第4章时间序列

第四章

时间数列分析

第一节时间数列及分析方法概述第二节时间数列的水平指标分析第三节时间数列的速度指标分析第四节时间数列分析时间数列指标小结

第一节时间数列及分析方法概述

一、时间数列的概念二、时间数列的分类三、编制时间数列应注意的问题四、时间数列分析方法及作用

第一节时间数列及分析方法概述

一、时间数列的概念1.同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列。2.形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成。3.排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式。

时间数列又称时间序列，其数据用于研究其发展变化的水平和速度，并以此来预测未来。时间数列分析是常用的一种统计方法。例：例指标2012年2011年2010年2009年国民总收入(亿元)516810.05468562.38399759.54340319.95国内生产总值(亿元)519470.1473104.05401512.8340902.81第一产业增加值(亿元)52373.6347486.2140533.635226第二产业增加值(亿元)235161.99220412.81187383.21157638.78工业增加值(亿元)199670.66188470.15160722.23135239.95建筑业增加值(亿元)35491.3431942.6626660.9822398.83第三产业增加值(亿元)231934.48205205.02173595.98148038.04人均国内生产总值(元)38459.4735197.7930015.0525607.53二、时间数列的分类时间数列按照所列入指标数值的不同可分为：绝对数动态数列相对数动态数列平均数动态数列时期数列时点数列例：？？人均粮食消费量（公斤）？关于时期数列与时点数列↓时期数列特点：数列中各个指标值是可加的；数列中每个指标值的大小随着时期的长短而变动；数列中每个指标值通常是通过连续不断

的登记而取得。时点数列特点：数列中各个指标值是不能相加的；数列中每个指标值的大小与时间间隔的长短没有直接关系；数列中每个指标值通常是按期登记一次取得的。三、编制时间数列应注意的问题

基本原则是遵守其可比性。

具体说有以下几点：

注意时间的长短应统一；总体范围应该一致；指标的经济内容应该相同；指标的计算方法和计量单位应该一致。四、时间数列分析方法及作用

时间数列分析常用方法有：指标分析法和成分分析法时间数列对于现象发展动态分析具有十分重要的意义，其主要作用可概括为以下几个方面：第一，时间数列可以反映现象发展变化过程和历史情况；第二，利用时间数列计算动态分析指标，可以反映现象发展变化的方向、速度、趋势和规律。第四，将多个时间数列纳入同一模型中研究，可以揭示现象之间相互联系的程度及动态演变关系。第三，利用时间数列对现象发展变化趋势与规律的分析，可以进行动态预测。

第二节时间数列的水平分析指标

属于现象发展的水平分析指标有：

一、发展水平

二、平均发展水平

三、增长量

四、平均增长量。

一、发展水平

发展水平

指时间数列中每一项指标数值设时间数列中各期发展水平为：最初水平中间水平最末水平（N项数据）（n+1项数据）或：它表示现象在某一时间上所达到的一种数量状态。它是计算其他时间数列分析指标的基础。基期水平报告期水平二、平均发展水平

→平均发展水平是对不同时期的发展水平求平均数，统计上又叫序时平均数。（一）一般平均数与序时平均数的区别（二）序时平均数的计算方法⒈计算绝对数时间数列的序时平均数⑴由时期数列计算，采用简单算术平均法⑵由时点数列计算

①由连续时点数列计算

②由间断时点数列计算⒉计算相对数时间数列的序时平均数

3.平均发展水平计算总结平均发展水平计算总结序时平均方法总量指标时期数列简单算术平均时点数列连续时点间隔相等简单算术平均间隔不等加权算术平均间断时点间隔相等两次简单平均间隔不等先简单后加权相对指标、平均指标视情况选用：先平均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等一般平均数与序时平均数的区别：计算的依据不同：前者是根据变量数列计算的，后者则是根据时间数列计算的；

说明的内容不同：前者表明总体内部各单位的一般水平，后者则表明整个总体在不同时期内的一般水平。⑴由时期数列计算，采用简单算术平均法【例】年份能源生产总量（万吨标准煤）199419951996199719981187291290341326161324101240001994-1998年中国能源生产总量【例】问：1994-1998年间，中国年平均能源生产总量是多少？①由连续时点数列计算对于逐日记录的时点数列可视其为连续

※间隔相等时，采用简单算术平均法日期6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日收盘价16.2元16.7元17.5元18.2元17.8元解某股票连续5个交易日价格资料如下：【例】问：该股票5日平均收盘价是多少？①由连续时点数列计算

※间隔不相等时，采用加权算术平均法对于逐日记录的时点数列,每变动一次才登记一次某企业5月份每日实有人数资料如下：日期1~9日10~15日16~22日23~31日实有人数

