第十章+影响线及其应用

第十章影响线及其应用教学内容：影响线的概念，静力法和机动法绘制梁、刚架、的影响线，结点荷载作用下梁的影响线，利用影响线计算影响量，简支梁的绝对最大弯矩，内力包络图教学要求：1、了解用机动法绘制连续梁的影响线，连续梁的内力包络图绘制；2、理解影响线的概念，结点荷载作用下梁的影响线绘制，简支梁的绝对最大弯矩的概念；3、掌握静力法和机动法作静定梁、刚架的影响线，利用影响线求量值；确定简支梁的最不利荷载位置，计算其绝对最大弯矩值。重点：静力法作静定梁的响线。难点：内力包络图。§10-1影响线的概念§10-2静力法作静定梁的影响线§10-3结点荷载作用下梁的影响线第十章影响线及其应用§10-5机动法作静定梁的影响线§10-6利用影响线计算影响量§10-8最不利荷载位置的确定§10-10简支梁的绝对最大弯矩移动荷载：大小，方向不变，但作用位置可以随时间改变的荷载。目的：解决移动荷载作用下结构的内力计算问题。内容：1）在移动荷载作用下结构内力变化规律和范围；2）确定内力的最大值及相应的荷载位置——最不利荷载位置。方法：在各种荷载中抽象出单位荷载（P=1）。§10-1影响线的概念P=1P=1P=1P=1P=1P=1l0.250.50.751.0x利用平衡条件建立影响线方程:的影响线方程P1P2影响线的应用举例：l定义：当单位荷载（P=1）在结构上移动时，表示结构某一指定截面中某项内力变化规律的曲线，称为该项内力的影响线。（influenceline缩写为I.L.）特点：1）影响线是个函数图象。，y是影响量值，x代表单位活载P=1的作用位置。

2）影响线的形状不改变，与实际的荷载的大小、方向无关，只取决于单位荷载。

3）所描述的量值——反力、内力位置是固定的。P=1l0.250.50.751.0x

首先利用静力平衡条件方程建立影响线方程，然后由函数作图的方法作出影响线----静力法。§10-2静力法作静定梁的影响线步骤：

1.将单位荷载P=1放在结构上任意位置，适当选择坐标原点，用横坐标x表示单位荷载的位置；

2.利用平衡方程将某量值表达为x的函数，即列该量值的影响线方程；

3.将所列的影响线方程用图形表示出来，即得所求的影响线。P=1一、简支梁的反力影响线：（1）反力取向上为正。（2）选择坐标如图：RBRA1+I.L.RB1+I.L.RA（3）反力影响线无单位。（4）I.L.R

表示某支座反力因单位力移动而受影响变化的规律。（6）作简支梁反力影响线的规律：把某支座拆除,令该端向上发生单位线位移,此时梁的位移图即为该支座反力影响线。（5）绘制影响线时通常规定将正的纵标绘在基线上侧，负的绘在下侧，并注明正负号。P=1RBRA1+I.L.RB1+I.L.RA二、简支梁的弯矩、剪力影响线(1).当P=1在C截面左侧移动,研究截面右边(2).当P=1在C截面右侧移动。研究截面左边I.L.MCab/l+I.L.VC+a/l-b/l（2）简支梁弯矩影响线作法：左定a,右定b,作两相交线，其相交部分即为弯矩影响线。（P254）ab/l-1a/lb/l（4）弯矩影响线有长度单位。剪力影响线无单位。（3）简支梁剪力影响线作法：左定+1,右定-1，作两平行线分别交于远端零点，再过所求量值的截面作基线的垂线，相交部分即为剪力应影响线。（P255）

0例10-1：作外伸梁的(1)I.L.MBc-I.L.MBx1c/lI.L.VB左1--例10-1：作外伸梁的(1)I.L.VB左0x例10-1：作外伸梁的(1)I.L.VB右小结：1）作伸臂梁的反力及跨中截面内力的影响线时，可先作出无伸臂简支梁的相应影响线，然后向伸臂部分延伸即可。2）伸臂上截面的内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有值，而在截面以内部分影响线均为‘零线’。例10-2：作图示吊车支座B的反力影响线。支座B既是简支梁AB的右支座，又是BC的左支座当P=1在支座A以左和支座C以右移动时，支座B不受力，RB影响线为零。当P=1作用在支座B上时，RB=1当P=1在支座B左右相邻两跨间移动时，按直线规律变化。P=1P=1P=1相邻两简支梁AB的右支座反力影响线和BC梁的左支座反力影响线的组合。例10-3：作多跨梁的I.L.ＭK分析：分清基本部分和附属部分P=1当P=1在基本部分AC上移动时,附属部分不受力,基本梁部分的MK影响线为零线。P=1RC当P=1在附属部梁CD上移动时,基本梁为其支座,附属部分CD为一简支梁,影响线按简支梁绘出

