第一章有理数

第一章有理数

1.1正数和负数课前预习1.读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些

是负数.-0.2,0，+5，-3.14,70，+，-

正数

；

负数

.2.如果-6表示向西走6米，那么+3表示

，原地不动记作

.3.如果将“零上22摄氏度”记作22℃，那么，

“零下10摄氏度”就记作：

℃.4.“高出海平面352米”记作+352米，那么“-20

米”表示

.低于海平面20米5.规定电梯上升为“+”，那么“上升-15米”

表示（

）A.电梯下降15米

B.电梯上升15米C.电梯上升0米

D.电梯没动A课堂精讲知识点1.正数和负数的概念由于实际需要，出现了一种新数，如：-3，-4.5，-，-27%，….于是我们把大于0的数叫做正数，例如1，，0.7，….在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数，例如：-1，，-0.7，….一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号，其中“+”号可以省略，而“-”号不能省略.有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”号，如+5，+0.5，，…就是5,0.5，，….注意：对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，以后会学到+(-3)不是正数，-(-2)也不是负数，而-a则不能确定它的符号.【例1】把下列各数分别填在相应的大括号里：+9，-1，+3，，0，，-15，，1.7正数集合：{

…}，负数集合：{

…}.

解析：依据定义，注意符号，0不属于其中任何一个集合.答案：正数集合有+9，+3，，1.7；负数集合有-1，，，-15变式拓展1.“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一

定是正数”的说法对吗？

答：不对，0既不是正数也不是负数.知识点2.用正、负数表示具有相反意义的量

正数和负数是根据实际需要而产生的，用它们可以表示意义相反的量，如“零上与零下”“收入与支出”“赢利与亏损”……，一个用正数表示，一个用负数表示，哪种意义为正，哪种意义为负，是可以任意选择的.但习惯上把“盈利、买进、收入、上升、零上温度”等规定为正；而把“亏损、卖出、支出、下降、零下温度”等规定为负.【例2】用正数和负数表示下列各组具有相反意义的量：（1）上升10米与下降10米；（2）收入10万元与支出5万元.解析：具有相反意义的量用正数、负数表示，习惯上将上升、收入等用正数表示，而用负数表示下降、支出等.解：（1）上升10米可以表示为+10米，下降10米

可以表示为-10米.

（2）收入10万元可以表示为+10万元，支出

10万元可以表示为-5万元.【例3】(2014钦州)如果收入80元记作+80元，那么支出20元记作(

)A．+20元

B.-20元

C.+100元

D.-100元

解析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.“正”和“负”相对，所以如果+80元表示收入80元，那么支出20元表示为-20元.答案：B变式拓展2.若一个月内，小明的体重增加2千克记作+2千克，

则小华的体重变化记作-1千克，小强的体重变化

记作0千克，分别表示什么意思?

答：小华体重减少了1千克，小强体重没有变化3.今年比去年利润率增长-16%的意义

是

.利润率减少了16%随堂检测1.如果气温上升3度记作+3度，下降5度记作-5度，

那么下列各量分别表示什么？

（1）+5度:

；

（2）-6度

；

（3）0度:

.2.向东走-8米的意义是（

）A.向东走8米

B.向西走8米C.向西走-8米

D.以上都不对气温上升5度气温下降6度气温没有变化B3.各写出两个比0℃高和低的温度：

.4.一种零件的内径尺寸在图纸上是10±0.05(单位：

毫米)，表示这种零件的标准尺寸是10毫米，加

工要求最大不超过标准尺寸

，

最小不小于标准尺寸

.5.某水库的平均水位为80米，在此基础上，若水位

变化时，把水位上升记为正数；水库管理员记录

了3月8月水位变化的情况（单位：米）：-5，-4，0，+3，+6，+8.试问这几个月的实际水位是

多少米？2℃和-2℃10.05毫米9.95毫米答：分别是75米、76米、80米、83米、86米、88

米.1.2有理数1.2.1有理数课前预习1.下列说法中，正确的是（

）A.正整数、负整数统称整数B.正分数、负分数统称有理数C.零既可以是正整数，也可以是负分数D.所有的分数都是有理数D2.把下列各数填入相应的集合中：+3，-1，0.81，

315，0，-3.14，，-12.9，+400%，，

5.15，115.分数集：｛

…｝；负数集：｛

…｝；非负整数集：｛

…｝.0.81，-3.14，

，-12.9，5.15115-1，-3.14，

，-12.9+3，315，0，+400％，3.在-3，，0，，2002各数中，是正数的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个4.在有理数中，是负数而不是整数的数是

；

既不是分数，也不是正数的是

；最小

的正整数是

,最小的自然数是

.B负分数负整数和010课堂精讲知识点1.有理数的概念整数和分数统称为有理数.（1）整数包括正整数、0、负整数，如-3，-2,0,1,2,3等.整数可以分为奇数(如-5，-3,-1,1,3,5，…)和偶数(如-4，-2,0,2,4，…).（2）分数包括正分数、负分数，如,0.18，-1.35，等.分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，同时有限小数或无限小数又都可以化为分数，如，，.所以有限小数和无限循环小数都属于分数.如3.17，-1.9等都是分数.