780784786783解【例】问：该企业5月平均实有人数是多少？②由间断时点数列计算每隔一段时间登记一次，表现为期初或期末值

※间隔相等

时，采用简单序时平均法一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初时间3月末4月末5月末6月末库存量(百件)66726468解：第二季度的月平均库存额为：某商业企业1999年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存额【例】

※间隔不相等

时，采用加权序时平均法90天90天180天一季度初二季度初三季度初次年一季度初时间1月1日5月31日8月31日12月31日社会劳动者人数362390416420单位：万人某地区1999年社会劳动者人数资料如下【例】解：则该地区该年的月平均劳动者人数为：⒉计算相对数时间数列的序时平均数基本公式⑴a、b均为时期数列时月份一二三计划利润（万元）200300400利润计划完成程度（﹪）125120150某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下因为所以，该厂一季度的计划平均完成程度为：【例】求该厂一季度的计划平均完成程度。⑵a、b均为时点数列时⑶a为时期数列、b为时点数列时月份三四五六七工业增加值（万元）11.012.614.616.318.0月末全员人数（人）20002000220022002300【例】已知某企业的下列资料：要求计算：①该企业第二季度各月的劳动生产率；②该企业第二季度的月平均劳动生产率；③该企业第二季度的劳动生产率。

C:劳动生产率基本公式四月份：五月份：六月份：解：①第二季度各月的劳动生产率：③该企业第二季度的劳动生产率：②该企业第二季度的月平均劳动生产率：三、增长量

又称增长水平，它是报告期水平与基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平。说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量。其计算公式为：增长水平=报告期水平-基期水平两个概念设时间数列中各期发展水平为：逐期增长量累计增长量二者的关系⒈⒉按所选基期的不同，分为：各逐期增长量之和等于相应时期的累计增长量。两相邻累计增长量之差等于相应时期的逐期增长量。四、平均增长量（逐期增长量的序时平均数）说明社会现象在一段时期内平均每期增加的绝对数量。第三节时间数列的速度指标分析动态数列的速度指标有：

发展速度

增长速度

平均发展速度和平均增长速度

发展速度指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的变动程度，也叫动态相对数。设时间数列中各期发展水平为：环比发展速度定基发展速度（年速度）（总速度）按选择的基期不同分为：环比发展速度与定基发展速度的关系：观察期内各个环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度。两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者，等于相应时期的环比发展速度。增长速度指增长量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平增长的程度按采用的基期不同分为：环比增长速度定基增长速度说明发展速度与增长速度性质不同。前者是动态相对数，后者是强度相对数；定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。是不同时间、同一空间的同一现象的数值对比，可以反映现象发展变化的相对程度（即发展速度）。

强度相对指标是两个性质不同而有联系的总量指标之间的对比，以反映现象之间的强度、密度和普遍程度。增长1%的绝对值指现象每增长1﹪所代表的实际数量定基增长速度增长1%的绝对值环比增长速度增长1%的绝对值各环比发展速度的平均数，说明现象每期变动的平均程度平均发展速度平均增长速度说明现象逐期增长的平均程度计算方法：水平法、累计法几何平均法（水平法）1.基本设定2.计算公式3.有关指标的推算几何平均法（水平法）即有从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度发展，经过n个时期后，达到最末水平an，有基本设定计算公式几何平均法（水平法）总速度环比速度有关指标的推算:几何平均法（水平法）⒈推算最末水平an

：⒉预测达到一定水平所需要的时间n：⒊计算翻番速度：翻番数有关指标的推算:几何平均法（水平法）解：【例】已知某化肥厂2000年的产量为20万吨，如果2010年产量翻1.5番，将会达到多少？平均增长速度为：解：【例】1980年我国生产水泥7986万吨，1994年达到40500万吨，计算1980年至1994年我国水泥产量翻了几番？每年平均增长速度为多少？

方程法（累计法）1.基本设定2.计算公式的推导3.求解方法4.水平法与累计法的比较方程法（累计法）从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度发展，经过n个时期后，达到各期实际水平之和等于各期推算水平之和基本设定计算公式的推导由基本设定有，各期推算水平分别为各期定基发展速度之和（该一元n次方程的正根即为平均发展速度）

①逐渐逼近法②查“累计法查对表”法【例】某公司2000年实现利润15万元，计划今后三年共实现利润60万元，求该公司利润应按多大速度增长才能达到目的。解：求解方法（关于的一元n次方程）累计法查对表递增速度间隔期1～5年平均每年增长﹪各年发展水平总和为基期的﹪1年2年3年4年5年………………14.9114.90246.92398.61572.90773.1715.0115.00247.25399.34574.24991.0415.1115.10247.58400.06575.571075.57………………先计算各年发展水平总和与基期水平之比两种方法的比较:几何平均法研究的侧重点是最末水平；方程法研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。平均发展速度的计算几何平均法：方程法：时间数列的速度分析指标时间数列的水平分析指标发展水平增长量平均发展水平平均增长量增长速度发展速度平均增长速度平均发展速度动态平均指标动态比较指标应用平均发展速度应注意的问题平均发展速度要和各环比发展速度结合分析；总平均发展速度要和分段平均发展速度结合分析；总平均发展速度要联系基期水平进行分析。

