阶段质量检测(二)点、直线、平面之间的位置关系

第1页 共9页阶段质量检测（二） 点、直线、平面之间的位置关系(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l与平面α不平行，则()A．l与α相交B．l?αC．l与α相交或l?αD．以上结论都不对解析：选C直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l?α.2．若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．不确定解析：选C若直线a与平面α不垂直，则当直线a∥平面α时，平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a?平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．所以，若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线有无数条．3．(广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：选D 由直线l1和l2是异面直线可知 l1与l2不平行，故 l1，l2中至少有一条与 l相交．4．已知直线 m，n是异面直线，则过直线 n且与直线 m垂直的平面( )A．有且只有一个 B．至多有一个C．有一个或无数多个 D．不存在解析：选B 当异面直线互相垂直时满足条件的平面有 1个，当异面直线互相不垂直时满足条件的平面有 0个．故选 B.5．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是 ( )第2页 共9页A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD解析：选C 如图所示，由于 PA⊥平面ABCD，且底面 ABCD为矩形，所以PA⊥BD(即D正确)，BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．6.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝25，则异面直线BD与AC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则∥ACA1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.7.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面

B1D1的中点，直( )解析：选A连接A11，AC，则11∥，所以A，C，C1，A1CACAC四点共面，所以A1C?面11因为∈1C，所以M∈面11，ACCA.MAACCA又M∈面AB11，所以M在平面ACC11与平面AB11的交线上，同理DADO在面1A1与面AB11的交线上，所以A，M，O三点共线，故选A.ACCD8．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于 lD．α与β相交，且交线平行于 l第3页 共9页解析：选D由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.9．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有以下四个命题：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③解析：选D若α∥β，l⊥α，则l⊥β，又m?β，所以l⊥m，故①正确；若α⊥β，l⊥α，m?β，则l与m可能异面，所以②不正确；若l∥m，l⊥α，则m⊥α，又m?β，则α⊥β，所以③正确；若l⊥α，l⊥m，m?β，则α与β可能相交，故④不正确．综上可知，选D.10.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C显然OM∥PD，又PD?平面PCD，PD?平面PDA.∴OM∥平面PCD，OM∥平面

PDA.∴①②③正确．11．异面直线 a，b所成的角为 60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为 ( )A．[30°，90°] B．[60°，90°]C．[30°，60°] D．[30°，120°]解析：选A 异面直线 a，b所成的角为 60°，直线c⊥a，过空间任一点 P，作直线 a′∥a，b′∥b，c′∥c.若a′，b′，c′共面，则 b′与c′成30°角，否则b′与c′所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线 b与c所成角的范围为 [30°，90°]．12．把正方形 ABCD沿对角线 AC折起，当以 A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD和平面ABC所成的角的大小为 ( )A．90°C．45°

B．60°D．30°解析：选

C

当三棱锥

D-ABC

体积最大时，平面

DAC⊥平面ABC，取

AC

的中点

O，则第4页 共9页△DBO是等腰直角三角形，即∠ DBO＝45°.二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上 )13.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线 AB1，BC1上分别有一点E，F，且B1E＝C1F，则直线EF与平面ABCD的位置关系是________．B1E B1G解析：过点E作EG∥AB，交BB1于点G，连接 GF，则B1A＝B1B.∵B1E＝C1F，B1A＝C1F B1GC1B，∴C1B＝B1B，∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD.又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD.答案：平行14．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，则α⊥β；②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则 α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述命题中，正确命题的序号是 ________．解析：对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出 α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知 a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．答案：②④15.如图，四面体 P-ABC中，PA＝PB＝ 13，平面 PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.解析：取AB的中点E，连接PE.∵PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC.连接CE，∴PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝27，PE＝ PA2－AE2＝ 6，第5页 共9页CE＝ BE2＋BC2＝ 43，PC＝ PE2＋CE2＝7.答案：716.如图所示，直线 a∥平面α，点A在α另一侧，点 B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.解析：A?a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且AFAEEGAEAFEGα∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以AC＝AB.又BD＝AB，所以AC＝BD.于是·5×420AFBDEG＝AC＝5＋4＝9.20答案：9三、简答题(本大题共 6小题，共 70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分 10分)在空间四边形 ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，GCF CG 2分别是BC，CD上的点，且CB＝CD＝3.求证：E，F，G，H四点共面；三条直线EF，GH，AC交于一点．证明：(1)在△ABD中，E，H分别是AB和AD的中点，1∴EH綊2BD.CFCG22在△CBD中，CB＝CD＝3，∴FG綊3BD.∴EH∥FG.∴E，F，G，H四点共面．(2)由(1)可知，EH∥FG，且EH≠FG，所以它们的延长线必相交于一点，设为点 P.∵AC是平面ABC和平面ADC的交线，EF?平面ABC，GH?平面ADC，平面ABC∩平面ADC＝P，∴由公理3知P∈AC.∴三条直线EF，GH，AC交于一点．18．(本小题满分 12分)如图1所示的等边△ ABC的边长为 2a，CD是AB边上的高，E，第6页 共9页F分别是AC，BC边的中点．现将△ ABC沿CD折叠，使平面 ADC⊥平面BDC，如图2所示．试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求四面体 A-DBC的外接球体积与四棱锥 D-ABFE的体积之比．解：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴AB∥EF，∵AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以DA，DB，DC为棱补成一个长方体， 则四面体 A-DBC的外接球即为长方体的外接球．2222252设球的半径为R，则a＋a＋3a＝(2R)，∴R＝4a，于是球的体积V1＝4πR3＝55πa3.36又VA-BDC＝1△·＝33，3SBDCAD6aVE-DFC＝1△133，3SDFC·2AD＝24aV1＝V12015π∴＝9.VD-ABFEVA-BDC－VE-DFC19.(本小题满分12分)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.证明：BC∥平面PDA；证明：BC⊥PD.证明：(1)∵在长方形ABCD中，BC∥AD，BC?平面PDA，AD?平面PDA，∴BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H，连接PH.∵PD＝PC，第7页 共9页∴PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH?平面PDC，∴PH⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，∴PH⊥BC.∵在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，∴BC⊥平面PDC.又PD?平面PDC，∴BC⊥PD.20.(本小题满分12分)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.(1)求证：C1C⊥BD.CD(2)当CC1的值为多少时，可使 A1C⊥平面C1BD?解：(1)证明：连接 A1C1，AC，设AC和BD交于点O，连接C1O.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD.又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D.∵DO＝OB，∴C1O⊥BD.又∵AC∩C1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1.又∵C1C?平面ACC1A1，∴C1C⊥BD.(2)由(1)知BD⊥平面AC1.∵A1C?平面ACC1A1，∴BD⊥A1C.当CD＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形．CC1同理可证 BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD.第8页 共9页21.(本小题满分 12分)如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.求证：平面EDB⊥平面EBC；求二面角E-DB-C的正切值．解：(1)证明：在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠ D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE?平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE?平面DEB，所以平面 DEB⊥平面EBC.如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，因为平面 ABCD⊥平面D1DCC1，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E-DB-C的平面角．利用平面几何知识可得

OF＝

1

，5又OE＝1，所以tan∠EFO＝5.22．(本小题满分12分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝9