高中数学北师大版第三章指数函数和对数函数指数函数 第3章2

第三章§3A级基础巩固1．下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3，其中指数函数的个数是eq\x(导学号00814643)(B)A．0 B．1C．2 D．3[解析]①中，3x的系数2不是1，因此不是指数函数；②中3的指数是x＋1，不是x，因此不是指数函数；③中满足指数函数的定义，故③正确；④中函数是幂函数，故选B．2．函数y＝2－x的图像是下图中的eq\x(导学号00814644)(B)[解析]∵y＝2－x＝(eq\f(1,2))x，∴函数y＝(eq\f(1,2))x是减函数，且过点(0,1)，故选B．3．(2023·山东理，2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝eq\x(导学号00814645)(C)A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．B＝{x|x2－1<0}＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1<x<1}＝{x|x>－1}．4．已知函数f(x)＝2x－1＋1，则f(x)的图像恒过定点eq\x(导学号00814646)(C)A．(1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(1,1)[解析]代入选项易知C正确．5．经过点(－eq\f(3,2)，eq\f(8,27))的指数函数的解析式为eq\x(导学号00814647)(A)A．y＝(eq\f(9,4))x B．y＝(eq\f(3,2))xC．y＝(eq\f(4,9))x D．y＝(eq\f(2,3))x[解析]将点(－eq\f(3,2)，eq\f(8,27))代入指数函数y＝ax(a>0且a≠1)中，则a－eq\s\up7(\f(3,2))＝eq\f(8,27)，即(eq\f(1,a))eq\s\up7(\f(3,2))＝(eq\f(2,3))3，所以eq\f(1,\r(a))＝eq\f(2,3)，即a＝eq\f(9,4).6．(2023·山东高考)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝eq\x(导学号00814648)(C)A．[0,2] B．(1,3)C．[1,3) D．(1,4)[解析]本题考查指数函数集合的运算．|x－1|<2，∴－2<x－1<2即－1<x<3，y＝2x,0≤x≤2∴20≤y≤22，即1≤y≤4∴A∩B＝[1,3)．7．函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a>1)恒过点(1,10)，则m＝\x(导学号00814649)[解析]∵函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a>1)恒过点(1,10)，∴10＝a0＋m，∴m＝9.8．若函数f(x)的图像与函数g(x)＝(eq\f(1,2))x的图像关于y轴对称，则满足f(x)≥2的x的取值范围是_[1，＋∞)\x(导学号00814650)[解析]由题意知，f(x)的解析式是f(x)＝(eq\f(1,2))－x＝2x，由f(x)≥2得2x≥2，解得x≥1.9．若函数y＝(4－3a)x是指数函数，求实数a的取值范围.eq\x(导学号00814651)[解析]y＝(4－3a)xeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3a>0，,4－3a≠1，))解得a<eq\f(4,3)且a≠1，故a的取值范围为{a|a<eq\f(4,3)且a≠1}．10．已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1).eq\x(导学号00814652)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(－1，＋∞)上的单调性．[解析](1)只需x＋1≠0时，f(x)都有意义，故f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠－1}．(2)设x1，x2是(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1＋eq\f(x1－2,x1＋1)－(ax2＋eq\f(x2－2,x2＋1))＝(ax1－ax2)＋eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1).∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.又a>1，∴ax1<ax2，即ax1－ax2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是增加的．B级素养提升1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于eq\x(导学号00814653)(A)A．－3 B．－1C．1 D．3[解析]本题考查分段函数求值．∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知f(a)＝－2.当a>0时2a＝－2不成立当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.2．函数y＝2x＋1的图像是图中的eq\x(导学号00814654)(B)[解析]x＝0时，y＝2；且y＝2x＋1的图像是y＝2x的图像向左平移1个单位得到的，为增函数．3．若指数函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f(3)＝\x(导学号00814655)[解析]设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因为图像经过点(2,4)，所以f(2)＝4，即a2＝4.因为a>0且a≠1，得a＝2，即函数的解析式为f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8.4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0,xeq\s\up4(\f(1,2))，x>0.))则满足f(x)>1的x的取值范围是_{x|x>1或x<－1}\x(导学号00814656)[解析]由已知f(x)>1可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,2－x－1>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,xeq\s\up4(\f(1,2))>1))，解得x>1或x<－1，故{x|x>1或x<－1}．5．已知f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋a是奇函数，求a的值及函数的值域.eq\x(导学号00814657)[解析]∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．即eq\f(1,2－x－1)＋a＝－[eq\f(1,2x－1)＋a]，∴2a＝－eq\f(1,2－x－1)－eq\f(1,2x－1)＝1，∴a＝eq\f(1,2).∵2x－1≠0，∴x≠0.∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵2x>0且2x≠1，∴2x－1>－1且2x－1≠0，∴eq\f(1,2x－1)<－1或eq\f(1,2x－1)>0，∴y<－eq\f(1,2)或y>eq\f(1,2).∴f(x)的值域为(－∞，－eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2)，＋∞)．6．画出函数y＝|2x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|2x－1|＝k无解？有一解？有两解？eq\x(导学号00814658)[解析]函数y＝|2x－1|的图像是由函数y＝2x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，图像如图所示．当k<0时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图像无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解．C级能力拔高设f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，若0<a<1，试求：eq\x(导学号00814659)(1)f(a)＋f(1－a)的值；(2)f(eq\f(1,1001))＋f(eq\f(2,1001))＋f(eq\f(3,1001))＋…＋f(eq\f(1000,1001))的值．[解析](1)f(a)＋f(1－a)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(41－a,41－a＋2)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(\f(4,4a),\f(4,4a)＋2)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(4,4＋2·4a)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(2,2＋4a)＝eq\f(4a＋2,4a＋2)＝1.(2)f(eq\f(1,1001))