注意：有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率π不是有理数.【例1】在实数5，，0，，0.33有理数有(

)A.1个B.2个C.3个D.4个解析：根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案.5，，0，0.33是有理数.

答案：D变式拓展下列说法正确的是（

）A.正整数、正分数、0统称有理数B.正整数、负整数统称整数C.正有理数、0、负有理数统称有理数D.0不是整数C知识点2.有理数的分类

在认识了负整数和负分数后，对数的认识扩充到了有理数范围，有理数可以用以下两种方法来分类.（2）按有理数的性质符号为标准进行分类：（1）按有理数的定义为标准进行分类：

注意：（1）有理数的分类要按同一标准分类，做到既不重复，也不遗漏.

（2）两种分类有一个共同点：都是将有理数细分为五类，即正整数、正分数、0、负整数、负分数.

（3）习惯上，把正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)；把负整数、0统称为非正整数；正有理数、0统称为非负有理数；负有理数、0统称为非正有理数.

（4）零是整数，不是分数.【例2】把下列各数填入相应的集合中：-23，0.5，，28，0，4，，-5.2．整数集合：{

…}，正数集合：{

…}，负分数集合：{

…}，正整数集合：{

…}，有理数集合：{

…}．

解析：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．答案：整数集合：{-23，28，0，4}．正数集合：{0.5，28，4，}．负分数集合：{，-5.2}．正整数集合：{28，4}．有理数集合：{-23，0.5，

，28，0，4，，

-5.2}．变式拓展2.（1）如图，两个圈分别表示负数集和整数

集．请你把下列各数填入表示它所在的数集的

圈里：-20%，-2014，0，18.3，-1，，15，-0.52，-30（2）在图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？答案：（1）如图：

（2）在图中，这两个圈的重叠部分表示负整数的

集合.随堂检测1.下列说法中，正确的个数有（

）

①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理

数不是正的，就是负的；③一个整数不是正的，

就是负的；④一个分数不是正的，就是负的.A.1个B.2个C.3个D.4D2.下列既不是正数又不是负数的是（）

A.-1B.+3C.0.12D.03.下列一定是有理数的是（）A.πB.aC.a+2D.4.给出下列说法：①0是整数；②-

是负分数；③4.2不是正数；

④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数.

其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个DDC5.把下列各数填在表示集合的相应大括号中：+6，-8，-0.4，25，0，，9.15，整数集合：﹛

﹜；分数集合：﹛

﹜；非负数集合：﹛

﹜；正数集合：﹛

﹜；负数集合：﹛

﹜.+6，25，-8，0-0.4，

，9.15，+6，25，0，9.15，+6，25，9.15，-8，-0.4，1.2.2数轴课前预习1.四位同学画数轴如下图所示，你认为正确的是

(

)

2.下列结论正确的有

个（

）

①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴；

②最小的整数是0；③正数、负数和零统称有理

数；④数轴上的点都表示有理数A.0B.1C.2D.3CC3.在数轴上，表示+2的点在原点的

侧，距原点

个单位；表示-7的点在原点的

侧，距原点

个单位；两点之间的距离为

个单位长度.4.从数轴上表示-1的点开始，向右移动6个单位长

度，再向左移动5个单位长度，最后到达的终点

所表示的数是

.右2左7905.画出数轴并表示下列有理数.-4，，1，，3.5，0，.解：课堂精讲知识点1.数轴

（1）数轴的定义：规定了原点.正方向和单位长度的直线叫做数轴.如下图所示.

数轴的定义包含三层含义：①数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度；③注意“规定”二字，是说原点的位置、正方向的选取、单位长度大小的确定是根据实际需要规定的，解决具体问题时，可以根据情况灵活选定原点的位置，正方向的朝向，单位长度的大小.（2）数轴的画法

数轴的画法可分为四个步骤：①画一条水平的直线；②在直线上适当选取一点为原点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来(箭头标在画出部分的最右边)；④根据需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点.