l/2l/2I.L.MK0l/2l/2+l/4P=1当P=1在基本部分AC上移动时,当P=1在附属部梁CD上移动时,j111/20I.L.Vj2/31/3-+-绘制多跨静定梁影响线的规律：1.位于附属部分的支座反力或截面内力的影响线：当P=1在附属部分，其影响线与相应简支梁或悬臂梁的影响线相同；当P=1在基本部分，该影响线竖标为零；

2.位于基本部分的支座反力或截面内力的影响线：当P=1在基本部分，其影响线与相应简支梁或悬臂梁的影响线相同；当P=1在附属部分，该影响线为折线，在铰接处为折点，在竖向支座处为零。

I.L.MK0l/2l/2+l/4111/20I.L.Vj2/31/3解：(1)建立坐标系。以C为原点，向右为正。(2)MC的影响线：P=1P=1练习：利用静力法作截面C的弯矩、剪力影响线。竖向单位移动荷载只在BD梁上移动。I.L.MC06m-I.L.VC0+1(3)VC的影响线：思考一:哪些是内力图?是什么内力图?

哪些是影响线?是什么影响线?1、概念不同。内力图所反应的是荷载固定不动时，结构上不同截面内力值的大小影响线是指某固定截面的内力值由于单位荷载位置变化而受影响的规律。内力图与影响线的区别？

课后思考二:2、纵坐标含义不同：１）影响线的纵坐标表示活载移到该处时某固定截面上的内力量值。而内力图的纵坐标表示固定荷载作用下，该截面的内力值。２）剪力影响线竖标值无单位，剪力图竖标值为力的单位；弯矩影响线竖标值为长度单位，弯矩图竖标值为力长度单位3

）弯矩影响线正号画在基线上边，弯矩图画在受拉一侧。思考三：伸臂梁的支座反力，截面C的弯矩、剪力的影响线。与简支梁的影响线有和异同？练习：伸臂梁RA、RB、MC、VC的影响线（1）反力影响线DABE由平衡条件求得DABE（2）剪力影响线分段考虑：P=1在C以左，取C以右P=1在C以右，取C以左ba11（3）弯矩影响线练习：伸臂梁RA、RB、MC、VC的影响线练习:作MA,RA,MK,VK影响线.解:l/2l/2l/2KP=1AMA影响线lRA影响线1x<l/2MK=0VK=0X>l/2VKMKP=1VK=1MK=-(x-l/2)VK影响线1MK影响线l/2Bx

内力图与影响线的区别无图名内力图影响线量值MVI.L.MKI.L.VK固活固定荷载不同截面固定截面移动荷载横坐标横截面的位置单位活载所到之处纵坐标各截面的K截面弯矩弯矩值剪力值弯矩影响量剪力影响量量纲画图规定正号画在基线下面正号画在基线上面§10-3结点荷载作用下梁的影响线P=1l=4dAB主梁只承受结点荷载:（1）RA和RB与以前一样；C（2）I.L.MC

与以前一样；C点的纵标：KD（3）I.L.MK，先假设为非结点荷载，K点的纵标值由比例可得：在C、D两点间连一直线，即得MK影响线。I.LMDP=1l=4dABCKDI.LVK（4）I.LVK小结

1、先按直接荷载作用画出内力影响线；

2、投影各结点与影响线相交，各交点间连以直线。I.LMK11１、优点：

1）不用计算竖标就能画出影响线的轮廓2）用静力法所做出的影响线形状也可用机动法快速校核。２、理论依据：以虚位移原理为理论基础一、静定梁

§10-5机动法作静定梁的影响线3、机动法步骤（P267）

1）一去一加：约束反力影响量——去支承链杆，并代以正向的约束力Z。剪力影响量——去掉限制发生错动的约束，将刚结点改为滑动端，并代以一对正向的约束力Z。弯矩影响量——去掉限制两部分相对转动的约束，在连续杆上加铰，并代以正向的约束力矩Z。去掉与量值相应的约束,

