第十章-动量定理

第十章动量定理1.动量质点的动量：质点的质量与速度的乘积，动量的量纲：动量的单位：§10-1动量与冲量质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和。flash第十章动量定理质点系质量中心C的矢径和速度：结论：质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积用来分析刚体很方便质心坐标：例：椭圆规机构，OA=l，AB=AD=l，AO、BD、B、D质量均为m，曲柄OA角速度为。求系统的动量。解：B、D和BD杆组合体质心在A处，有：VA和VE方向相同，有：例：A、B、滑轮O质量均为m。求系统的动量。解：滑轮质心速度为零：A、B的动量大小相等，方向相反，有：所以：例：已知履带质量为m1，每个均质车轮质量为m2，半径为R，前进速度为V，求系统的动量。解：2.冲量冲量：作用力与作用时间的乘积微分形式：冲量的量纲：冲量的单位：dI称为元冲量质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。或：1.质点的动量定理质点动量定理的微分形式：牛顿第二定律ma=F

可写成：质点动量定理的积分形式：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在同一时间内的冲量。§10-2动量定理2.质点系的动量定理n个质点的质点系，质点i上作用有:外力内力n个方程，两端分别相加：=质点系动量定理的微分形式：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和积分：P0为t=0时质点系的动量。质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。质点系动量定理的积分形式:在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。和质点系动量定理在直角坐标的投影式：例：物体沿斜面下滑，摩擦系数为f，斜面倾角为，初速为V1。求其增速一倍时经历的时间。解：质点动量变化=力在

t内的冲量，有：例10-1：电动机外壳固定在水平基础上，定子质量为m1，转子质量为m2，如图所示。设定子的质心位于转轴的中心O1，由于制造误差，转子的质心O2到O1的距离为e，已知转子匀速转动，角速度。求基础的支座反力。分析：运用质点系动量定理。取电动机外壳与转子组成质点系，这样可不考虑使转子转动的内力。外力有重力、基础反力和反力偶。由动量定理的投影式，得：质点系的动量就是转子的动量。设t=0时，O1O2铅垂。φ=ωt得基础反力：电机不转时，基础只有静反力：动反力是系统运动附加产生的X方向附加动反力：Y方向附加动反力：是转子偏心引起的谐变力，会引起电机和基础振动例：水流过弯管，流速V=2m/s，管径d=0.3m，忽略重力。求弯头处受力。解：t时间内流过质量为m的水拐弯前，有：拐弯后，有：q—体积流量—密度由动量定理，可知：V,较大时需加支座3.质点系动量守恒定律如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的动量保持不变。如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影不变。=恒量例10-3：物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的质量为mB，以细杆与物块铰接。设杆长为L，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角0；释放后，杆近似以0coskt

规律摆动（k为已知常数）。求：物块A的最大速度。解：以物块和小球整体为研究对象，垂直方向受力为重力和约束反力；水平方向不受外力作用，水平方向动量守恒。杆的角速度为：即0时最大杆铅垂时，球相对于物块有最大的水平速度，则有：小球速度向左时，物块应有向右的速度v动系固结在物块小球向左的绝对速度值为：水平方向动量守恒，有：解得物块的最大速度为：例：A、B质量各为m1、m2，初始静止，不计摩擦。求B的加速度。解：总动量在X轴守恒动系固定B上再由物块A：可解得：也可得FN，此时，FNm1g+m2g=(m1+m2)g例：小车重G1=2kN，车上箱子重G2=1kN，v0=3.5km/h。重G3=0.5kN的物体铅垂落入箱内。(1)求此后小车速度；(2)若物体落入后，箱子沿小车滑动了0.2s才相对停止，求箱子与小车间的摩擦力的平均值。解：(1)可用动量守恒求末动量系统在水平方向动量守恒初动量：末动量：动量定理：得：(2)已知初、末动量和时间求内力，可取分离体用动量定理求解。