注意：（1）画数轴时，原点可以在直线上任意选取，但必须有原点.（2）确定正方向时一般规定向右的方向为正，画上箭头，而反方向为负方向，一定不能画箭头.（3）单位长度的确定，可以根据实际需要灵活选取.注意在同一数轴上，单位长度的大小必须统一.选定后就不能随意改动了.【例1】下列数轴的画法正确的是(

)

解析：数轴就是规定了原点、正方向、单位长度的直线.数轴的这三个要素必须同时具备.A.正确；B.单位长度不统一，故错误；C.没有正方向，故错误；D.单位长度不统一，故错误.答案：A变式拓展1.数学课上老师让同学们进行画数轴比赛，甲、

乙、丙、丁四位同学画出的数轴如图所示：请你当裁判，谁获胜了？

答：甲所画的数轴，其方向不是正方向且单位

长度不一致；

乙所画的数轴，单位长度不一致；

丙所画的数轴，数的位置标得不对；

只有丁所画的数轴正确，所以判定丁获胜.知识点2.数轴上的点与有理数之间的关系

数轴是数形结合的基础，借助数轴可以探究点的运动，移动数轴上的点要注意方向.

一般地，设a是一个正数.则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度；数轴上表示0的点与原点重合.

注意：（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数.如数轴上表示π的点表示的就不是有理数(π是无限不循环小数，不能化成分数，所以不是有理数).

（2）正数可以用原点右边的点表示，反过来原点右边的点都表示正数，负数可以用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数，零用原点表示，反过来原点表示零.【例2】画数轴，并在数轴上表示下列各数：-2，，4，0.5，2.

解析：根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来.解：如下图：变式拓展2.下列说法正确的是（

）

A.数轴上所有的点都表示有理数

B.所有的有理数都可以用数轴上的点表示

C.数轴上距原点3个单位长度的点所表示的数是3

D.数轴上表示-a的点一定在原点左边

3.如果在数轴上点A表示-4，将A向右移动7个单位

长度,那么终点B表示的数为

，AB间的距离

为

.与点A相距7个单位长度的点所表示的

数为

.B3或-1137随堂检测1.在数轴上表示-2，0，6.3，的点中，在原点右

边的点有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.数轴上原点及原点左边的点表示的数是（）A.负数B.零和非负数C.正数D.非正数3.如图所示，点M表示的数是（

）A.2.5B.-1.5C.-2.5D.1.54.如果将数轴上的点B向右移动4个单位长度，再

向左移动3个单位长度，终点表示的数是0，那

么点B所表示的数是

.CD

C

-15.画出一条数轴，并借助数轴回答下列问题：

（1）有没有最小的的有理数、最小的正整数、最

小的非负数、最小的负数？

（2）有没有最大的正数、最大的负数、最大的非

正数？

（3）比4小的正整数有

.答：没有最小的有理数；最小的正整数是1；最

小的非负数是0；没有最小的负数.答：没有最大的正数，没有最大的负数；最大的

非正整数是0.3，2，11.2.3相反数相反数0相同-8-π7课前预习1.两个数只有符号不同，则称两个互为

；

0的相反数是

；互为相反数的两个数到原点

的距离

.2.8的相反数是

；

的相反数是π.3.若a=-7，则-a=

.4.化简下列各数：

（1）-(+10)；

（2）+(-0.15)；

（3）+(+3)；

（4）-(-20).解：（1）-(+10)=-10；（2）+(-0.15)=-0.15；

（3）+(+3)=3；

（4）-(-20)=20.5.下列各数中互为相反数的是（）A.5与-5B.0.3与C.2与+2D.-7与+(-7)课堂精讲知识点1相反数概念

（1）相反数的代数定义：像2和-2、5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，把其中一个数叫做另一个数的相反数.如2是-2的相反数，-2也是2的相反数.0的相反数是0，a的相反数是-a.

（2）相反数的几何定义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数，如下图中，-3和+3、+2.5和-2.5互为相反数.A

注意：①数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等；②数轴上与原点的距离是a(a是一个正数)的点有两个，分别在原点左右两边，表示-a和a，数轴上表示数0的点到原点的距离为0.

（3）相反数的特征：

①若a与b互为相反数，则a+b=0(或a=-b)；

②若a+b=0(或a=-b),则a与b互为相反数.【例1】写出下列各数的相反数，并把所有的数

(包括相反数)在数轴上表示出来.4，，，+(-4.5)，0，-(+3).