带以正向的约束力2）使体系沿Z的正方向发生相应虚位移，作出荷载作用的虚位移图（图），该虚位移图即为影响线轮廓；

3）再令变形量为δz=1

，可进一步确定影响线的竖标的数值；

4）基线以上的影响线竖标为正号，基线以下的影响线取负号。4、约束反力影响线机动法绘制约束反力影响线原理令:δZ=1

P=1刚体体系的虚功原理P=15、弯矩影响线令机动法绘制弯矩影响线原理P=1α+

βαβ6、剪力影响线P=1C1CC2VCVC机动法绘制剪力影响线原理例：利用机动法作下图所示梁上B截面的弯矩、B左右剪力影响线。VB左VB左VB右VB右例：利用机动法作下图所示梁上B截面的弯矩、B左右剪力影响线。静定结构在拆除相应的‘一个约束’后，具有一个自由度，结构变为机构；拆除相应约束后，仍未静定的部分无虚位移。练习：习题10-1例：利用机动法作下图所示梁上Ma、Mb、Vb

、Mc

、Vc影响线。利用机动法作下图所示梁上Ma影响线003m1I.L.Mb

轮廓3.2m2m1m0.6m004m16Vb

I.L.轮廓000.20.80.150.250.12516m4m其余数据由三角形相似求解I.L.MC影轮廓11.64.8002m8mVd.I.L.100总结：1、绘制影响线必须以单位移动荷载移动区域为基线；2、机动法绘制影响线的步骤一去一加虚位移图单位变形量3、机动法作影响线的实质是什么？

将平衡问题化为几何问题来解决。4、结论“虚位移图即影响线”是否恒正确？只适用于垂直杆轴单位移动荷载情况练习：利用机动法求解习题10-4、18？abC计算时，应考虑影响线竖标的正负一、集中荷载的影响

先画出量值的影响线，某竖标表示单位活载移到该处时，量值的大小和方向。所以Pi的作用下，量值扩大到。根据叠加原理，可以得到梁在

P1、P2、…Pn共同作用下某量的数值为：§10-6利用影响线计算影响量

—影响线面积代数和AB二、均布荷载的影响：将均布荷载分解为无穷多个微小的集中荷载若有若干段均布荷载作用时，应逐段计算然后求和：例：利用影响线，求图示简支梁在已知荷载作用下截面C的剪力VC值。CDAB解：1）作VC影响线，并算出各有关竖标值；2）根据叠加原理计算剪力值思考：如何求截面C的弯矩MC值？练习：利用影响线求k截面弯矩、剪力。kl/2l/2l/2l/2解：Vk影响线1/21/21/21/2Mk影响线l/4l/4l/4

如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－），则此荷载所在位置称为最不利位置。利用影响线来确定荷载的最不利位置，对比较简单的情况可以直观地判断最不利位置。一、一个集中荷载对于单个移动的荷载，最不利位置是该荷载作用在影响线最大纵坐标处ymax，此时，§10-8最不利荷载位置的确定二、可动均布荷载：可以任意继续布置的均布荷载

当均布荷载满布影响线正号面积时，

当均布荷载满布影响线负号面积时，

三、行列荷载1.间距不变的多个（集中）荷载：将荷载密集处的集中力放在影响线最大或最小的位置，再试算，使最大者为最不利荷载位置⑤①P1P2Z影响线Cy2y1P1P2xZO①②②③P1P2y2y1③④P1P2④P1P2⑤一组集中力移动荷载作用下的最不利荷载位置，一定发生在某一个集中力（临界荷载）到达影响线顶点时才有可能，至于到底哪个是临界荷载，还需要去试算。2.对于三角形影响线，行列载荷作用下的临界载荷判定①将较密集处的荷载中，可能产生Zmax的若干荷载作为临界荷载，逐个作用在三角形影响线的顶点，验算是否满足条件：②若满足上述不等式，则Pcr

为临界荷载。③临界荷载Pcr作用在三角形影响线的顶点时，即竖标最大处,为荷载最不利位置，该截面对应的内力获得的量值最大。实际计算时，一般并不需验证所有荷载是否为临界力，只考虑那些数值较大、排列密集的荷载。例：图示简支梁上，作用着可以任意布置的均布活动载荷，荷载集度求：C截面的最大正剪力值和最大负剪力值。解：1）作VC的影响线，如图（b）所示。2）为了求VC的最大值，荷载应布满CB段，如图（d）所示。3）为了求VC的最小值，荷载应布满AC段，如图（c）所示。(c)(b)VC

I.L.-+3/74/7(d)4B3C例：两台吊车的轮压及轮距如图（a）。求:吊车梁AB上C截面的最大剪力、最大弯矩值。(2)确定最不利位置。把荷载密集处的荷载作用在C截面上。最不利位置有两种情况，如图（b）、（b’）。解：(1)分别作出的VC、MC影响线，如图（c）、（d）。方法一：试算法+-+（b）图荷载位置：(b’)图荷载位置：（3）故（b）图所示荷载位置为最不利位置。解：

