别为，，(291．【答案【固求3091993被除余．【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】解答【解析方法一：先将437算出以后，即3091993269120769．求得此数被除的余数为．方法二：因473除的数为，309除7的数为，由同的可乘”知以7余数为除7的数为所437309以的余数等除以余数，算4371993被除的余数为．方法三：利用余数判别⑹，算出，数节的数之和与偶数节的之和的差即26除以7的数为，437被7除余数为．【答案【11求478除以的数【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】解答【析，2，4782569除9的余等于1．【答案】【12一数除，余是3，该的3倍除余是。【考点】余数的乘法定理【度】

星【型】填空【关键词】2004年，希望杯，第二届，五年级，初，第3题，5分【解析余数是3×3÷7的数，为【答案】5-5-3.余数性质（一）题库

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pageof222222221266128989892222222212661289898989896【13在表第行，好上89这十数使得一列下个数乘除所的余都3．【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】填空【解析】因两数的乘积除以的余数，于两个数分别除以11的数之积．因此原题中89可以改换110这样上下两数的乘积除以余就易计算了．我们得到下面的结果：进而得到本题的答案是：【答案】【14

2

2001

2002除的数多？【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】解答【关键词】2007年，实验中学【解析由1

2002

200220034005

10012003，而1001是7的数，所以这个乘积也是的数，20012002除余数是0【答案】【15求6443的数【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】解答【解析本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由6443÷19余2，求原式的余数只要求的余数即可。但是如果用2÷19发会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，2264余为7，那么求

的余数就转化为的数，即49÷19的余数。余为11，所以原式【答案

的余数为11.【固求43

除7的余．【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】解答【解析法一43

(143被余3)143

7

(

被7所得余数与3

被所得余数相等而6，729除以的数为所314个5-5-3.余数性质（一）题库

643除7的数为教师版

pageof13567406406406404410121016310006135674064064064044101210163100063法二：计算

被7所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：

2

4

mod7

64

1

于是余数以为周期变化．所37【答案5【固求3

写十制时个数【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】解答【解析要想把

具体数字算出来显然是不可能的，由于题目可以转化为求

除以10的数．看到题目里面有个很大的乘方，我们想到利“同余的乘方”可先确定n使3除10的数为．通过尝试可知，最小的n．因）除以的余数等除以的数即13除的数为，所以3除以的余数，即写十进制数时的个位数为．【答案9【固2009个009

的位字．【考点】余数的乘法定理【难度星【型】填空【关键词】2010年，迎春杯，五年,初赛，第4题【解析易知２００９的个位数字是９2009的个位数字是１，的位数字是９2009的位数字是１，两个为一周期，2009的个位数字是【答案【固2007×2007×…×2007（2008个2007）个位字。【考点】余数的乘法定理【难度3【型】填空【关键词】，第五届，走美杯，初赛，六年级，第1题【解析】可看2007乘方其尾数是79、3、四数字循环的2008个2007相乘，其尾数为1.【答案【16今是期，

天后是期？【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】解答【解析先求较小的，10

除以7余数为1．除以7余

除以余2

除以余310

除以除以7的数等于36除7的余数等于1所以除的数等于10除7余数等于4，10天后，应是星期一．【答案】星期一【17求的最两数【考点】余数的乘法定理【难度】【题型】解答【解析即考虑除的数．由100，于27除以25余，所除以25余8

除以25余24么

除以25余1又