解析：根据相反数的定义写出各数的相反数，再画出数轴即可.解：4的相反数是-4；的相反数是；

的相反数是；

+(-4.5)的相反数是4.5；0的相反数是0；-(+3)的相反数是3；变式拓展1.-

的相反数是

；的相反数是

；

0的相反数是

.2.数轴上，点A与点B分别表示互为相反数的两个

数，且点A在点B的左边，A、B之间的距离为7个

单位长度，则点A代表的数是

.3.若实数a,b互为相反数，则下列等式中恒成立的

是（）A.a-b=0B.a+b=0C.ab=1D.ab=-10-3.5B知识点2.相反数的表示方法以及多重符号的化简（1）数

的相反数是-,这里的数

是任意有理数，即可以是正数、负数或0.当时，

(正数的相反数是负数)；当时，

(负数的相反数是正数)；当时，(O的相反数是O).以上说明，不一定就是负数.

（2）在一个正数前面加“-”号表示求它的相反数；加“+”号表示它本身，可以省略，若有多重符号时，则可以根据“-”号的个数确定结果的符号.若有奇数个“-”号，结果为负；若有偶数个“-”号，结果为正.【例2】化简下列各数:

，-(+3.69)，

-(-520)，-[-(+4.98)]，+[-(+58.6)].

解析：根据多重符号的化简规律：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正，求解即可.解：；-(+3.69)=-3.69；

-(-520)=520；-[-(+4.98)]=4.98；+[-(+58.6)]=-58.6.变式拓展4.一个数的相反数不小于它本身，这个数是（）A.负数B.零C.正数D.非正数5.化简下列各数：（1）-(+2.7)；（2）；（3）-[-(+2)]；

（4）

.D解：（1）-(+2.7)=-2.7；（2）

；（3）-[-(+2)]=2；（4）.随堂检测1.（2015萝岗区一模）-5的相反数是（）

A.5B.-5C.D.2.（2015郑州模拟）下列各组数中，互为相反数

的两个数是（）

A.-3和+2B.5和

C.-6和6D.和

3.（2014茂名）a的相反数是-9，则a=

．4.+3的相反数是

；

的相反数是-1.2；

与

互为相反数.AC91.2-35.数轴上与原点距离为2.5个单位长度的点

有

个，它们的和是

.6.写出下列各数的相反数，并在数轴上把这些相反

数表示出来：+2，-3，0，-（-1），-3.5，-（+2），-|-4|两0解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，

∴+2，-3，0，-（-1），-3.5，-（+2），

-|-4|的相反数分别是：-2，+3，0，-1，

+3.5，+2，+4，在数轴上表示为：1.2.4绝对值课前预习1.|+2|=

；|-3|=

；|0|=

；2.当a=

时，|a|=2；3.用“＞”，“＜”，“=”填空：

（1）0.7

0；（2）-6

4；（3）

.4.下列式子中成立的是(

)

A.-|-5|＞4B.-3＜|-3|C.-|-4|=4D.|-5.5|＜5230±2＞＞＜B5.若|a|＝-a，则数a在数轴上对应的点在（）A.原点右侧B.原点左侧C.原点或原点左侧D.原点或原点右侧C课堂精讲知识点1绝对值的意义和求法

（1）绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“|a|”，读作“a的绝对值”.数的绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能为负数.

如图，在数轴上，表示-2的点与原点的距离是2，即-2的绝对值是2，记作|-2|=2，同理，|1.3|=1.3.表示0的点与原点的距离是0，所以|0|=0.

（2）绝对值的代数意义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.或或

（3）绝对值的求法：绝对值是一种运算，可以根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，如|-8|=8，|0|=0；|+8|=8.

注意：求一个数绝对值即是求一个数到原点的距离，所以任何数都有绝对值，而且其绝对值是唯一的，一定是非负数.【例1】求下列各数的绝对值：-21，+，0，-7.8，-2.4.解析：根据绝对值的性质分别解答即可.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.解：；；；；

.【例2】数在数轴上的位置如图所示，化

简：.解：==-1+（-1）+1=-1.变式拓展1.（1）化简:│-(+3.2)│=

；-│-3.2│=

；-│-(-3.2)│=

；（2）若|x|=0,则x=

.2.绝对值不大于3的整数有

.3.2-3.2-3.20±3，±2，±1，0知识点2.绝对值的性质

（1）非负性，无论a取任何有理数，都有|a|≥0，即任何一个有理数的绝对值都是非负数；

（2）当|a|=a时，a取正数和0；

（3）当|a|=-a时，a取负数和0；

（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，绝对值相等的两个数相等或互为相反数；（5）若|a|+|b|+|c|+…=0，则有|a|=|b|=|c|=…=0，所以a=b=c=…=0.【例3】（1）已知|x-1|=0，求x的值；

（2）已知|x+1|+|y-1|=0，求x+y的值.