1）分别作出VC、MC影响线，如图（c）、（d）。

(b)图中：

(b‘)图中：

故，（b）图所示荷载位置为最不利位置。＜＞＞＞方法二：判定法2）确定最不利位置３）求VＣmax

4)求ＭＣmax

练习：

图示简支梁，在图示吊车荷载作用下，求K截面的最大弯矩。已知：P1＝P2＝P3＝P4＝152kNKAB解：1）作MK的影响线2）确定MK的最不利荷载位置有如下两种情况：分别计算与荷载对应的MK值，并加以比较确定由比较知，第一种情况所示位置为MK的最不利位置。换算荷载是指集度为K的均布荷载，当它布满影响线全长时所产生的某一量值，与所给行列荷载产生的该量值的最大值ZMAX相等，即§10-9换算荷载(路、铁)——量值Z整个影响线的面积——行列荷载的换算荷载表10-1和表10-2为我国现行铁路“中-活载”和公路“汽车-10级”标准荷载的换算荷载K值，使用时应注意：1）仅适用于三角形影响线；2）加载长度l系指同符号影响线长度；3）a是影响线顶点至边端的最小距离与加载长度的比值。----a为合力与的距离

以左的荷载对K点的力矩之和一般地,使梁的跨中截面产生的临界荷载,也就是产生绝对最大弯矩的荷载。一、绝对最大弯矩的计算公式§10-11简支梁的绝对最大弯矩当行列荷载移至与梁上合力对称于梁中央时，下面截面的弯矩达到最大值。实际做法：1、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷载Pcr；2、计算梁上合力R及与临界力距离a；3、移动荷载组，使R与Pcr位于梁中点两侧a/2处。若没有荷载移出或移入梁，由上式计算绝对最大弯矩

；若有荷载移出或移入梁，从第2步重新计算。一、绝对最大弯矩的计算公式§10-11简支梁的绝对最大弯矩二、推导：以左的荷载对K点的力矩之和令:当时，即R与关于跨中对称PK所在截面的弯矩最大例：图所示为吊车梁。移动荷载为两台吊车，其四个轮压为试求吊车梁的绝对最大弯矩。解：（1）先设在合力R之右。合力为：（2）研究吊车轮压,对P2作用点取矩，求得R与PK的距离。P3P2P1Ra0.54m0.54m（3）求绝对最大弯矩把P2和R对称地放在梁跨中点C的两边如图（b）,这时作用在梁上的荷载没有变化，仍为和同样，可以计算出作用点截面上的最大弯矩值也是730

1、包络图：将结构上截面的同类内力的最大值按一定比例尺用竖标表示出来，再用光滑曲线连接各点，所得的曲线图形称为内力的包络图。

2、总内力包络图：将固定荷载和移动荷载的影响分别加以考虑，然后将两者的影响叠加而成。§10-10

简支梁的内力包络图

一、概念例：画中单个活动集中力作用在简支梁时弯矩包络图、剪力包络图。集中力处弯矩最大值P=100kN87.587.5150187.5200187.5150M包络图(kN·m)12365807剪力影响线有两支P=100kN87.51007562.55037.52512.512.587.51002537.55062.575V包络图(kN)12365807一、单个活动集中力作用在简支梁时弯矩包络图、剪力包络图P=100kN12365807将梁分为六等份，按前面的方法求出各等分点处的最大弯矩值（由于对称只需要算一半），将各分点截面的最大弯矩值用光滑曲线连接各点，便得一组移动荷载作用下的弯矩包络图。例：画如图示承受两台吊车作用的6m跨吊车梁弯矩包络图、剪力包络图。（1）先作弯矩包络图。P1=P2=P3=P4=324.5kN4.8m1.45m4.8m6×1m=6m(a)1234560P1P2P4P3弯矩包络图控制面462.4708.5738.2708.5462.4738.2752.5752.5708.5708.5462.4462.4462.4570.5054.2354.4137.8246.02.1654.2462.4570.5354.4137.80(kN▪m)(b)弯矩包络图

(kN▪m)(c)剪力包络图

(kN)(d)或：P3=PKP1=P2=324.5kN4.8m1.45m4.8m6×1m=6m(a)1234560P1P2P4P3P3=P4=324.5kNP2=PK462.3剪力包络图控制面462.4708.5738.2708.5462.4738.2752.5752.5708.5708.5462.4462.4462.4570.6054.1354.3137.8246.1246.154.1570.6354.4137.80(kN▪m)(b)弯矩包络图

(kN▪m)(