高中数学人教A版第二章数列【省一等奖】

第一课时等差数列的前项和一、课前准备1.课时目标通过等差数列求和公式的发现，探究过程，掌握等差数列的前项和的公式的推导及应用，会利用等差数列通项公式与前项和公式研究的最值.常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展，通过例题及变式训练，进一步熟悉等差数列的通项公式与前项和公式之间的关系，使学生感受数学来源于生活，又服务生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题.2.基础预探1.任一等差数列中，与首末两项等距离的两相和相等，即.2.在等差数列的两个求和公式中，应根据题目条件灵活选用：时，宜选用，时，宜选用，因此等差数列前项和是关于的二次函数，且项为零，3.等差数列求和公式可以变形为，其中二、基本知识习题化1.在等差数列中，，求的前10项和.2..3.在等差数列中，已知，求.4.设等差数列满足，且，为其前项和，则的最大值是A.B.C.D.三、学习引领利用等差数列求和公式与求和，首先确定，或求解，，当是的一个二次函数，没有常数项，利用二次函数可以求的最大值或最小值.特别注意：的取值为自然数，也可以用二次函数的图像求解，如果有求一定要注意分两种情况进行求解.等差数列求和公式的推导是数列求和的一种方法即倒序相加，在遇到多项数列求和的问题，要注意倒序相加求和的方法.等差数列的性质是解决数学问题的关键，对于数列问题首先考虑的是等差数列的特性，利用数列的特性解决问题，等差数列有几个常用的特性①时满足；②在等差数列中，每项的和为等差数列，即仍成等差数列；③在等差数列中项数为偶数时，满足；当项数为奇数时满足，④，充分利用等差数列的性质解决问题可以起到事办功倍的效果.四、典型例题题型1利用等差数列的求和公式知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，由此可以求前项和的公式.思路导析：由与得到关于与的二元一次方程，解这个二元一次方程组可求与，与确定了，那么可求这个等差数列的前项和公式.解：，得，解得..规律总结：当与一旦确定，那么这个等差数列就确定了，与是等差数列的基本量，构造方程或方程组，运用方程思想解决问题.变式训练1.设为等差数列的前项和，，求.题型2等差数列中的最大项问题例2等差数列中，，求该数列前多少项的和最小？思路导析：写出前项和的函数解析式.解：设公差为，，即.又，，，有最小值.又当时，有最小值.解法二：，由，即，.解法三：,即，即.又前10项或前项和最小.方法四：可以用图象法，，.又数列的前10项或前项和最小.规律总结：在求等差数列中的最值问题可以上面的解题方法，充分利用等差数列的性质解题，把握解题方法，可以利用数形结合也可以用变量归一，进行合理的转化进行求解.变式训练2.在等差数列中，，，则数列的前项和最大？并求此最大值？题型3等差数列的性质的应用.已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足.求数列的通项公式；由通项公式构造一个新数列，若也是等差数列，求非零常数.思路导析：充分利用等差数列的特征.解：（1）为等差数列，，又，是方程的两实根.又公差，，.（2），又也是等差数列，即，即，解得.易知是等差数列，.变式训练3.在小于100的正整数中，共有多少个被3除余2的呢？这些数的和是多少？题型4已知数列的前项和，求数列的前项和.思路导析：对于求的和的问题，可以先求数列的通项，再分情况进行讨论求的和.解：当时，，当时，.也适合上式，数列的通项公式为.由，得，即当时，；当时，.当时，.当时，.故规律总结：遇到求的前项的和，要对数列的通项分情况进行讨论，一种是；另一种是，分别求出数列的和.变式训练4.在数列中，，且满足.求数列的通项公式；设，求.五、随堂练习在等差数列中，若，则等于（）..30C.2.已知等差数列的前项和为，且，则等于（）..18C.3.已知等差数列的前项和为，若，则此数列中绝对值最小的项为（）..6C4.设为等差数列的前项和，若则公差为.5.设为等差数列的前项和，若，则当取最大值时，的值为.6.已知等差数列的前项和为，若且，，则等于7.在小于100的正整数中，共有多少被3整除余2？这些数的和是多少？六、课后作业1.已知等差数列的前项和为，若，则等于（）..72C2.是首项为1，公差为等差数列，如果，则序号等于（）.A.６６７B.６６８C.６６９D.６７０3.设等差数列的前项和为，若，则当取最小值时，等于4.已知两个等差数列，它们的前项和分别是，若，则=.5.在等差数列中，已知，求它的前１０项之和.6.已知，问前多少项之和最大？前多少项之和的绝对值最小？参考答案二、基础预探1.2.【，时，常数项】3.二、基础知识习题化1.解：，，.解：解：解析：，故.令，得.当时，为最大值.变式训练1.解：由，得，解得..2.解：，即，即最大，最大值为169.3.解：，得，即，因此在小于100的正整数中，共有33个被3除余2.把这些数从小到大排出来的是，它们组成一个等差数列，其中，.4.解：（1），，数列是等差数列.设公差为，，.（2）对于，设，解得.当时，；当时，.所以随堂训练1.B解：，即，解：，3.C解：，，故此数列为递减数列，最小7.4.解：5.解：，当或5时，最大.6.解析：，即，即，即．，即，故7.解：将这些数按从小到大排列，设第个数为，则是等差数列，，则.令，解得.又的最大值为33，