解析：本题主要考查了绝对值的性质，非负数的性质，能够根据已知条件正确地判断出x、y的值是解答此题的关键.（1）根据题意得出x-1=0，求解即可；（2）根据非负数的性质，可得出关于x，y的方程组，求解代入计算即可.解：（1）∵|x-1|=0，∴x-1=0，解得x=1；

（2）∵|x+1|+|y-1|=0，

∴x+1=0，y-1=0，

解得x=-1，y=1，

∴x+y=0.变式拓展3.若m＜0，则m+|m|等于（

）A.0B.-2mC.2mD.不确定4.若|x|=7,|y|=12,且x＞y,则x+y=

.A-5或-19知识点3.有理数的大小比较

（1）利用数轴比较有理数的大小.

数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.

（2）根据正数、负数、0在数轴上位置的不同比较两个数的大小.

①正数大于0,0大于负数，正数大于负数；

②两个负数，绝对值大的反而小.

注意：两数比较大小，按数的性质符号分类，具体如下：

（1）两数同号；

（2）两数异号：正数大于负数；

（3）一数为0.【例4】把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来.3.5，0，-4，2，.

解析：解答此题要用到以下概念：数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；

（1）从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应零.

（2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数.

（3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.

（4）若从点A向右移动|a|个单位，得到B，则B点坐标为A的坐标加|a|，反之B点坐标为A的坐标减|a|.解：数轴如下图所示：由数轴可知：-4＜

＜0＜2＜3.5.变式拓展5.(2014秋•大姚县校级期末)把下列各数在数轴上

表示出来，并用“＜”将它们连接起来.3，-1.5，，0，2.5，-4.比较大小：

＜

＜

＜

＜

＜

.-4-1.502.53解：在数轴上表示为：6.如下图所示，根据有理数在数轴上的位置，下列

关系正确的是（

）A.B.C.D.D随堂检测的相反数的绝对值是

.绝对值最小的有理

数是

.的绝对值是

；绝对值等于的数

是

，它们互为

.3.当|a|=-a时，a

0（选填“>”“<”或“

=”）；当a＞0时，|a|=

.4.|x|=7，则x=

；|-x|=7，则x=

.5.若|x-3|+|y+2|=0，则|x|+|y|=

.6.（2014南宁）比较大小：-5

3（选填“

>”“<”或“=”）．0相反数≤a±7±75＜1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法（一）5课前预习1.计算：10+(-5)=______；（-

）+=_______；(-2)+(-3)=______；（-

）+0=_______.2.气温从-3℃上升5℃后是____℃,列式并计算

.3.-1+3等于（）A.2B.-2C.4D.-42-3℃+5℃=2℃A4.若|a|=3，|b|=2，且a、b异号，则a+b=（）A.5B.1C.1或者-12D.5或者-55.计算：（1）（-4）+（+5）=

；（2）(-3.5)+(+2.8)=

；（3）=

.C1-0.70课堂精讲知识点.有理数的加法法则

（1）有理数的加法法则如下：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加的0.

③一个数同0相加，仍得这个数.

（2）方法与技巧：进行有理数的加法运算时，要先观察相加两数的符号，再确定和的符号，最

后计算和的绝对值，具体如下表：加数

和符号绝对值同号相同的符号相加异号绝对值不相等绝对值较大的加数的符号相减(大减小)互为相反数0与0相加仍得这个数【例1】直接写出计算结果：（1）（-12）+13=

；（2）-3+（-2）=

；（3）

+（

）=

；（4）（-3.5）+2=

；（5）

=

；（6）=

.解析：根据有理数的加法法则进行计算即可．答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.变式拓展：1.（2015杭州模拟）下列各数中，与

的和为0的

是（）

A.3B.-3C.3D．

2.（2014北海）计算（-2）+（-3）的结果是（）

A.-5B.-1C.1D.53.若a＞0,b＜0,|a|＜|b|,则a+b

0.随堂检测1.（2014山西）计算-2+3的结果是（）

A.1B.-1 C.-5 D.-6DA＜A2.（2014防城港）下面的数中，与-2的和为0的是

（

）

A.2B.-2C.D.