第四节时间数列分析一、时间数列的模型二、长期趋势测定三、季度变动测定一、时间数列的模型时间数列的构成因素时间数列的组合模型

影响时间数列变动的因素可分解为：（1）长期趋势（T）（2）季节变动（S）（3）循环变动（C）（4）不规则变动（I）可解释的变动—不可解释的变动时间数列的构成因素长期趋势长期趋势变动是时间数列中最基本的规律性变动。长期趋势，是指现象在一个相当长的时期内持续发展变化的总态势，如持续上升、下降和基本持平。长期趋势变动是由于现象受到各个时期普遍的、持续的、决定性的基本因素影响的结果。例如，一般情况下，由于人口增长、资源开发、科技进步等因素影响，社会生产的总量呈增长变动的趋势。季节变动现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动循环变动循环变动，是指社会经济发展中的一种近乎规律性的盛衰交替变动。其成因比较复杂，周期一般在一年以上，长短不一。循环变动按引起的原因和周期长短不同又可分为四种类型。即长期循环变动，主要是受重大技术革命影响的结果，周期可长达50—60年；中长期循环变动，周期在20年左右，造成这种循环变动的物质基础是由于建筑业的周期性波动；中期循环变动，周期约为8—10年，其变动的物质基础是周期性的固定资产的大规模更新；短期循环变动，周期约为2—4年，其形成原因可能是固定资产更新和周期性的技术变革。不规则变动不规则变动，是指除了上述各种变动以外，现象因临时的、偶然的因素而引起的随机变动，这种变动无规则可循，例如地震、水灾、战争等所引起的变动。从长期来看，有些偶然因素的个别影响是可以互相抵消一部分的。循环变动C（Cyclical）不规则变动I（Irregular）季节变动S（Seasonal）长期趋势T（Trend）经济周期:循环性变动繁荣拐点繁荣拐点衰退拐点萧条拐点复苏拐点时间数列的组合模型（1）加法模型：Y=T+S+C+I计量单位相同的总量指标对长期趋势产生的或正或负的偏差（2）乘法模型：Y=T·S·C·I计量单位相同的总量指标对原数列指标增加或减少的百分比常用模型如何确定该使用加法模型还是乘法模型？观察数列图形，如果数值偏离长期趋势部分的大小不随时间的改变而改变，那么，使用加法模型。观察数列图形，如果数值偏离长期趋势部分的大小随时间的改变而增加，那么，使用乘法模型。把握现象随时间演变的趋势和规律；对事物的未来发展趋势作出预测；便于更好地分解研究其他因素。测定长期趋势的基本方法：①观察散点图⑤趋势线拟合法测定长期趋势的意义：二、长期趋势测定④移动平均法②时距扩大法③半数平均法②时距扩大法时距扩大法是测定长期趋势最简便的一种方法。它是将原来时距较短的时间数列，加工整理成时距较长的时间数列，以便消除现象因时距较短而受偶然因素影响所引起的不均匀波动。通过扩大时距，可以整理出能呈现事物变动总趋势的新的时间数列。

③半数平均法将时间数列平均分为两部分，各求其平均数，然后在散点图上标出这两个平均数的点，联接两点成一直线即为长期趋势线。这种方法是利用平均数的代表性来削弱一些偶然因素的影响。它比移动平均法简单，但准确度不如后者。

移动平均法移动平均法的含义移动平均法的步骤移动平均法的特点对时间数列的各项数值，按照一定的时间间隔进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个新的时间数列。以此削弱不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。移动平均法的含义⒉计算各移动平均值，并将其编制成时间数列一般应选择奇数项进行移动平均；

奇数项移动平均偶数项移动平均若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。例子根据需要选择简单移动平均法、加权移动平均法、指数平滑法移动平均法的步骤：⒈确定移动时距加权移动平均法