质点系在力的作用下，其运动状态与各质点的质量及其相互位置都有关系。1.质量中心与重心类似，质心位置：质心位置反映质点系质量分布的一种特征计算质心位置时，常用在直角坐标系的投影形式：质心是质点系中特定的一个点，所有质量置于质心，质心的动量就等于质点系的动量。§10-3质心运动定理例10-4：曲柄滑块机构，曲柄OA以匀角速度转动，滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。求系统的质心运动方程、轨迹及此系统的动量。解：设t=0时，OA杆水平，有：计算质心C的坐标：就是此系统质心C的运动方程消去时间t，得：即质心C的运动轨迹为一椭圆求系统的动量：得：得系统动量沿x、y轴的投影：系统动量的大小，为：方向沿质心轨迹的切线方向，可用其方向余弦表示计算刚体系统的动量采用质心计算比逐个刚体求动量再作其矢量和更为方便。2.质心运动定理质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积：质点系质量不变时，有：或质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和。质点系质心的运动，可以看成为一个质点的运动，设想此质点集中了整个质量及其所受的外力。形式上和质点动力学基本方程ma=F完全相似注意：质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。质心运动定理是矢量式，应用时取投影式：

质心运动定理和质点系动量定理是同一定理的两种表达形式。

刚体系由于质心坐标容易确定，用质心运动定理较方便，对流体往往用动量定理。或例10-5：均质曲柄AB长r，质量为m1，以匀角速度转动。滑槽、连杆、活塞总质量m2，质心在点C1。活塞上作用恒力F。不计摩擦。求A处最大水平约束力Fx。解：整个机构为质点系，X方向外力F、Fx。质心运动定理在X轴的投影式：质心坐标：解得：例：曲柄滑块机构，曲柄OA以匀角速度转动，滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。不计摩擦。求O处的水平约束反力。解：整个机构为质点系，水平外力Fx。质心运动定理在X轴的投影式：质心C的坐标：质心运动定理在Y轴的投影式：质心C的坐标：以整个系统为对象，只能求得O、B两处Y向约束反力之和，不能得出各自的值。3.质心运动守恒定律(1)如果作用于质点系的外力主矢等于零，则质心作匀速直线运动

若开始静止，则质心位置始终保持不变(2)如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变例：在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为m2，船的质量为m1，船长l，水的阻力不计。求船的位移。解：人与船组成质点系。不计水的阻力，外力在水平轴上的投影等于零，质心在水平轴上的坐标保持不变。取坐标轴如右图所示在人走动前，质心的坐标为：人走到船尾时，船移动的距离为s，质心的坐标为：flash由于质心在x轴上的坐标不变例：浮动式起重机m2=18吨，O1A=10米，重物m1=2吨。开始时吊杆与铅垂线成60角并静止，求O1A转到与铅垂线成30时浮吊的位移。不计水阻力。解：开始静止时有：xc=0，xc=常数设开始时重物和起重机质心坐标为x1和x2。转动前，系统质心坐标为：外力均垂直于X轴，系统质心沿X轴守恒。设O1A转动后浮吊向右移动x,则重物质心坐标:浮吊质心坐标:转动后系统质心坐标为：负号说明浮吊向左移动例：均质细杆AB长为l，静止直立于光滑水平面上。求杆无初速倒下时A的轨迹。解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力。flash倒下过程中质心将铅直下落。质心沿X轴坐标不变，始终在Y轴上。A点运动方程：消去参数，得轨迹方程：解题小结：(1)分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力(2)根据外力情况确定质心运动是否守恒(3)如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质心坐标保持不变(4)如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速度，然后应用质心运动定理求未知力(5)在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点的运动规律相同基本要求：(1)深刻理解质点系动量、力的冲量和质心等概念。(2)正确并熟练地计算质点系的动量和质心坐标。(3)应用动量定理、质心运动定理和守恒定理求解动力学问题。重点：难点：(1)质点、质点系的动量的概念与计算。(3)质心运动定理及其守恒定理。(1)质点系动量的计算。(2)动量定理在流体管道动力学中的应用。(2)质点系动量定理及其动量守恒定理。小结(1)动量定理建