3.（2014秋埇桥区校级期中）已知|m|=5，|n|=2，

且n＜0，则m+n的值是

.4.（2015武昌区校级模拟）计算：（-4）+9=

．5.计算-2015+2017=

．6.计算：-1+|-2|=

．A3或-75211.3.1有理数的加法(二)课前预习1.用字母表示加法交换为：

,

表示加法结合律为：

.2.下列变形，运用加法运算律正确的是(

)

A.3+(-2)=2+3 B.4+(-6)+3=(-6)+4+3

C.[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2 D.+(-1)+(+)=(+)+(+1)3.计算（1）7+(-6.9)+(-3.1)+(-8.7)；（2）.a+b=b+a（a+b）+c=a+(b+c)B解：（1）原式=[(-6.9)+(-3.1)]+[(-8.7)+7]=-10+(-1.7)=-11.7；（2）原式===2.课堂精讲知识点.有理数加法的运算律

（1）有理数加法的运算律如下：

①加法交换律：a+b=b+a；

②加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；符号相同的数先相加——“同号结合法”；分母相同(或分母成倍数易化成同分母)的数先相加——“同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”.（2）在运用运算律时，一定要根据需要灵活运

用，

以达到简化运算的目的，通常有下列规律：【例1】计算.（1）(-3)+40+(-32)+(-8)；（2）

+()+()+(-8.25)；（3）5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1)；（4）(-0.5)+

+2.75+().解析：（1）将后面三个数结合，再根据有理数的加法法则计算即可（凑整法、相反数结合法）；

（2）将第一、三两个数结合，第二、四两个数结合，再根据有理数的加法法则计算即可（同分母结合法）；

（3）将正数与负数分别结合，再根据有理数的加法法则计算即可（凑整法、同号结合法）；

（4）将第一、四两个数结合，第二、三两个数结合，再根据有理数的加法法则计算即可（同分母结合法）.解：（1）原式=40+[(-32)+(-8)]+(-3)=40+(-40)+(-3)=-3+0=-3（2）原式=[+()]+[()+(-8.25)]

=7+(-9)=-2（3）原式（4）原式=[(-0.5)+(-5)]+[3+2.75]=-6+6=0=10+(-10)=0变式拓展1.计算下列各题

（1）(-2.4)+(-3.7)+(+4.2)+0.7+(-4.2)；

（2）

.解：（1）(-2.4)+(-3.7)+(+4.2)+0.7+(-4.2)=[(-2.4)+(-3.7)+0.7]+[(+4.2)-4.2]=-5.4+0=-5.4（2）随堂检测1.（2014秋邵阳县期末）下面计算错误的是（）

A.（-11）+（-17）=-28B.C．D.(-9)+9=02.计算（-3）+（-9）的结果等于

．3.一组数：1，-2，3，-4，5，-6，…，99，-100，

这100个数的和等于

．B-12-504.（1）

；（2）（-7）+（-11）+（+13）+9；（3）

；（4）25.3+（-7.3）+（-13.7）+7.3.解：（1）原式==0-1+=-（2）原式=（11+9）+（-7-13）=20-20=0（3）原式=-10+[+（）]=-10+（-5）

=-15（4）原式=25.3+（-7.3）+（-13.7）+7.3=[25.3+7.3]+[（-7.3）+（-13.7）]=32.6-21=11.61.3.2有理数的减法（一）课前预习1.比0小4的数是

；4比-9大

.2.计算：(-8)-9=______；--（-

）=

.3.2-|-3|=_____.4.计算：（1）0-（-18）=

；（2）6.25-（-)=

；（3）（-）-（+

）=

.-413-17-3-11814-2课堂精讲知识点.有理数的减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数.（1）有理数的减法，不能像小学里那样直接减，需要现将减法转化为加法，再按有理数的加法法则和运算律计算；（2）将减法转化为加法时，注意“两变一不变”，即一是减法变加法；二是减数变为它的相反数而被减数不变.【例1】计算：（1）2-(-3)；

（2）0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)解析：利用有理数的减法法则将减法转化为加法

进行运算.解：（1）2-(-3)=2+3=5；

（2）0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)=0+3.72+(-2.72)+4=(0+4)+(3.72-2.72)=4+1=5变式拓展1.（2015红桥区一模）计算（-2）-3的结果等于

（

）

A.-1B.-5C.5D.1B2.计算：（1）[(-5)-(-8)]-(-4)；（2）2-[(-3)-10].解：（1）[(-5)-(-8)]-(-4)=(-5)+8+4

=(-5)+(8+4)=(-5)+12=7

（2）2-[(-3)-10]=2-[(-3)+(-10)]

=2-(-13)=2+13=15随堂检测1.（2015蚌埠二模）计算：-3-|-6|的结果为

（

）

A.-9B.-3C.3D.92.（2015岳池县模拟）计算1-5等于（）

A.6B.4C.-4D.-6AC3.（2015武汉模拟）计算4-（-6）的结果为

．4.（2014百色）计算：2000-2015=

．5.若x=4，则|x-5|=

．6.计算：（-5）-（+1）-（-6）．10-151

解：原式=（-5）+（-1）+（+6）=（-6）+（+6）=01.3.2有理数的减法（二）B课前预习1.把+3-(+2)-(-4)+(-1)写成省略括号的形式是

（

）A.-3-2+4-1B.3-2+4-1

C.3-2-4-1D.3+2-4-12.运用交换律和结合率计算：（1）3-10+7=3___7___10=___；（2）-6+12-3-5=____6____3____5____12=_____.3.计算（1）-7-(+7)-(-15)-1=