如何选择权数？一般原则：近期数据的权数大，远期数据的权数小。通常可用k为最近一期的权数，依次减去1为前各期的权数。指数平滑法指数平滑法的基本理论指数平滑法的用法一次指数平滑法指数平滑法的基本理论指数平滑法是移动平均法中的一种，其特点在于给过去的观测值不一样的权重，即较近期观测值的权数比较远期观测值的权数要大。根据平滑次数不同，指数平滑法分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权数，新数据给予较大的权数，旧数据给予较小的权数。观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑。指数平滑法的用法指数平滑法是生产预测中常用的一种方法。也用于中短期经济发展趋势预测，所有预测方法中，指数平滑是用得最多的一种。当时间数列无明显的趋势变化，可用一次指数平滑预测。当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来进行预测仍将存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再进行二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型，故称为二次指数平滑法。若时间序列的变动呈现出二次曲线趋势，则需要采用三次指数平滑法进行预测。三次指数平滑是在二次指数平滑的基础上再进行一次平滑。一次指数平滑法基本公式St--时间t的平滑值；yt--时间t的实际值；St-1--时间t-1的平滑值；α--平滑常数，其取值范围为[0,1]预测公式时间t+1的趋势值时间t的实际值时间t的趋势值一次指数平滑法最适宜用于较平稳的时间序列，作短期的预测，即可令第t时点的值作为第t+1时点的预测值，即：由此可得预测公式：（4）选择误差小的值。应取大些（3）当时间数列波动很大时，呈现明显且迅速的上升或下降趋势时，宜选择居中的值（2）当时间数列波动较大时应取小一些（1）当时间数列呈较稳定的水平趋势时平滑常数选择的一般原则：移动平均法奇数项移动平均:原数列移动平均新数列移动平均移正平均新数列原数列移动平均法偶数项移动平均:原数列三项移动平均五项移动平均四项移动平均移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强；由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少，N为偶数时，趋势值数列首尾各少项；N为奇数时，首尾各少项；局限：不能完整地反映原数列的长期趋势，不便于直接根据修匀后的数列进行预测。移动平均法的特点趋势线配合法趋势线配合法基本含义趋势线拟合法的基本程序判断趋势类型直线趋势的测定趋势线配合法是通过数学方法对时间数列配合一条理想的趋势方程

，使其与原数列曲线达到最优拟合直线趋势方程曲线趋势方程……趋势线拟合法的基本程序判断趋势类型计算待定参数利用方程预测定性分析判断趋势类型绘制散点图分析数据特征当数据的一阶差分趋近于一常数时，可以配合直线方程当数据的二阶差分趋近于一常数时，可以配合二次曲线方程当数据的环比发展速度趋近于一常数时，可配合指数曲线方程tyi一阶差分yi-yi-11234na+ba+2ba+3ba+4ba+nb—bbbb直线趋势方程趋势线的选择tyi一阶差分二阶差分1234na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16ca+nb+n2c—b+3cb+5cb+7cb+(2n-1)c——2c2c2c抛物线趋势方程趋势线的选择tyiyi/yi-11234nabab2ab3ab4abn—bbbb指数曲线趋势方程趋势线的选择用最小平方法求解参数

a、b

，有直线趋势的测定直线趋势方程：经济意义：

数列水平的平均增长量年份tGDP(y)tyt21986198719881989199019911992199319941995199619971998123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合计91182505.81516487.3819【例】已知我国GDP资料（单位：亿元）如下，拟合直线趋势方程，并预测1999年的水平。预测0

1234567求解a、b的简捷方法0123-1-2-3取时间数列中间项为原点当t=0时，有N为奇数时，令t=…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…N为偶数时，令t=…，-5，-3，-1，1，3，5，…年份ttGDP(y)tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合计910182505.8238946.7182预测三、季节变动测定（一）季节变动因素的含义（二）季节变动测定的意义（三）季节变动测定的方法（一）季节变动因素的含义季节变动是指某些社会经济现象由于受自然条件或社会因素的影响，在一年或更短的时间内，随着时序的变化而引起的有规律的变动，表现为时间数列的波动，一般是纯季节原因造成的，也包括与季节无关的类似的变动。通常指现象年复一年重复出现的，在一年内依季节更替而呈现的具有规律性的周期变化。饮料的生产量及销售量在一年内的变化用电量在一年之内的增减蔬菜价格在一年内的波动鲜花销售每年的几个旺季每年旅客运输的高峰期……例如（二）季节变动测定的意义分析季节变动，掌握季节变动的规律，有利于指导当前的社会生产和各种经济活动。分析季节变动，可以根据季节变动的规律来配合适当的季节模型，结合长期趋势进行经济预测，规划未来。分析季节变动，有利于消除季节变动对时间序列的影响，更好的研究长期趋势和循环变动，提高长期趋势预测质量。（三）季节变动测定的方法季节变动测定的一般方法：根据某现象的发展水平或发展速度计算反映季节变动的指标，构成相应时间序列来说明季节变动，揭示季节变动规律，并可在此基础上做出季节变动预测。对于时间序列，有两种假设模型：Y=T·S·C·IY=T+S+C+I在乘法模型中反映季节变动的指标称季节指数,各季节指数的平均应为1。在加法模型中称季节变差，各季节变差之和应为0。根据是否考虑长期趋势因素的