；（2）0-1+2-3+4-5=

.+-0---+-20-3课堂精讲知识点1.省略加号的和式及读法

在和式里可以把加号及加数前面的括号省略不写，以简化书写的形式.如(-20)+(-3)+(+2)+(-5)可以写成-20-3+2-5，这个式子有两种读法：

①按加法的结果来读：负20、负3、正2、负5的和；②按运算来读：负20减3加2减5.【例1】把2-(-3)+(-5)-(+4)+写成省略加号的和

的形式，并把它读出来.解析：先将加减混合运算统一成加法运算，再写

成省略加号的形式.解：2-(-3)+(-5)-(+4)+=2+(+3)+(-5)+(-4)+=2+3-5-4+读作：正2，正3，负5，负4，正的和，或读作：

2加3减5减4加

.变式拓展1.把(-1)-(+3)+(-5)-(-13)写成省略加号的和的

形式是

.-1-3-5+13知识点2.有理数的加减混合运算

有理数加减混合运算的方法步骤

（1）写成省略加号、括号的形式.运用减法法则将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，然后省略加号和括号；

（2）运用加法法则：加法交换律、加法结合律、使运用简便，其原则是：正数和负数分别相结合，同分母分数或比较容易通分的分数相结合；互为相反数的两数相结合；其和为整数的两数相结合；带分数一般化成假分数或整数和分数两部分，再分别相加.

规律总结：在运算过程中，遵循以下原则：

（1）正数和负数分别相结合；

（2）同分母分数或比较容易通分的分数相结

合；

（3）互为相反数的两数相结合；

（4）其和为整数的两数相结合；

（5）带分数一般拆成整数和分数两部分，再

分别相加.【例2】计算：(-0.8)-()-()+-|-2|解析：本题考查有理数加减混合运算，原式利用减

法法则变形，计算即可得到结果.解：原式=-0.8-7.4++-2=-1.2.变式拓展2.计算：（1）36-76+(-23)-105；（2）|-21.76|-7.26++(-3)；（3）-4.2+5.7-8.4+10；（4）6.1-3.7-4.9+1.8.

解：（1）原式=36-76-23-105=36-204=-168；

（2）原式=21.76-7.26+2.5-3=17-3=14；

（3）原式=-12.6+15.7=3.1；

（4）原式=7.9-8.6=-0.7.随堂检测1.把6-（+3）-（-7）+（-2）写成省略括号的形式

应是（）

A.-6-3+7-2B.6-3-7-2

C.6-3+7-2D.6+3-7-22.下列算式和为4的是（）

A.（-2）+（-1） B.（

）-（

）+2

C.0.125+（

）-()

D.3.计算：（-73）+9.1-（-7）+（-9），正确的结

果是（）

A.-79.9B.61.9C.-65.9D.65.9CCC4.计算：-15-（-8）+（-11）-12=

．5.计算：-20+（-14）-（-18）-13．6.计算：5.6+[0.9+4.4-（-8.1）]．-30

解：原式=（-20）+（-14）+18+（-13）=-（20+14+13）+18=-47+18=-（47-18）=-29

解：原式=（5.6+4.4）+（0.9+8.1）=10+9=191.4有理数的乘除法1.4.1有理数的乘法（一）课前预习1.（2015杭州模拟）-3×（-3）=（）

A.

B.-9C.9D.-2.-6的倒数是（）A.6B.-6C.

D.-3.如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同

侧，那么这两个有理数的积（）A.一定为正2B.一定为负C.为零D.可能为正，也可能为负CDA4.计算(-3)×2=

.5.计算：（1）=

；（2）=

；

（3）

=

.-616015课堂精讲知识点1有理数的乘法法则

有理数的乘法法则:（1）两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；（2）任何数与0相乘,都得0.

注意：法则中的“同号得正，异号得负”是专指两数相乘.有理数乘法的运算步骤为：①先确定积的符号；②再确定积的绝对值.【例1】计算：（1）；（2）-4

；

（3）-2014.解析：两数相乘，根据乘法法则，先确定积的符

号，再把绝对值相乘即可.解：变式拓展1.计算：（1）=

；（2）24=

；

（3）

=

；

（4）=

.-1200知识点2.倒数的概念 乘积是1的两个数互为倒数.当a≠0时，a与互为倒数；当m≠0，n≠0时，与互为倒数.如2互为倒数.相同点：倒数与相反数都是成对出现的.不同点：（1）互为倒数的两个数的乘积为1；互为相反数的两个数和为0.

（2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.

规律总结：（1）一个不为0的整数的倒数就是这个数分之一；（2）一个真分数的倒数就是把这个分数的分子和分母交换位置；（3）求一个带分数的倒数要先把带分数化为假分数，然后交换分子、分母的位置；（4）求一个小数的倒数要先把小数化为分数，然后再求其倒数.【例2】求下列各数的倒数.（1）-2；（2）；（3）0.25；（4）.解：（1）-2的倒数是；（2）的倒数是；（3）0.25即，它的倒数是4；（4）先写成假分数，它的倒数

是.变式拓展：2.（2015彭州市校级模拟）-|-3|的倒数是（）

A.-3B.-C.D.33.-2.5的倒数是

,相反数是

.B-0.42.5随堂检测1.（2015台州一模）计算-4×2的结果是（）

A.-6B.-2C.8D.-82.（2014天津）计算（-6）×（-1）的结果等于

（

）

A.6B.-6C.1D.-1DA3.（2014荆州）若□×（-2）=1，则□内填一个实

数应该是（）

A.B.2C.-2D.-4.（2014镇江）计算：（-

）×3=

．5.（2015宜宾校级模拟）的倒数是

，

-2015的倒数是

．D-11.4.2有理数的乘法（二）课前预习1.乘法分配律用等式可表为

.2.（-4）××0.25=（）

A.-B．C．D.-3.

这个式子的运算没有用到（）

A.乘法结合律B.乘法交换律

C.分配律D.乘法交换律和结合律4.计算：（-+-）×24（a+b）c=ac+bcAC解：原式=-12+16-6=-2课堂精讲知识点.有理数乘法的运算律

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等.用字母表示ab=ba.

乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前面两个数相乘，或则先把后面两个数相乘，积相等，用字母表示（ab）c=a（bc）

乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，用字母表示为a(b+c)=ab+ac.

注意：（1）在用交换律交换因数的位置时，要连同符号一起交换.（2）利用分配律进行计算时，不要漏乘，不要弄错符号.【例1】计算：（1）；（2）；（3）；（4）-3.14×35.2+3.14×(-46.4)-3.14×18.4.解析：（1）原式第1、第3个因数项结合，第2、第4个因数项结合，约分即可得到结果；

（2）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；

（3）原式第1个因数变形后，利用乘法分配

律计算即可得到结果；

（4）原式逆用乘法分配律即可得到结果.解：（1）原式=-3×(-)×(-)×=-；（2）原式=-36+16-30+21=-29；（3）原式=(10-)×(-15)=-150+=-149；（4）原式=-3.14×(35.2+46.4+18.4)=-3.14×100=-314.变式拓展1.计算：（1）；（2）．解：（1）原式=；

（2）原式=-（0.25×4×）=

．随堂检测1.算式可以化为（）

A.-3×4- B.-3×4+3C.-3×4+ D.-3×3-32.下列计算中，错误的是（）

A.（-6）×（-5）×（-3）×（-2）=180

B.（-36）×（）=-6+4+12=10

C.（-15）×（-4）×（+）×（-）=6

D.-3×（-5）-3×（-1）-（-3）×2=24ACA-8解：原式=25×+25×+25×，=25×（

++）=25×=．3.计算：（-8）××0.125=（）

A.-

B.C．D.-4.计算：（-）×24=

．5.计算：25×-（-25）×+25×

．6.计算：.解：原式==-40+55+56=71．1.4.3有理数的除法（一）B93-1课前预习1.若两个数的商是2，被除数是-4，则除数是（）

A.2B.-2C.4D.-42.=

；

=

.3.已知a与b互为相反数且a、b0,

的值为

.4.化简：（1）=

；（2）=

.5.计算：（1）=

；

（2）=

.-6课堂精讲知识点1.有理数的除法法则（1）有理数的除法法则：①法则一：一个数除以一个不等于0的数，等于从乘以这个数的倒数.用公式表示为

.②法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

（2）有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用：

①如果被除数和除数都是整数，且能整除，一般选用法则二进行计算，先确定商的符号，再将两数的绝对值相除.

②如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或则如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则一进行计算.【例1】计算.（1）()÷()；（2）(-2.7)÷(-0.4)；（3）；（4）15÷().

解析：（1）原式利用除法法则计算即可得到结果；（2）原式利用除法法则计算即可得到结果；（3）原式先计算括号中的运算，约分即可得到结果；（4）原式先计算括号中的运算，再计算除法运算即可得到结果.解：（1）原式=

；（2）原式=；（3